基于非完全邏輯范式的微分中值定理應(yīng)用的教學(xué)研究

【摘要】 本文提出了非完全邏輯范式的教學(xué)概念，研究了基于非完全邏輯范式的微分中值定理應(yīng)用及相關(guān)問(wèn)題的教學(xué)問(wèn)題，打破了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中重視邏輯思維和邏輯推理而輕視甚至排斥非邏輯因素的理念，給出了一些數(shù)值例子，這些例子說(shuō)明了我們的方法的有效性.

【關(guān)鍵詞】 非完全邏輯范式;微分中值定理;應(yīng)用;創(chuàng)新

【基金項(xiàng)目】 山東省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題資助項(xiàng)目（YBS15002）.

一、引 言

高等數(shù)學(xué)是工程類、金融和經(jīng)濟(jì)類各專業(yè)人員的重要理論基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)及相關(guān)課程教學(xué)水平的高低直接影響到我們培養(yǎng)人才的質(zhì)量，因此，相關(guān)的教學(xué)研究引起了廣泛的關(guān)注和重視，這方面的研究涌現(xiàn)出了許多優(yōu)秀的成果[1-8].

微分中值定理是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)也是教學(xué)難點(diǎn)，相關(guān)問(wèn)題的研究也是教學(xué)研究的熱點(diǎn).文獻(xiàn)[9]對(duì)微分中值定理中值點(diǎn)的漸進(jìn)性的問(wèn)題進(jìn)行了深入的探討，將有關(guān)結(jié)論推廣到了區(qū)間的任意點(diǎn)，得到了一些新的更具有普遍意義的結(jié)果.文獻(xiàn)[10]利用幾何分析方法，就拉格朗日中值定理和柯西中值定理給出了新的證明方法，并研究了微分中值定理的應(yīng)用問(wèn)題.文獻(xiàn)[11]基于拉格朗日插值方法，將中值定理推廣到了高階的情形，得到了一些新的結(jié)果.微分中值定理的教學(xué)是發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和邏輯推理能力的重要載體，也是發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力的重要載體，但相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中偏重于邏輯、方法和技巧而忽視非邏輯因素的現(xiàn)象非常普遍，而非邏輯思維恰恰是發(fā)展創(chuàng)新能力的重要方式，因此，這一部分的教學(xué)平衡邏輯思維和非邏輯思維的教學(xué)問(wèn)題值得研究和探索，本文就微分中值定理的應(yīng)用教學(xué)這一問(wèn)題展開(kāi)一些研究.

非完全邏輯教學(xué)范式就是結(jié)合邏輯思維與推理和非邏輯思維來(lái)研究和解決問(wèn)題的一種范式.非邏輯教學(xué)范式是邏輯教學(xué)范式的重要補(bǔ)充，它不追求推理的嚴(yán)密性，而注重發(fā)現(xiàn)、探索和創(chuàng)新.很多創(chuàng)新并不是嚴(yán)密邏輯思維的結(jié)果，而是非邏輯思維的結(jié)果，因?yàn)樘剿鞯倪^(guò)程是曲折和復(fù)雜的.運(yùn)用猜想、直覺(jué)、觀察、經(jīng)驗(yàn)、靈感和試錯(cuò)等方式往往會(huì)取得令人意想不到的結(jié)果.教學(xué)實(shí)踐證明：在微分中值定理及相關(guān)問(wèn)題的教學(xué)中引入非邏輯教學(xué)范式效果良好.

二、基于假設(shè)與猜想的輔助函數(shù)的構(gòu)造

微分中值定理的應(yīng)用是考研數(shù)學(xué)的高頻考點(diǎn)，它有兩方面的問(wèn)題需要解決：一是函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，另一個(gè)是區(qū)間的選擇問(wèn)題.特別是尋找函數(shù)是個(gè)難點(diǎn)，下面通過(guò)實(shí)例借助于非邏輯教學(xué)范式來(lái)解決下列問(wèn)題.

問(wèn)題1 ?設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，k為正整數(shù)，證明存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得ξf′（ξ）+kf（ξ）=f′（ξ）.

首先，我們界定問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題的條件，我們認(rèn)為這是一個(gè)羅爾定理問(wèn)題，解決問(wèn)題的難點(diǎn)在于尋找羅爾定理所涉及的函數(shù)，不妨記為F（x）.那么結(jié)合羅爾定理的結(jié)論可知，要證明的結(jié)論應(yīng)是函數(shù)F（x）在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零而整理的結(jié)果.先把要證明的結(jié)論整理為

（ξ-1）f′（ξ）+kf（ξ）=0. （1）

根據(jù)這個(gè)式子猜想要尋找的函數(shù)F（x）可能是某兩個(gè)函數(shù)的和或是兩個(gè)函數(shù)的乘積或是兩個(gè)函數(shù)的商，在此考慮乘積的情況.再考慮到可能的約分運(yùn)算，猜想未約分前式（1）應(yīng)為

（ξ-1）u（ξ）f′（ξ）+ku（ξ）f（ξ）=0. （2）

假設(shè)F（x）=f（x）g（x），那么，依據(jù)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則有

其中C為常數(shù)，取C=1，則F（x）=（x-1）kf（x），再根據(jù)羅爾定理便可證明問(wèn)題1的結(jié)論.

問(wèn)題2 ?設(shè)f（x）在[0，4]上二階可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=1，f（4）=2，證明存在一點(diǎn)ξ∈（0，4），使得f″（ξ）=- 1 3 .

我們也把這個(gè)問(wèn)題界定為羅爾定理問(wèn)題.要證明f″（ξ）=- 1 3 ，就是要證明f″（x）+ 1 3 =0有根，假設(shè)存在函數(shù)F（x），它滿足

F″（x）=f″（x）+ 1 3 ， （7）

且它在[0，4]的某兩個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相等，并假設(shè)其導(dǎo)數(shù)值為零，即假設(shè)F′（x1）=F′（x2）=0，x1，x2∈（0，4）.

就（7）式兩邊連續(xù)積分兩次，并考慮到f（0）=0，可得

這個(gè)問(wèn)題的積分過(guò)程比較簡(jiǎn)單，再看一個(gè)比較復(fù)雜的例子.

問(wèn)題3 ?設(shè)f（x）在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，證明在（0，1）存在一點(diǎn)ξ，使得ξ2f″（ξ）+4ξf′（ξ）+2f（ξ）=0.

我們也要在一系列假設(shè)之下嘗試尋找輔助函數(shù)，所需要的條件即便沒(méi)有給出，我們也假設(shè)它成立，這種非邏輯方式對(duì)于問(wèn)題的解決往往是很有效的.

假設(shè)函數(shù)F（x）滿足F（0）=F′（0）=0和

F″（x）=x2f″（x）+4xf′（x）+2f（x）， （10）

再假設(shè)f（x）滿足f′（0）=0.

式（10）兩邊積分

∫x0F″（t）dt=∫x0t2f″（t）dt+∫x04tf′（t）dt+∫x02f（t）dt

=x2f′（x）+2∫x0tf′（t）dt+∫x02f（t）dt

=x2f′（x）+2xf（x）. （11）

F′（x）=x2f′（x）+2xf（x）. （12）

式（12）兩邊再積分可得F（x）=x2f（x）.利用這個(gè)輔助函數(shù)便可證明問(wèn)題的結(jié)論.

在上面的例子中，尋找輔助函數(shù)，我們運(yùn)用了猜想、假設(shè)和直覺(jué)等方式解決了問(wèn)題.這一過(guò)程并不是一個(gè)嚴(yán)密的邏輯推理過(guò)程，但可以解決問(wèn)題.長(zhǎng)期有意識(shí)地進(jìn)行這樣的訓(xùn)練對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力是極有益的.

三、中值定理在極限計(jì)算中的應(yīng)用

接下來(lái)看一個(gè)極限運(yùn)算問(wèn)題： lim x→+∞ （arctan x+1 -arctan x ）.

如果學(xué)生對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分中值定理理解比較深刻且能熟練運(yùn)用的話，處理這個(gè)問(wèn)題就會(huì)感覺(jué)比較簡(jiǎn)單.

讓我們從函數(shù)的導(dǎo)數(shù)說(shuō)起，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一種變化率，它研究當(dāng)自變量變化后，函數(shù)的改變量相對(duì)于自變量的改變量的比率.考慮函數(shù)y= x ，其導(dǎo)數(shù)y′= 1 2 x? ，當(dāng)x充分大時(shí)，導(dǎo)數(shù)的值很小，說(shuō)明當(dāng)自變量充分大時(shí)，自變量的變化不會(huì)引發(fā)因變量的顯著變化，那么，函數(shù)y= x 在x充分大時(shí)，自變量從x變到x+1，因變量的變化很小.而函數(shù)f（x）=arctan x 在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，因此，有理由猜想 lim x→+∞ （arctan x+1 -arctan x ）=0.從這個(gè)角度解釋，學(xué)生會(huì)對(duì)問(wèn)題的理解更加深刻.此極限涉及函數(shù)值的差，應(yīng)聯(lián)想中值定理.

就函數(shù)f（x）=arctan x 在區(qū)間[x，x+1]上運(yùn)用中值定理，則有

arctan x+1 -arctan x = 1 2 ξ （1+ξ） ，0<x<ξ<x+1. （13）

當(dāng)x→+∞時(shí)，有ξ→+∞，易知 lim x→+∞ （arctan x+1 -arctan x ）=0.

四、借助于直觀的非邏輯范式

再看一個(gè)例子，設(shè)函數(shù)f（x）在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f（0）=f（1）=0，f? 1 2? =1，求證至少存在一點(diǎn)ξ使得f′（ξ）=1.

我們先來(lái)直觀地分析一下，f（0）=0，f? 1 2? =1，如果動(dòng)點(diǎn)沿直線從點(diǎn)（0，0）到? 1 2 ，1 ，那么，該直線的斜率為k1=2，如果沿曲線運(yùn)行，不是勻速上升，顯然，動(dòng)點(diǎn)在某些點(diǎn)處的速度會(huì)大于2，即曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于2，那么，在區(qū)間 0， 1 2? 內(nèi)必存在一點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于1.同理，在區(qū)間? 1 2 ，1 內(nèi)也必存在一點(diǎn)，函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)小于1，再根據(jù)介值定理即可解決問(wèn)題.

函數(shù)f（x）設(shè)函數(shù)在[0，1]上二階可導(dǎo)，顯然f（x）在 0， 1 2 ?上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)拉格朗日中值定理，在區(qū)間 0， 1 2? 內(nèi)必存在一點(diǎn)ξ1使得

f? 1 2? -f（0）? 1 2 -0 =f′（ξ1）， （14）

即f′（ξ1）=2，同理，在區(qū)間? 1 2 ，1 內(nèi)必存在一點(diǎn)ξ2使得f′（ξ2）=-2，由介值定理知在區(qū)間（ξ1，ξ2）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使得f′（ξ）=1.

五、結(jié) 語(yǔ)

本文提出了非完全邏輯范式的教學(xué)概念，并將其運(yùn)用到微分中值定理的教學(xué)中，探討了微分中值定理的一些應(yīng)用問(wèn)題.非完全邏輯教學(xué)范式可以幫助學(xué)生深刻理解相關(guān)知識(shí)，更重要的是進(jìn)行這樣的探索能夠更好地發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力.

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