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    論銳角三角函數(shù)概念教學(xué)

    2018-01-06 08:08周小云
    關(guān)鍵詞:概念教學(xué)

    周小云

    [摘? 要] 在實(shí)際教學(xué)中,很多老師教學(xué)銳角三角函數(shù)的概念過于簡(jiǎn)單,絲毫未觸及函數(shù)的本質(zhì),更未體現(xiàn)銳角三角函數(shù)的函數(shù)特性. 基于此,本文對(duì)初中銳角三角函數(shù)概念教學(xué)方法做了詳細(xì)闡述,希望對(duì)同行有一定的參考、借鑒作用.

    [關(guān)鍵詞] 銳角三角函數(shù);概念;教學(xué)

    對(duì)于初中銳角三角函數(shù)的概念,最常見的教學(xué)方法是:根據(jù)課本講解銳角三角函數(shù)的定義. 比如教學(xué)正弦函數(shù)時(shí),先下定義:在直角三角形中,銳角∠A的對(duì)邊比斜邊,叫∠A的正弦函數(shù),記作sinA=■,然后通過練習(xí)加以鞏固. 殊不知,這種教法只能讓學(xué)生記住定義,其完全背離了數(shù)學(xué)教育的初衷——發(fā)展學(xué)生的邏輯思維,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì). 這樣處理教材的方式膚淺、死板,根本不能讓學(xué)生體會(huì)到銳角三角函數(shù)的函數(shù)特性. 筆者經(jīng)過多年的實(shí)踐摸索,發(fā)現(xiàn)了一套銳角三角函數(shù)概念的教學(xué)方式,其不僅成功避免了尋常膚淺、死板的教學(xué)方式,還很有效果,現(xiàn)介紹如下.

    奠定一個(gè)基礎(chǔ)

    先奠定一個(gè)基礎(chǔ)——在直角三角形中,當(dāng)銳角一定時(shí),不論三角形的大小怎樣變化,任何兩邊之比都是一個(gè)定值,然后為后面研究“兩邊的比值隨角度變化”服務(wù). 奠定這個(gè)基礎(chǔ)應(yīng)堅(jiān)持一個(gè)原則,即教師作圖,學(xué)生觀察,教師引導(dǎo)學(xué)生分析,由學(xué)生自己得出結(jié)論. 切忌教師代替學(xué)生思考,切忌由教師得出結(jié)論. 試想,如果學(xué)生連這個(gè)基礎(chǔ)都沒奠定,那后面研究變化的過程時(shí)該從何談起?

    這個(gè)過程可以這樣處理:教師先給出圖1,從靜態(tài)的角度觀察圖1,引導(dǎo)學(xué)生做出如下推理.

    在Rt△ABC和Rt△ADE中,因?yàn)椤螦=∠A,∠ACB=∠AED=90°,所以△ABC∽△ADE. 所以AE/AC=DE/BC. 不妨設(shè)AE/AC=DE/BC=k,k為相似比,則AE=kAC,DE=kBC. 所以DE/AC=kBC/kAC=BC/AC.

    在圖1的基礎(chǔ)上,教師再給出圖2和圖3,保持Rt△ABC的大小不變,從動(dòng)態(tài)的角度觀察圖形,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到Rt△ADE的大小在不斷地變化. 圖2中的Rt△ADE在圖1的基礎(chǔ)上放大,圖3中的Rt△ADE在圖1的基礎(chǔ)上縮小. 研究發(fā)現(xiàn),無論Rt△ADE是放大,還是縮小,DE/AC的值總等于BC/AC的值. 因?yàn)樵谡麄€(gè)變化的過程中,Rt△ABC的大小保持不變,所以BC/AC的值不會(huì)變. 于是可以得出結(jié)論:在直角三角形中,當(dāng)銳角一定時(shí),無論三角形的大小怎樣變化,這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比是一個(gè)定值.

    如果有條件,上述過程可借助幾何畫板、動(dòng)態(tài)作圖來教學(xué),這樣的話,學(xué)生可以直接參與操作,易于理解和接受;不具備現(xiàn)代教學(xué)條件的,教師要在黑板上畫圖,但畫圖時(shí)必須體現(xiàn)圖形的動(dòng)態(tài)變化.

    從一個(gè)點(diǎn)突破

    在直角三角形中,邊與邊的情況有好幾種,選擇一種情況來突破,不僅效果好,而且效率高. 這是因?yàn)椋海?)幾種情況一起講,難以講清楚. 即使能講清楚,容易相互干擾,學(xué)生也難以全部接受,倒不如抓住一種情況來進(jìn)行教學(xué). (2)銳角三角函數(shù)的幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系很類似,所以可以根據(jù)前面奠定的基礎(chǔ),選擇一種情形來突破. 比如,前面已經(jīng)奠定“在直角三角形中,當(dāng)銳角一定時(shí),無論三角形的大小怎樣變化,這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比是一個(gè)定值”這一基礎(chǔ),此時(shí)就可以選擇“對(duì)邊比鄰邊”來進(jìn)行教學(xué).

    體現(xiàn)“函數(shù)味”

    在初中函數(shù)教學(xué)中,我們應(yīng)培育學(xué)生樹立相互聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)發(fā)展的數(shù)學(xué)理念,在動(dòng)態(tài)的思維模式中掌握函數(shù)知識(shí)的基本要領(lǐng). 函數(shù)的本質(zhì)是描述在一個(gè)變化的過程中,兩個(gè)變量之間緊密關(guān)聯(lián)、相互依存的關(guān)系,一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而發(fā)生變化. 不妨設(shè)其中一個(gè)變量為x,另一個(gè)變量為y,對(duì)于每一個(gè)x,y都有唯一的值與之對(duì)應(yīng),則y是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量.

    在初中數(shù)學(xué)銳角三角函數(shù)中,哪個(gè)是自變量,哪個(gè)是因變量呢?我們還是先引領(lǐng)學(xué)生觀察變化過程. 教師給出圖4,因?yàn)椤霸谥苯侨切沃校?dāng)銳角一定時(shí),無論三角形的大小怎樣變化,這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比是一個(gè)定值”,即邊的比值與直角三角形的大小無關(guān). 為了研究方便,不妨把AC的長(zhǎng)度固定下來,這樣BC/AC的值就取決于BC的大小. 因?yàn)槭茄芯孔兓^程,所以以圖4為基礎(chǔ)圖,從動(dòng)態(tài)角度去作圖:圖4中的點(diǎn)B是控制點(diǎn),可以上下拖動(dòng),從而改變直角三角形中的元素. 在圖4的基礎(chǔ)上,將點(diǎn)B往上拖(如圖5),此時(shí)∠BAC變大,BC邊變長(zhǎng);將點(diǎn)B往下拖(如圖6),此時(shí)∠BAC變小,BC邊變短. 在拖動(dòng)點(diǎn)B的變化過程中,只要點(diǎn)B的位置改變,∠BAC的大小就會(huì)發(fā)生改變,BC邊的長(zhǎng)也發(fā)生改變. 而且,對(duì)于∠BAC的任何一個(gè)大小,BC邊都有唯一的長(zhǎng)度與之對(duì)應(yīng). 此時(shí),可引導(dǎo)學(xué)生完整地表述:在這個(gè)變化過程中,BC/AC的值隨著∠BAC的變化而變化,且對(duì)于∠BAC的任何一個(gè)值,BC/AC都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)(可見,符合函數(shù)定義),所以BC/AC是∠BAC的函數(shù). 這里可以考慮向?qū)W生指出:在這個(gè)變化的過程中,BC/AC是創(chuàng)造的變量,原本的變化過程中并沒有這個(gè)變量.

    接著引導(dǎo)學(xué)生思考:怎樣表示剛才發(fā)現(xiàn)的這個(gè)函數(shù)關(guān)系呢?接下來再引出:數(shù)學(xué)中規(guī)定,用“tan∠BAC=BC/AC”來表示這種關(guān)系. 在∠BAC不引起歧義的前提下,還可以去掉角的符號(hào)和另外兩個(gè)字母,直接表示為“tanA=BC/AC”. 此時(shí),可以由學(xué)生自己判斷,在這個(gè)函數(shù)關(guān)系中,哪個(gè)是自變量,哪個(gè)是因變量.

    以點(diǎn)帶面

    在講清正切函數(shù)的基礎(chǔ)上指出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)與正切函數(shù)類似,只是“不同的邊進(jìn)行相比”,再給正弦函數(shù)、余弦函數(shù)下定義. 這種以點(diǎn)帶面的處理方式,一是思路清晰,教法干練;二是高效,避免重復(fù)啰唆;三是符合人類認(rèn)知事物的一般規(guī)律,還能發(fā)展學(xué)生的類比分析能力.

    概念鞏固

    概念鞏固通常需要從正、反兩方面來加強(qiáng). 對(duì)于銳角三角函數(shù)的正面加強(qiáng),可以考慮如下方式:(1)解釋概念名稱. 比如解釋“正切”可以這樣處理:“正”,是指角正對(duì)的邊,即對(duì)邊,“切”,可讓學(xué)生聯(lián)想在家做飯時(shí)切菜的姿勢(shì),與菜斜著時(shí)用刀,叫“削”,與菜垂直時(shí)用刀,叫“切”,所以“切”表示“垂直關(guān)系”. 這樣既生動(dòng)形象,又與學(xué)生的實(shí)際生活聯(lián)系了起來.(2)正面應(yīng)用定義,利用定義來解題. 比如計(jì)算30°等特殊角的三角函數(shù)值.

    對(duì)于銳角三角函數(shù)概念的反面加強(qiáng),常用的方法是給出錯(cuò)誤的應(yīng)用,讓學(xué)生去分析、判斷. 比如如圖7,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,請(qǐng)判斷下面的說法是否正確:①sinB=AC/AB;②sinA=0.6 cm. 比如如圖8,∠ABC≠90°,請(qǐng)判斷sinA=BC/AC是否正確. 比如如圖9,Rt△DEF∽R(shí)t△ABC,且相似比k=DE/AB=2,請(qǐng)判斷sinB=1/2sinE是否正確.

    這種銳角三角函數(shù)教學(xué)處理方式,注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)本身的特性,注重學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng),注重學(xué)生能力的發(fā)展,不僅能引導(dǎo)初中生對(duì)三角函數(shù)有一個(gè)清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí),而且能為高中學(xué)習(xí)任意三角函數(shù)知識(shí)積累研究經(jīng)驗(yàn),打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ).

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