例談高中數(shù)學(xué)函數(shù)的零點(diǎn)

徐懷壽

【摘要】 函數(shù)的零點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)新課改后的新增內(nèi)容，在試題中.既會在選擇題和填空題中出現(xiàn)，還會在解答題中出現(xiàn)，多以求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)、參數(shù)的取值與范圍問題的考查為主，由于在處理零點(diǎn)問題時(shí)經(jīng)常會涉及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和分類討論思想，所以函數(shù)的零點(diǎn)是高考的重點(diǎn)也是高考的熱點(diǎn).

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)零點(diǎn);等價(jià)轉(zhuǎn)化;取值范圍

對函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實(shí)數(shù)x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)，所以方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn).在題目的考查中經(jīng)常會出現(xiàn)如下幾類題型：

一、確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及利用零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍

要判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)一般我們有如下的思路：（1）直接法：令f（x）=0，如果能求出解，解有幾個(gè)就有幾個(gè)零點(diǎn).（2）利用零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)（如單調(diào)性）才能確定函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn).（3）數(shù)形結(jié)合法：畫出兩個(gè)函數(shù)圖像，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).同時(shí)對一些含參的相關(guān)問題，我們在處理的時(shí)候，有時(shí)需要先做大量的等價(jià)轉(zhuǎn)化，如要確定函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為求f（x）=g（x）的根，也就是函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=g（x）的交點(diǎn)問題.

例1 ??（2012年天津卷）函數(shù)f（x）==2x+x3-2在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（? ）.

A.0??

B.1??

C.2??

D.3

解析一 ?∵f（0）f（1）<0，且函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增且連續(xù)，∴函數(shù)y=f（x）區(qū)間（0，1）內(nèi)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，可知B正確.

解析二 ?該函數(shù)在區(qū)間（0，1）的零點(diǎn)可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x和y=2-x3的交點(diǎn)問題，如圖所示，在區(qū)間（0，1）內(nèi)，兩圖像有一個(gè)交點(diǎn)，所以選B.

例2 ??（2015年湖南卷）函數(shù)f（x）=2sinxsin ?π 2 +x -x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù) .

解析 ?函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)實(shí)際是函數(shù)y=2sinxsin ?π 2 +x =sin2x與y=x2的兩圖像的交點(diǎn)，如圖所示不難看出這兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)y=f（x）只有一個(gè)零點(diǎn).

例3 ??（2015年湖南卷）函數(shù)f（x）= ?x3（x≤a）， x2（x>a）， ?若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是 .

解析 ?函數(shù)y=x2和y=x3的交點(diǎn)是（0，0），（1，1），函數(shù)g（x）=f（x）-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（x）-b=0有兩個(gè)根，即直線y=b和y=f（x）有兩個(gè)交點(diǎn).做出y=x2和y=x3的圖像，可知當(dāng)a<0時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使f（x）-b=0有兩個(gè)根;當(dāng)a>1時(shí)，存在實(shí)數(shù)b，使f（x）-b=0有兩個(gè)根;當(dāng)0≤a≤1時(shí)，f（x）-b=0只有一個(gè)根或無根;當(dāng)a<0或a>1時(shí)，f（x）-b=0有兩個(gè)根，綜上我們可以確定a的取值范圍為a<0或a>1.這道題考查了數(shù)學(xué)分類討論思想，函數(shù)零點(diǎn)尤其是含參問題中經(jīng)常考查分類討論思想.

二、確定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間

確定函數(shù)零點(diǎn)位置是高考考查的重點(diǎn)和難點(diǎn)，不僅選擇填空直接考查，而且解答題當(dāng)中也經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)一起考查，確定函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間有如下的方案：（1）對應(yīng)函數(shù)的方程簡單時(shí)，直接求出方程的解，觀察解所在的區(qū)間即為零點(diǎn)的區(qū)間.（2）利用零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)的零點(diǎn)就在區(qū)間（a，b）內(nèi).（3）通過做出函數(shù)的圖像，觀察圖像與x軸在所給的區(qū)間是否有交點(diǎn)來判斷.

例4 ??（2011全國新課標(biāo)）在下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（? ）.

A. - 1 4 ，0

B. 0， 1 4

C. ?1 4 ， 1 2

D. ?1 2 ， 3 4

解析1 ?由于函數(shù)y=f（x）為單調(diào)增函數(shù)，而f? 1 4? =e 1 4 +1-3=e 1 4 -2<0，f? 1 2? =e 1 2 +2-3=e 1 2 -1>0，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，由于f? 1 4? ·f? 1 2? <0，所以y=f（x）零點(diǎn)所在區(qū)間為C.

解析2 ?函數(shù)f（x）=ex+4x-3的零點(diǎn)也就是方程ex+4x-3=0的根，也是函數(shù)y=ex和y=-4x+3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以問題轉(zhuǎn)化為通過圖像觀察這兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍，如圖所示可知答案為C.

例5 ??若a<b<c，則函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-c）（x-a）兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（? ）.

A.（a，b）和（b，c） B.（-∞，a）和（a，b）

C.（b，c）和（c，+∞） D.（-∞，a）和（c，+∞）

解析 ?∵a<b<c，∴f（a）=（a-b）（a-c）>0，∴f（b）=（b-a）（b-c）<0，∴f（c）=（c-b）（c-a）>0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷可知：在區(qū)間（a，b）和（b，c）內(nèi)分別 存在一個(gè)零點(diǎn)，而函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，最多有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y=f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間（a，b）和（b，c）.

另外利用零點(diǎn)相關(guān)問題還可以解決函數(shù)與方程關(guān)系的應(yīng)用的相關(guān)問題.利用兩者的關(guān)系，可以把方程有解的條件化為求函數(shù)的值域問題，把求函數(shù)的零點(diǎn)化為解方程或反之以解決相關(guān)問題.