定積分的計(jì)算及應(yīng)用

呂思宇

【摘要】定積分在自然科學(xué)和生產(chǎn)實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)基本問題，定積分起源于求圖形的面積和體積等實(shí)際問題.本文從定積分的定義出發(fā)，將數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的定積分經(jīng)典類型進(jìn)行了總結(jié)，幫助我們理解積分的概念.

【關(guān)鍵詞】計(jì)算方法;定積分;極限

一、定積分的概念

設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間，當(dāng)區(qū)間的長度趨于零時(shí)，和S總趨于確定的極限I，這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=I=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi.

二、定積分的意義

（一）幾何意義

設(shè)y=f（x）≥0且在[a，b]上連續(xù)，若f（x）為曲線，則∫baf（x）dx表示[a，b]上曲邊梯形的面積.

（二）物理意義

設(shè)y=f（x）≥0且在[a，b]上連續(xù)，若f（x）為速度，則∫baf（x）dx表示[a，b]上變速運(yùn)動(dòng)的路程.

三、定積分概念的應(yīng)用及推廣

1.可以把積分區(qū)間[a，b]推廣到無限區(qū)間上，如[a，+∞）等，或者，函數(shù)推廣到無界函數(shù)，也就是廣義積分.

2.可以把積分區(qū)間[a，b]推廣到一個(gè)平面區(qū)域，被積函數(shù)為二元函數(shù)，那么積分就是二重積分;同樣當(dāng)被積函數(shù)成為三元函數(shù)、積分區(qū)域變成空間區(qū)域時(shí)就是三重積分.

（一）積分的計(jì)算方法

定義法：定積分的定義法計(jì)算是運(yùn)用極限的思想，簡單地說就是分割求和取極限.任意分割任意取值所計(jì)算出的i值如果全部相同的話，則定積分存在.

第一步：分割.

將區(qū)間[a，b]分成n個(gè)小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式.h=b-an，那么分割點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），（a+h，0），（a+2h，0），…，（a+（n-1）h，0），（b，0），ξk在[xk-1，xk]任意選取，但是我們?cè)谧鲱}過程中會(huì)選取特殊的ξk，即左端點(diǎn)，右端點(diǎn)或者中點(diǎn).經(jīng)過分割將曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形.我們近似的看作是n個(gè)小長方形.

第二步：求和.

計(jì)算n個(gè)小長方形的面積之和，也就是∑nk=1f（ξk）h.

第三步：取極限

I=limh→0∑nk=1f（ξk）h=hlimh→0∑nk=1f（ξk），h→0即n→∞，也就是說分的越細(xì)，那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當(dāng)n趨于無窮之時(shí)，小曲邊梯形也就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值.

（二）牛頓-萊布尼茨公式

牛頓-萊布尼茨公式很好地把定積分與不定積分聯(lián)系在一起.利用此公式，可以根據(jù)不定積分的計(jì)算計(jì)算出定積分.這個(gè)公式要求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必須連續(xù).求連續(xù)函數(shù)的定積分只需求出的一個(gè)原函數(shù)，再按照公式計(jì)算即可.

定理 若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]連續(xù)，且F（x）是f（x）的原函數(shù)，則∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.

例1 用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算定積分∫10xdx.

解 原式=12x210=12.

總結(jié)：我們知道，不定積分與定積分是互不相關(guān)的，獨(dú)立的.但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個(gè)互不相關(guān)的概念聯(lián)系起來，這是數(shù)學(xué)分析的卓越成果，有著重大的意義.同樣的一道題目，用牛頓-萊布尼茨公式明顯比定義法簡單.

四、定積分的換元積分法

應(yīng)用牛頓-萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計(jì)算.一般情況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，換元積分法解決了這一問題.

例2 求定積分∫21lnxdx.

解 ∫21lnxdx=xlnx|21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.

總結(jié)：因?yàn)閡（x），v（x）在[a，b]有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，并且u（x）易求微分，v（x）容易被計(jì)算出來時(shí)用分部積分法比較簡單.

五、定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

（一）概率問題

例3 在區(qū)間[-1，1]上任取兩數(shù)a，b，求方程有兩個(gè)正根的概率.

解 由題意，樣本空間Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}表示邊長為2的正方形區(qū)域，面積SΩ=4.要使方程兩根均正，需

Δ=4a2-4b≥0，x1+x2=2a>0，x1x2=b>0， 即a2≥b，a>0，b>0.

記方程有兩正根為事件A，它對(duì)應(yīng)的區(qū)域是由拋物線b=a2，直線a=1和a=0圍成的，于是SA=∫10a2da=13.所以P（A）=SASΩ=112.

總結(jié)：用定積分求概率問題更多是把問題分為樣本空間區(qū)域求其覆蓋面積，并且找到所求事件的空間區(qū)域求其面積，從而求出題目所要求的概率問題，運(yùn)用了最基本的方法來運(yùn)用到較復(fù)雜問題上.

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