化歸思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

尤春明

[摘? 要] 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，由于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容繁多，涉及的知識(shí)領(lǐng)域也很廣泛，因此我們需要對(duì)相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行梳理，通過歸類讓學(xué)生更好地掌握同一類問題的解決方法. 這種方法叫作化歸，通過化歸思想，可以讓數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);化歸思想;運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)中常用的基本思想有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想，其中，化歸思想既是各種思想方法的基礎(chǔ)，又是各種思想方法的靈魂，堪稱解決問題的法寶. 它幾乎貫穿于全部中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且統(tǒng)領(lǐng)著眾多的數(shù)學(xué)方法. 所謂化歸，就是化簡(jiǎn)歸納，把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單，未知化為已知，抽象化為具體，高維化為低維. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想，有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力和解決問題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

復(fù)雜化簡(jiǎn)單，逐個(gè)擊破

復(fù)雜的問題通常都是由一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單的問題交織修飾而得來，許多難題都是經(jīng)過簡(jiǎn)單題目的多重變形得到的. 因此，在解決此類問題時(shí)應(yīng)先仔細(xì)觀察推敲，找到基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，再判斷是如何變形，通過化歸思想抽絲剝繭，撥開迷霧，抓住問題的本質(zhì)，化分成若干個(gè)簡(jiǎn)單問題再逐個(gè)擊破，以求解或是得到求解的啟示，最終達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的.

例如，有一道小立方塊相關(guān)的問題：一位美術(shù)老師在課堂上進(jìn)行立體模型素描教學(xué)時(shí)，把14個(gè)棱長(zhǎng)為1分米的正方體擺在課桌上，如圖1，然后他把露出的表面都涂上不同的顏色，請(qǐng)計(jì)算被他涂上顏色部分的面積.

看到問題，學(xué)生很有可能認(rèn)為分別計(jì)算立方體每一層的露出面積，最后相加即可. 本小題只有三層且邊長(zhǎng)都是整數(shù)、小數(shù)字，假若立方體堆四層、五層甚至若干層呢？假若邊長(zhǎng)的數(shù)字不是1分米這樣簡(jiǎn)單的數(shù)字呢？此時(shí)我們還用笨方法一個(gè)個(gè)算出露出的面積再去相加嗎？這種方法不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，還不能保證正確率，稍有不慎，最后的答案就會(huì)算錯(cuò). 此時(shí)我們可以換一種思維方式，改變一下劃分露出面積的方式，看看會(huì)有什么變化. 于是，我們分別站在模型的正面，側(cè)面和上面觀察，將模型凹凸不平的露出部分化為簡(jiǎn)單的由若干個(gè)小正方形拼湊成的平面圖形，再相加同樣能夠得到露出的面積！通過觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)從正面、側(cè)面都有6個(gè)小正方形，從上方俯視可看到9個(gè)小正方形，所以，最后的面積可以通過正側(cè)面的6個(gè)小正方形以及上方看到的9個(gè)小正方形的面積相加之和，即6×4+9，求得為33平方分米.

觀察和分析是學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)知識(shí)的重要手段. 教師要引導(dǎo)學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，在觀察中將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，運(yùn)用各種方法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，跳出思維的束縛，從而鍛煉數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)能力.

未知化已知，沖出迷霧

數(shù)學(xué)問題是一張大網(wǎng)，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)就是一個(gè)小的數(shù)學(xué)問題，眾多數(shù)學(xué)問題都是可以直接或間接相互轉(zhuǎn)化的. 解決數(shù)學(xué)問題如果像魚在網(wǎng)中一樣，只知道不斷掙扎，拼命亂撞，這樣不僅游不出去，還會(huì)越纏越緊. 因此我們需要抓住問題與問題之間的聯(lián)系，將陌生未知的問題轉(zhuǎn)化為熟悉已知的問題，在簡(jiǎn)單問題的基礎(chǔ)上，一步一步演算，然后運(yùn)用已有的知識(shí)儲(chǔ)備或?qū)W習(xí)經(jīng)驗(yàn)加以解決，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的嫁接，這是我們學(xué)習(xí)的基本策略.

例如，如圖2，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，AB ∶ BC=6 ∶ 5，平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為110，面積為600. 求cos∠EDF的值.

分析可知，題目要求的cos∠EDF是無法直接得出的，因此可以考慮將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的直角三角形中的角. 已知四邊形的內(nèi)角和為360°，即∠EDF+∠EBF+∠DEB+∠DFB=360°，而∠DEB，∠DFB都是直角，所以∠EDF，∠EBF兩角相加為180°，即互補(bǔ);同時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)可知，∠BAD、∠EBF兩角互補(bǔ)，所以∠EDF=∠BAD，這樣就巧妙地將問題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到了∠BAD上，同時(shí)這個(gè)角在直角三角形ADE中，要求其余弦值只需根據(jù)題目分別求出AE，AD的長(zhǎng)度即可.

在這道題中，我們很好地運(yùn)用了化未知為已知的解題方法. 因此，在以后的解題過程中，我們的思維不能受限，需要多重思考，看能否將未知問題化作已知的極易解決的問題，不遺漏每個(gè)細(xì)節(jié)，轉(zhuǎn)化為熟悉的面孔. 這樣從舊知識(shí)向新知識(shí)延伸，豐富了學(xué)習(xí)方法也增添了學(xué)習(xí)過程中的樂趣，更鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力.

正面化反面，逆流而上

一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論是因果關(guān)系的辯證統(tǒng)一體，解題過程中，如果按照直觀的思維去解題往往會(huì)遇到麻煩，不能正常地完成解題. 這時(shí)，不妨從它的反面出發(fā)，逆流而上，也許另有捷徑.

例如，在兩個(gè)袋子中分別放有6張卡片，且每個(gè)袋子中的每張卡片分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6的不同數(shù)字，現(xiàn)在從兩個(gè)袋子中任意各抽出一張卡片，則兩張卡片上的數(shù)字之和不是7的概率是多少？

這道概率題想必讓不少同學(xué)頭疼過. 由于部分學(xué)生不知道怎么轉(zhuǎn)化，所以會(huì)使用笨方法，將所有兩個(gè)數(shù)之和的情況一一列舉出來，那么需要分別求出兩張卡片上的數(shù)字之和為2，3，4，5，6，8，9，10，11，12的概率然后相加，這樣就比較煩瑣，一不小心就會(huì)漏掉一種情況，導(dǎo)致滿盤皆輸. 而如果能反過來想，總的概率是“1”塊蛋糕，如果吃掉“兩張卡片上的數(shù)字之和為7”的那一份，剩下的不就是“數(shù)字之和不是7”的概率了嗎？出現(xiàn)數(shù)字之和為7 的情況有1+6，2+5，3+4，4+3，5+2，6+1共六種情況，而總共可能的情況有6×6=36種，所以所求概率為1-6/36=5/6. 這樣將所問的問題反過來想，會(huì)讓問題容易許多.

當(dāng)正面解決問題有困難時(shí)，我們可以嘗試從反面入手，逆流而上. 這樣不僅能起到意想不到的作用，而且還能鍛煉學(xué)生的逆向思維能力.

不同化相同，找準(zhǔn)方向

求“相同”、尋“不同”是非常重要的思想方法，化“不同”為“相同”同樣也很重要，在函數(shù)問題中應(yīng)用較為廣泛，尤其是在函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值中體現(xiàn)得十分明顯.

當(dāng)遇到這種題目時(shí)，我們不妨將一部分未知量當(dāng)作一個(gè)整體，將其他未知量通過分析轉(zhuǎn)化成相同的那部分未知量，然后另設(shè)一個(gè)未知數(shù). 這樣會(huì)比較直觀，而且在之后的求解過程中，也不會(huì)因?yàn)槲粗獢?shù)過多而出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤. 這種通過將不同轉(zhuǎn)化成相同的思想，在試題中經(jīng)常出現(xiàn)，因此我們需要掌握好這一類問題的解決方法.

一般化特殊，撥開障礙

由“一般”向“特殊”的轉(zhuǎn)化是一種具有方法論意義的思維形式，是人類認(rèn)識(shí)世界的普遍規(guī)律，在數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的應(yīng)用. 特別是在如選擇題這類不需要寫出具體解答過程、只需要填寫正確答案的題目中，運(yùn)用一般與特殊之間轉(zhuǎn)化的思想會(huì)便捷許多. “一般”與“特殊”總是相對(duì)的，對(duì)于“一般”問題來說“特殊”問題的解決往往是比較容易的，可利用“特殊”問題中蘊(yùn)含的本質(zhì)聯(lián)系，通過歸納思維引出“一般”問題的解法. 這種解決問題的方法叫作“特殊化法”，是一種把研究對(duì)象或要解決的問題從大范圍縮小到較小范圍或個(gè)別情況，甚至極端情況來考慮，實(shí)行“以退為進(jìn)”的策略，對(duì)條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確或題目本身很抽象的數(shù)學(xué)問題，用“特殊化”替代一般情況往往能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的功效.

這里筆者舉的具體例子是化歸思想在選擇題、填空題中的應(yīng)用. 在解選擇題、填空題時(shí)，當(dāng)選擇題、填空題結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)值時(shí)，可采用特殊化法. 特殊化法一般可取特殊值、特殊位置、特殊數(shù)列、構(gòu)造特殊圖形或幾何體等.

這題是選擇題，我們不必按部就班地進(jìn)行整體化簡(jiǎn)，可以采取特殊賦值的方法，從而很輕松地解決這道題. 由題目已知，0>a>b，不妨取a=-1，b=-2，將特殊值代入題目需要化簡(jiǎn)的式子中，得出一個(gè)具體值，然后將其對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)來判斷，很快就可以選出正確答案.

在選擇、填空題中，答案符合原題意即可. 所以在做選擇題時(shí)我們可根據(jù)題意對(duì)問題中的未知數(shù)取特殊值或限定特殊范圍，再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行排除，最后方可得到答案. 這種方法在考試中尤為方便，不僅可以節(jié)約時(shí)間，其準(zhǔn)確率也是百分之百.

總之，化歸思想可以滲透在教學(xué)的各個(gè)階段、各個(gè)環(huán)節(jié)、各個(gè)教學(xué)內(nèi)容，熟練掌握化歸思想能使數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化. “授之以魚，不如傳之以漁”“教是為了不教”，在教學(xué)過程中教師應(yīng)充分滲透各種數(shù)學(xué)思想，努力讓學(xué)生在自主探索、合作交流、積極思考和實(shí)踐操作的基礎(chǔ)上領(lǐng)悟并駕馭數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).