變式在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用思考

許祥

[摘? 要] 運(yùn)用逆向思維與橫向思維對(duì)典型例題進(jìn)行條件、結(jié)論、圖形的改變并將其變成變式題組，是教師課堂教學(xué)中的有效措施，學(xué)生在這種變式訓(xùn)練的長(zhǎng)期積累中一定能形成更加完整而有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿新鮮感與動(dòng)力.

[關(guān)鍵詞] 生成;拓展延伸;思想交融;條件;結(jié)論;變式

學(xué)生徹底理解概念并在解題與思維能力方面獲得長(zhǎng)足的發(fā)展都離不開有效的變式教學(xué). 歷年來的中考試題雖然有很多題目都是源自于教材而設(shè)計(jì)的，但大多又都是高于教材的. 因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)著眼于教材及教材中的典型例題與習(xí)題并探尋知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，將題中所蘊(yùn)含的思想方法一一挖掘出來并揭示出問題的本質(zhì)，使學(xué)生能夠真正把握問題本質(zhì)并最終學(xué)會(huì)該類題目的解決方法.

著眼于解題方法的生成之處進(jìn)行變式

很多題目的解法都不是唯一的，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索解題的不同方法并進(jìn)行方法的比較以促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維的發(fā)展.

案例1? 如果代數(shù)式y(tǒng)²+3y的值是5，那么，代數(shù)式4y²+12y-20的值為______.

解法1：解方程y²+3y=5，代入求值，但較煩瑣.

解法2：由y²+3y=5，所求代數(shù)式的前兩項(xiàng)結(jié)合并提出一個(gè)4，整體代入.

學(xué)生在解法的探尋與比較中很快嘗到解法2的甜頭并解出：當(dāng)x=1時(shí)，代數(shù)式ax²+bx+1的值為3，則（a+b-1）（1-a-b）的值為-1. 學(xué)生從不同的角度對(duì)此題進(jìn)行了不同方法的思考與體驗(yàn).

著眼于拓展延伸之處進(jìn)行變式

學(xué)生對(duì)事物實(shí)質(zhì)與發(fā)展趨勢(shì)的了解以及對(duì)所學(xué)知識(shí)的深化都能在拓展延伸訓(xùn)練與練習(xí)中一一實(shí)現(xiàn)，因此，教師在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)善于挖掘教材例題、習(xí)題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)并獲得源于教材、卻又高于教材的題目，使學(xué)生能夠在這些更具探索價(jià)值的好題中進(jìn)一步理順知識(shí)間的聯(lián)系. 因此，教師應(yīng)著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)中的實(shí)際需求并結(jié)合學(xué)生已有水平、能力與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行各種形式與內(nèi)容的拓展設(shè)計(jì)，使學(xué)生能夠在各種拓展訓(xùn)練中不斷深化自己對(duì)知識(shí)的理解.

案例2? 在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，若∠B=30°，∠C=70°，則∠DAE=______.

變式1：若∠C-∠B=30°，則∠DAE=______. 引導(dǎo)學(xué)生在變式練習(xí)中掌握整體考慮問題這一重要思想.

變式2：∠C-∠B=α（∠C>∠B），請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示∠DAE的度數(shù).

學(xué)生在變式中很快掌握了用字母表達(dá)式表示一般規(guī)律的方法，由此可見，看似平淡實(shí)則精彩的變式往往能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)縱橫聯(lián)系的掌握與理解. 因此，教師在教學(xué)之余應(yīng)善于對(duì)例題進(jìn)行再挖掘與變式設(shè)計(jì)，要舍得在變式研究上花時(shí)間，教師設(shè)計(jì)的例題越是精煉，學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得的感悟就越多，著眼于小題的變式設(shè)計(jì)與教學(xué)往往能夠使學(xué)生獲得能力的大提升.

著眼于思想交融之處進(jìn)行變式

著眼于數(shù)學(xué)思想滲透與融合的變式還能促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法的本質(zhì)規(guī)律形成更加深刻的理性認(rèn)識(shí)，并因此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)與數(shù)學(xué)思維的高度發(fā)展.

案例3? 已知線段AB=8 cm，點(diǎn)C在直線AB上，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，線段MN的長(zhǎng)是______.

運(yùn)用分類討論的思想對(duì)C在A，B點(diǎn)左邊、之間、右邊這三種情況進(jìn)行求解，分類討論能夠有效防止學(xué)生片面思考問題，完整解題的過程也對(duì)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性進(jìn)行了很好的鍛煉.

變式1：已知線段AB=10 cm，點(diǎn)C為AB上任意一點(diǎn)，M，N分別為AC，CB的中點(diǎn)，MN的長(zhǎng)度為______.

變式2：在直線l上順次取A，B，C三點(diǎn)并使AB=5 cm，BC=3 cm，假如線段AC的中點(diǎn)是O，則線段OB的長(zhǎng)度為______.

學(xué)生在變式訓(xùn)練中對(duì)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系都能建立更加清晰而準(zhǔn)確的認(rèn)知，充分認(rèn)識(shí)到各知識(shí)點(diǎn)之間的運(yùn)動(dòng)、變化與聯(lián)系的同時(shí)也更加善于發(fā)現(xiàn)特殊條件與關(guān)鍵條件.

著眼于條件進(jìn)行變式

對(duì)習(xí)題中的條件進(jìn)行增加、減少或者變更都是條件變式的形式.

案例4? 如圖1，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明△ABC≌△DEF，（1）若以“SAS”為依據(jù)，還需添加______這一條件;（2）若以“ASA”為依據(jù)，還需添加______這一條件;（3）若以“AAS”為依據(jù)，還需添加______這一條件.

學(xué)生在此題的有效練習(xí)中完全掌握了兩個(gè)三角形全等的判斷方法.

案例5? 如圖2，該圖形中隱藏的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些？請(qǐng)結(jié)合圖形解決以下問題：觀察“規(guī)形圖”的同時(shí)對(duì)∠BDC和∠A，∠B，∠C之間的關(guān)系進(jìn)行探究，并說明理由.

此基礎(chǔ)題的解決需要運(yùn)用三角形的外角知識(shí)，因此，學(xué)生在解決此題時(shí)應(yīng)根據(jù)解題需要添加輔助線并以此構(gòu)造三角形的外角，得到∠BDC=∠A+∠B+∠C.

變式：請(qǐng)直接利用上述結(jié)論解決下列問題：

（1）如圖3所示，將三角尺XYZ置于△ABC之上，使直角邊XY，XZ剛好經(jīng)過B，C兩點(diǎn). 若∠A=50°，則∠ABX+∠ACX=_____.

（2）如圖4，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB. 若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度數(shù).

（3）如圖5，∠ABD、∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G₁，G₂，…，G₉. 若∠BDC=140°，∠BG₁C=77°，求∠A的度數(shù).

角平分線的條數(shù)從一條增至兩條直至很多條的變式將題目的難度也逐步提高，學(xué)生在環(huán)環(huán)相扣的知識(shí)中對(duì)∠BDC，∠BG₁C與∠A的關(guān)系進(jìn)行了探究，由特殊到一般的探索與發(fā)現(xiàn)對(duì)學(xué)生解題創(chuàng)新能力的鍛煉是極有價(jià)值的.

著眼于結(jié)論進(jìn)行變式

案例6? 如圖6，△ABC與△ADC是兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BA方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A停止，同時(shí)點(diǎn)F以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AD方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D停止，連接EC，F(xiàn)C. 在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中∠ECF的大小會(huì)隨之變化嗎？請(qǐng)說明理由.

變式1：在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過程中，以點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積會(huì)產(chǎn)生變化嗎？請(qǐng)說明理由.

變式2：若點(diǎn)E，F(xiàn)在射線BA，AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，原題中的結(jié)論是否還成立呢？

著眼于結(jié)論進(jìn)行的變式在深化習(xí)題的同時(shí)也能幫助學(xué)生更好地挖掘知識(shí)內(nèi)容的深度.

著眼于圖形進(jìn)行變式

圖形的變化是幾何變式題目中經(jīng)常會(huì)用到的方式，解決幾何變式題的關(guān)鍵在于尋找圖形的不變性以及在復(fù)雜圖形中分解出基本圖形.

案例7? 五角星及其變形.

如圖7①，五角星形狀中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=______;學(xué)生聯(lián)系三角形的內(nèi)角和定理與外角和定理將5個(gè)角看成在一個(gè)三角形中，很快得出這5個(gè)角的和為180°.

如圖7②，將圖7①中的A點(diǎn)下移至BE上，此時(shí)∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的和會(huì)產(chǎn)生變化嗎？請(qǐng)說明理由. 學(xué)生在一定的思考與討論后得出答案仍是180°.

如圖7③，將圖7②中的點(diǎn)C上移至BD上，此時(shí)∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E的和會(huì)產(chǎn)生變化嗎？請(qǐng)說明理由. 教師引導(dǎo)學(xué)生在觀測(cè)圖形的基礎(chǔ)上對(duì)知識(shí)的靈活應(yīng)用進(jìn)行進(jìn)一步的體會(huì)與更多變式.

如圖7④，CD，BE分別為AB，AC邊上的中線，延長(zhǎng)CD到F，使FD=CD，延長(zhǎng)BE到G，使EG=BE，則AF和AG相等嗎？F，A，G這三點(diǎn)在一條直線上嗎？請(qǐng)說明理由.

運(yùn)用逆向思維與橫向思維對(duì)典型例題進(jìn)行條件或結(jié)論的改編，呈現(xiàn)一組變式題，或者對(duì)其進(jìn)行圖形的改編，形成變式題組，是教師課堂教學(xué)中將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行覆蓋與整合的有效措施. 很多學(xué)過的零散知識(shí)點(diǎn)因?yàn)榻處熅牡淖兪皆O(shè)計(jì)而被整合到了一起，分散的知識(shí)點(diǎn)被精心設(shè)計(jì)成了一條有意義的思路. 學(xué)生在這種知識(shí)點(diǎn)全面覆蓋的變式訓(xùn)練中長(zhǎng)期積累，一定能夠形成更加完整而有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)，不斷體會(huì)到新鮮、令人好奇的內(nèi)容. 這些積極的學(xué)習(xí)情緒不僅讓學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)與變式探究更加熱情，還能使學(xué)生在解題思路不斷開拓與發(fā)散的過程中產(chǎn)生更多的體驗(yàn)與感悟，發(fā)現(xiàn)問題的意識(shí)也會(huì)在不斷的變式探究與經(jīng)驗(yàn)積累中逐步形成，這對(duì)于學(xué)生產(chǎn)生并保持?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新鮮感與動(dòng)力是有著積極意義的.