高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng)

呂春燕

【摘要】現(xiàn)在社會需要的是創(chuàng)新型人才，要創(chuàng)新就要思路開闊，而發(fā)散性思維是創(chuàng)新的重要源泉.在實際的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，一題多變，一題多解就是培養(yǎng)人的發(fā)散性思維的具體體現(xiàn).本文以高等數(shù)學(xué)及工程數(shù)學(xué)中常見的冪指函數(shù)為例，舉例說明在教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);發(fā)散思維;一題多解

高等數(shù)學(xué)是理科及理工科大學(xué)中必不可少的學(xué)科，其主要作用是培養(yǎng)人的邏輯思維能力、抽象思維能力等，同時它也是學(xué)習(xí)其他專業(yè)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的基礎(chǔ).但是，高等數(shù)學(xué)也被認(rèn)為是大學(xué)課程中最難學(xué)的課程，因為其題目的多變性和解題方法的靈活性而讓學(xué)生望而生畏，所以要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)必須多做題、多總結(jié).概念的理解與深化，方法的靈活應(yīng)用都反映在做習(xí)題上.在實際的教學(xué)中，要求教師除了完成所給的教學(xué)任務(wù)外還要有意識地培養(yǎng)并訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，具體體現(xiàn)在教學(xué)方式的多變性、豐富性，題目講解中的一題多變、一題多解等.下面舉例說明.

例 設(shè)y=（1+x）sinx，求y′.

解法一 對數(shù)求導(dǎo)法

解 在y=（1+x）sinx兩邊同時取對數(shù)，有l(wèi)ny=sinx·ln（1+x），兩邊同時對x求導(dǎo)，有1y·y′=cosx·ln（1+x）+sinx1+x，所以有y′=（1+x）sinx·cosx·ln（1+x）+sinx1+x.

解法二 恒等變形法

解 因為y=（1+x）sinx=eln（1+x）sinx=esinxln（1+x），

所以y′=esinxln（1+x）·[sinxln（1+x）]′

=esinxln（1+x）·cosxln（1+x）+sinx·1x+1

=（1+x）sinx·cosx·ln（1+x）+sinxx+1.

解法三 利用公式法

如果y=u（x）v（x），則有y′=v（x）u（x）v（x）-1·u′（x）+u（x）v（x）lnu（x）·v′（x）.

解 令u（x）=1+x，v（x）=sinx，

y′=sinx（1+x）sinx-1·（1+x）′+（1+x）sinx·ln（1+x）·（sinx）′=sinx（1+x）sinx-1·1+（1+x）sinxln（1+x）·cosx=（1+x）sinx·sinxx+1+cosx·ln（1+x）.

解法四 偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法

令u=φ（x），v=φ（x），將y=φ（x）φ（x）看作y=uv，u=φ（x），v=φ（x），復(fù)合而成的二元復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求y′.即y′=dydx=yu·dudx+yv·dvdx.

解 令u=1+x，v=sinx，將y=（1+x）sinx看作由y=uv，u=1+x，v=sinx復(fù)合而成的二元復(fù)合函數(shù)，利用二元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則，從而有

y′=dydx=yu·dudx+yv·dvdx

=vuv-1·1+uvlnu·cosx

=sinx（1+x）sinx-1·1+（1+x）sinxln（1+x）·cosx

=（1+x）sinx·sinxx+1+cosx·ln（1+x）.

綜上所述，同一道題目，其解題的思路和方法及用到的知識點卻各不相同，但其最終的結(jié)果都一樣，這就是數(shù)學(xué)的美，確切地說是發(fā)散性思維的妙處.因此，發(fā)散性思維是數(shù)學(xué)教學(xué)中的很重要的教學(xué)目的.首先，教師在平時的教學(xué)中不斷探索新的教學(xué)方法、新的解題思路、充分發(fā)揮主觀想象力，并為學(xué)生提供一個能充分發(fā)揮想象力的空間與契機.其次，還要鼓勵學(xué)生多向思維，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造欲望.教師在教學(xué)中要多表揚、少批評，讓學(xué)生建立自信，同時鼓勵學(xué)生求新，訓(xùn)練學(xué)生沿著新方向、新途徑去思考新問題，尋求首創(chuàng)性的思維.再次，要打破常規(guī)，弱化思維定式.“創(chuàng)”與“造”兩方面是有機結(jié)合起來的，“創(chuàng)”就是打破常規(guī)，“造”就是在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)出有價值、有意義的東西來.最后，要教會學(xué)生逆向思維，并大膽說出自己的想法，敢于質(zhì)疑.質(zhì)疑能力的培養(yǎng)對啟發(fā)學(xué)生的思維發(fā)展和創(chuàng)新意識具有重要作用，質(zhì)疑常常是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的突破口.總之，發(fā)散性思維的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，更不是哪門學(xué)科的目的，它需要教師和學(xué)生的共同努力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]田玉偉.高等數(shù)學(xué)（上冊）[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2009.

[2]宋振新，等.冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算方法[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報，2006（5）：29-30.

[3]和志芳.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（21）：104-106.