文化與思想并重，探究與應(yīng)用共存

吳佳薇

[摘? 要] 理解勾股定理、靈活使用勾股定理解決實(shí)際問題是“勾股定理”學(xué)習(xí)的基本要求，另外在教學(xué)中需要注意對數(shù)學(xué)文化的傳播，讓學(xué)生感受定理的文化內(nèi)涵，同時需要滲透數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 本文將從文化傳播、探究活動、思想滲透和定理應(yīng)用四個方面展開教學(xué)探討，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 勾股定理;文化;探究;思想方法;應(yīng)用

“勾股定理”是人教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊的重要內(nèi)容，該定理是人們通過圖形拼接得到的，用于研究直角三角形的三邊關(guān)系，在幾何中有著非常重要的作用. 根據(jù)課標(biāo)要求，對于勾股定理的教學(xué)，不僅需要引導(dǎo)學(xué)生理解定理、學(xué)習(xí)使用定理解決問題，還需要滲透思想方法，讓學(xué)生充分感受勾股定理的文化價值.

注重背景介紹，傳播數(shù)學(xué)文化

勾股定理的發(fā)現(xiàn)與應(yīng)用有著悠久的歷史，教學(xué)中應(yīng)注意展示與勾股定理有關(guān)的歷史故事，使學(xué)生對勾股定理的發(fā)展歷程有初步的了解，從而深刻感受勾股定理本身所蘊(yùn)含的文化內(nèi)涵，這對激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣極為有利.

我國對勾股定理的研究有著諸多貢獻(xiàn)，教學(xué)中可以重點(diǎn)介紹我國古代的一些研究成果，例如結(jié)合教材引言向?qū)W生介紹《周髀算經(jīng)》中記載的“如果勾是三、股是四，那么弦是五”，使學(xué)生了解我國古代對勾股定理的研究歷史. 而在勾股定理的證明階段，可以重點(diǎn)介紹我國古人趙爽的弦圖證明思路. “趙爽弦圖”是古人智慧的充分展現(xiàn)，對弦圖的學(xué)習(xí)可以較為簡潔地實(shí)現(xiàn)定理的證明，加深學(xué)生的民族自豪感. 對于課堂練習(xí)的選題，可以參考數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，充分展現(xiàn)古人在勾股定理應(yīng)用方面的研究成果. 同樣，也可以介紹國外的研究成果，如講解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程可以引入畢達(dá)哥拉斯的故事，而對逆定理的講解可以引入希臘哲學(xué)家柏拉圖關(guān)于勾股數(shù)的結(jié)論. 課后學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)可以安排大家收集勾股定理的其他證明方法，通過交流、探討的方式來加深學(xué)生對定理的理解.

勾股定理的背景知識講解，能讓學(xué)生了解我國古人對勾股定理研究的貢獻(xiàn)，能有效地激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，能培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感，同時，合理利用背景材料，能激勵學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí).

創(chuàng)設(shè)多樣活動，親歷探究過程

勾股定理作為中學(xué)數(shù)學(xué)最為重要的定理之一，有著廣泛的應(yīng)用. 該部分內(nèi)容不僅需要學(xué)生學(xué)習(xí)使用勾股定理來解決和證明問題，還需要學(xué)生通過教學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)具備探究性學(xué)習(xí)和總結(jié)知識的能力. 因此，開展探究式教學(xué)，讓學(xué)生親歷勾股定理的探究過程顯得尤為重要.

探索勾股定理，可以從特殊三角形入手. 例如，給出鋪地板的方案，如圖1，讓學(xué)生思考圖中正方形A，B，C面積之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的性質(zhì)：以等腰三角形兩條直角邊為邊長的小正方形A和B的面積之和等于以其斜邊為邊長的大正方形C的面積.

接著，讓學(xué)生思考：是否任意直角三角形都存在這樣的三邊關(guān)系. 教師可以設(shè)置畫圖活動，讓學(xué)生在方格紙上畫一個三個頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的任意直角三角形，然后分別以該三角形的各邊為邊長向外作正方形. 通過對比、觀察，如圖2，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)同樣符合上述性質(zhì)，進(jìn)而得出一般性的猜想.

最后，需要教師引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行驗(yàn)證，即通過剪切、拼接的方式，引導(dǎo)學(xué)生將兩個面積分別為a2和b2的正方形拼成一個面積為c2的正方形. 需要注意的是拼接方法不唯一，此時需要教師引導(dǎo)學(xué)生盡可能地探究不同方案，擴(kuò)展學(xué)生思維的開闊性，如圖3. 在探究的最后階段需要將驗(yàn)證的結(jié)論上升到理論高度，即假設(shè)直角三角形的直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則三邊關(guān)系為a²+b²=c².

從瓷磚鋪地、格子繪圖再到拼圖驗(yàn)證，學(xué)生充分經(jīng)歷了“觀察—猜想—?dú)w納—驗(yàn)證—總結(jié)”的探究過程，在這個過程中，學(xué)生充分參與，用自己的創(chuàng)造和體驗(yàn)來學(xué)習(xí)新知，從而深刻地掌握了數(shù)學(xué)定理. 具有探究性的實(shí)驗(yàn)課堂，對學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的提升有極大的促進(jìn)作用.

滲透思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

義務(wù)教育強(qiáng)調(diào)教學(xué)的核心不是知識，而是數(shù)學(xué)的思維方式，應(yīng)注重思想方法的教學(xué). 對于勾股定理的教學(xué)，也不應(yīng)止于知識本身，還需要在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，重視學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，尤其是勾股定理的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證過程需要滲透從特殊到一般的思想、數(shù)形結(jié)合思想，以及轉(zhuǎn)化思想.

勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程蘊(yùn)含了從特殊到一般的思想，例如教學(xué)中引入了古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯到朋友家做客時發(fā)現(xiàn)朋友家用地磚鋪成的地面反映出的直角三角形的特性. 首先研究等腰直角三角形的三邊特性，緊接著從特殊到一般，讓學(xué)生猜想任意直角三角形的三邊關(guān)系，從而得出具有普遍適用性的勾股定理. 在該過程中，教師需要向?qū)W生傳達(dá)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，即從特殊現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，并確定其適用性.

而在驗(yàn)證勾股定理的過程中，需要結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，如把握勾股定理中邊長平方的特點(diǎn)，建立邊長與面積的關(guān)系，將探究直角三角形的三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化為探求正方形的面積關(guān)系. 驗(yàn)證過程中需要引導(dǎo)學(xué)生首先從“形”的角度來觀察，即直角三角形的三條邊均為各正方形的邊，如圖4.

勾股定理的發(fā)現(xiàn)，使得數(shù)學(xué)從較為單一的數(shù)字運(yùn)算上升到了結(jié)合幾何圖形進(jìn)行論證的高度. 無論是拼圖過程還是數(shù)字證明，都充分滲透了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，其對提升學(xué)生思維的活躍性有著積極的作用. 結(jié)合從特殊到一般的思想方法，其對學(xué)生分析問題和解決問題能力的提升也有極大的幫助.

結(jié)合實(shí)際問題，注重定理運(yùn)用

勾股定理作為直角三角形的重要定理，其本身就具有極大的應(yīng)用價值，因此將定理學(xué)習(xí)上升到實(shí)用高度就顯得尤為重要. 教學(xué)中需要指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用勾股定理來解釋生活中的問題，幫助學(xué)生掌握從實(shí)際問題中抽象解決問題的幾何模型，從而有效地加深學(xué)生對定理的理解.

例如，教學(xué)中可以引入木板進(jìn)門問題：有一門框的尺寸如圖6，長1 m、高2 m，一塊長為3 m、寬為2.2 m的木板是否可以從門框中通過？請說明理由.

教學(xué)中也可以引入動態(tài)問題，以梯子滑動問題為例：如圖8，梯子AB長3 m，斜靠在豎直的墻AO上，此時AO的距離為2.5 m.（1）請大家思考梯子底端B距墻角O的長度;（2）如果梯子的頂端A沿著墻體下滑0.5 m至點(diǎn)C，底端B滑動的距離是否也是0.5 m？該問題來自生活現(xiàn)象，訓(xùn)練時需要教師指導(dǎo)學(xué)生利用準(zhǔn)確的語言來表達(dá)數(shù)學(xué)過程，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并建立相應(yīng)的幾何模型，利用幾何模型的直觀、簡潔性，結(jié)合勾股定理來解釋生活問題. 值得注意的是，由于實(shí)際問題中存在滑動前和滑動后兩個狀態(tài)，所以需要教師引導(dǎo)學(xué)生建立兩個幾何模型，如圖9，然后利用模型分別求解問題.

勾股定理與生活問題的緊密結(jié)合，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)定理之美. 另外，從實(shí)際問題中抽象出幾何模型，利用定理來解決問題，可以使學(xué)生充分認(rèn)識到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)：源于生活，服務(wù)于生活.

總之，勾股定理作為平面幾何度量的基本定理，無論是知識層面，還是思想情感層面，都承載著眾多的教學(xué)價值. 對于勾股定理的教學(xué)，教師要注重背景材料的講解，要向?qū)W生傳達(dá)定理背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)多樣的活動，讓學(xué)生親歷探究過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，滲透思想方法，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力;應(yīng)結(jié)合實(shí)例應(yīng)用定理，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生感受定理的應(yīng)用之美.