數(shù)列求和的方法及典例

吳愛國

【摘要】 本文對數(shù)列求和的常用六種方法進行了歸納總結(jié).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)列;錯位相減;裂項相消;前n項和

數(shù)列是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，數(shù)列求和是最為常見的題型之一，是歷年高考考查的熱點問題.本文對數(shù)列求和方法作了歸納總結(jié)，并給出了典型例題，希望對大家有所啟發(fā).

一、公式法

等差數(shù)列或者等比數(shù)列求和，可以直接使用求和公式.特別地，12+22+32+…+n2= n（n+1）（2n+1） 6 ，13+23+33+…+n3=? n（n+1） 2? 2等公式也可直接套用.

二、錯位相減法

若{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，則{anbn}，? an bn? 稱為差比數(shù)列，差比數(shù)列求和采用錯位相減法.

題（1）：求和Sn= 1 2 + 2 22 + 3 23 +…+ n 2n .

提示：法1： 1 2 Sn= 1 22 + 2 23 + 3 24 +…+ n 2n+1 作差得解.

法2：2Sn= 1 20 + 2 21 + 3 22 +…+ n 2n-1 作差得解.

結(jié)論：數(shù)列{（an+b）·qn-1}的前n項和為Sn=（An+B）·qn-B，其中A= a q-1 ，B= b-A q-1 .

三、裂項相消法

常見裂項類型如下：分式型裂項 1 n（n+p） = 1 p?? 1 n - 1 n+p? ;根式型裂項 1? n + n+p? = 1 p （ n+p - n ）;對數(shù)型裂項lg n+p n =lg（n+p）-lgn;指數(shù)型裂項aqn= a 1-q （qn-qn+1）.

題（2）：求和 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 n（n+1） .

題（3）：求和 1 1×3 + 1 3×5 + 1 5×7 +… 1 （2n-1）（2n+1） .

題（4）：求和 1 1×3 + 1 2×4 + 1 3×5 +…+ 1 n（n+2） .

題（5）：求和 1 1×4 + 1 2×5 + 1 3×6 +…+ 1 n（n+3） .

題（6）：求和 1 1×2×3 + 1 2×3×4 + 1 3×4×5 +…+ 1 n（n+1）（n+2） .

四、分組求和法

數(shù)列{cn}中，cn=an+bn，或通項公式能分段表示等情形，均可采用分組求和法.

題（7）：求和（a-1）+（a2-2）+（a3-3）+…+（an-n）.

題（8）：求和7+77+777+…+77…7.

題（9）：求和1 1 2 +3 1 4 +5 1 8 +…+ （2n-1）+ 1 2n? .

題（10）：已知數(shù)列{an}，an= 2n-1，n為奇數(shù)， 2n，n為偶數(shù)， ?求{an}的前n項和.

五、通項分析法

有些求和問題，必須對通項進行分析，化簡，進而根據(jù)題目具體情形，問題得解.

題（11）：求和9+99+999+…+99…9.

題（12）：求和1+ 1 1+2 + 1 1+2+3 +…+ 1 1+2+3+…+n .

題（13）：求和12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2.

題（14）：求和（-1）+4+（-7）+10+…+（-1）n（3n-2）.

題（15）：求和1+3+5+7+…+（2n+3）.

題（16）求和1+（1+2）+（1+2+22）+…+（1+2+22+…+2n-1）.

六、倒序相加法

某些數(shù)列第n項與倒數(shù)第n項的和為定值，此情形采取倒序相加法.

題（17）：求和sin21°+sin22°+…+sin289°.

題（18）：已知f（x）= 1 2x+ 2? ，求f（-7）+f（-6）+f（-5）+…+f（7）+f（8）.

題（19）：已知f（x）= 1 4x+m （m>0），x1，x2∈ R .當x1+x2=1，f（x1）+f（x2）= 1 2 .

（?。┣髆.（ⅱ）求f（0）+f? 1 n? +f? 2 n? +…+f? n-1 n? +f（1）.

【參考文獻】

[1]張永輝.新課標高考數(shù)學題型全歸納[M].北京：清華大學出版社，2011.