一類對(duì)稱循環(huán)行列式的解法

田心

【摘要】 對(duì)于任意給定的正整數(shù)p，設(shè)dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1.對(duì)于p+1階行列式Dp+1=|dij|p+1，本文利用組合公式Ckm+n=∑ k j=o CjmCk-jn和公式∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！，m=1，2，…，p+1證明了Dp+1= （-1） p+1 2 （p！）p+1，p為奇數(shù); （-1） p 2 （p?。﹑+1，p為偶數(shù). ?同時(shí)證明了第p+1行代數(shù)余子式之和∑ p+1 j=1 Ap+1j= （-1） p+1 2 （p?。﹑，p為奇數(shù); （-1） p 2 （p?。﹑，p為偶數(shù). ??還推出了兩個(gè)相鄰冪次行列式的數(shù)值關(guān)系|（i+j-1）p|p+1=（-1）pppp！|（i+j-1）p-1|p.

【關(guān)鍵詞】 行列式;組合公式;代數(shù)余子式

在計(jì)算行列式時(shí)，怎樣簡(jiǎn)潔巧妙準(zhǔn)確地計(jì)算是經(jīng)常要考慮的問(wèn)題.特別是對(duì)于一些有順序有規(guī)律的行列式，如果能夠證明其求解公式，應(yīng)用起來(lái)就方便多了.范德蒙（Vandermonde）行列式就是一個(gè)典型的范例.對(duì)于p是任意給定的正整數(shù)，元素dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1的p+1階行列式Dp+1=|dij|p+1，當(dāng)p=1時(shí)，D2=-1;當(dāng)p=2時(shí)，D3=-8=-（2！）3;當(dāng)p=3時(shí)，我們研究發(fā)現(xiàn)D4=（3?。?;當(dāng)p=4時(shí)，D5=（4！）5.看來(lái)，Dp+1隨著p的變化，其值是依賴于p而呈現(xiàn)規(guī)律的.本文的目的就是研究探索這條規(guī)律，給定一個(gè)求解公式，以及這個(gè)求解公式的應(yīng)用.

一、主要結(jié)果

我們要經(jīng)常用到組合公式Ckm+n=∑ k j=o CjmCk-jn（*）和下列引理.

（一）引 理

引理 ?對(duì)于任意給定的正整數(shù)p和m=1，2，…，p+1均有∑ p k=0 （-1）k（k+m）pCkp=（-1）pp！.

要證明這個(gè)引理，需要用到兩個(gè)公式.

公式1 ??設(shè)p是任意正整數(shù)，當(dāng)n>p時(shí)，∑ n k=0 （-1）kkpCkn= 0.

公式2 ??設(shè)p是任意正整數(shù)，當(dāng)n=p時(shí)，∑ p k=0 （-1）kkpCkp=（-1）pp！.

這兩個(gè)公式用數(shù)學(xué)歸納法都容易證明，用這兩個(gè)公式和二項(xiàng)式定理就可以證明這個(gè)引理.

（二）定理及其證明

1.證明思路

我們通過(guò)一個(gè)例題的計(jì)算來(lái)說(shuō)明證明思路.

例1 ??求行列式D6=|（i+j-1）5|，i，j=1，2，3，4，5，6的值.

解 ?D6=? 15 25 35 45 55 65 25 35 45 55 65 75 35 45 55 65 75 85 45 55 65 75 85 95 55 65 75 85 95 105 65 75 85 95 105 115? .

從第一行到第六行分別乘C05，-C15，C25，-C35，C45，-C55后累加到第六行.由引理得第六行每個(gè)元素均為-5！.用-1乘第六行，提取公因子5！后，從第一列到第六列依次逐列相減，最后按第六行展開(kāi)得

D6=5！? 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 35-45 45-55 55-65 65-75 75-85 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95 55-65 65-75 75-85 85-95 95-105? .

從第一行到第五行分別乘C04，-C14，C24，-C34，C44后累加到第五行，利用組合公式（*）和引理得第五行每個(gè)元素均為-5！.提取公因子-5！后，從第一列到第五列依次逐列相減，最后按第五行展開(kāi)得

D6=-（5?。?? ∑ 2 k=0 （-1）k（k+1）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+5）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+5）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+6）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+4）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+5）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+6）5Ck2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+7）5Ck2?? .

從第一行到第四行分別乘C03，-C13，C23，-C33后累加到第四行，利用組合公式（*）和引理得第四行每個(gè)元素均為-5！.用-1乘第四行，提取公因子5！后，從第一列到第四列依次逐列相減，最后按第四行展開(kāi)得

D6=-（5?。?? ∑ 3 k=0 （-1）k（k+1）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+2）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+3）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+2）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+3）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+4）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+3）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+4）5Ck3 ∑ 3 k=0 （-1）k（k+5）5Ck3?? .

從第一行到第三行分別乘C02，-C12，C22后累加到第三行，利用組合公式（*）和引理得第三行每個(gè)元素均為-5！.提取公因子-5！后，從第一列到第三列依次逐列相減，最后按第三行展開(kāi)得

D6=（-1）2（5?。?? ∑ 4 k=0 （-1）k（k+1）5Ck4 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+2）5Ck4 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+2）5Ck4 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+3）5Ck4? ?.

第一行減去第二行，利用引理得第一行每個(gè)元素均為-5！.提取公因子-5！后，再用第一列減去第二列得

D6=（-1）2（-1）（5！）5? 0 1 ∑ 5 k=0 （-1）k（k+2）5Ck5 ∑ 4 k=0 （-1）k（k+3）5Ck4

=（-1）3（5?。?（-1）∑ 5 k=0 （-1）k（k+2）5Ck5

=（-1）3（5！）5（-1）（-1）5！

=（-1）3（5！）6

=（-1） 5+1 2 （5?。?

=-（5?。?.

這里值得注意的是-1的冪次問(wèn)題.容易想到，無(wú)論p是奇數(shù)或偶數(shù)，在我們利用組合公式（*）和引理的計(jì)算中，第p+1行一定是正值p！，最后得到的二階行列式的值一定是-（p?。?.所以，實(shí)際上決定-1冪次的是中間的p-2行.在我們的例子中出現(xiàn)負(fù)號(hào)的是第五行和第三行，再加上前兩行出現(xiàn)的一個(gè)負(fù)號(hào)，故得（-1）3=（-1） 5+1 2 .

2.證明定理

定理 ?設(shè)p是任意給定的正整數(shù)，元素dij=（i+j-1）p，i，j=1，2，…，p+1，則p+1階行列式Dp+1=|dij|p+1= （-1） p+1 2 （p?。﹑+1，p為奇數(shù)， （-1） p 2 （p！）p+1，p為偶數(shù).

證明 ?我們把Dp+1簡(jiǎn)記為

Dp+1=? 1p 2p 3p … pp （p+1）p 2p 3p 4p … （p+1）p （p+2）p 3p 4p 5p … （p+2）p （p+3）p ? pp （p+1）p （p+2）p … （2p-1）p （2p）p （p+1）p （p+2）p （p+3）p … （2p）p （2p+1）p? ?.

先證明p是偶數(shù)的情形.

從第一行到第p+1行分別乘C0p，-C1p，C2p，…，-Cp-1p，Cpp后累加到第p+1行，利用組合公式（*）和引理得第p+1行每個(gè)元素均為p！.提取公因子p！后得

Dp+1=p！? 1p 2p 3p … pp （p+1）p 2p 3p 4p … （p+1）p （p+2）p 3p 4p 5p … （p+2）p （p+3）p ? pp （p+1）p （p+2）p … （2p-1）p （2p）p 1 1 1 … 1 1? .? （2.1）

從第一列到第p+1列依次逐列相減后按第p+1行展開(kāi)得

Dp+1=p！? 1p-2p 2p-3p … （p-1）p-pp pp-（p+1）p 2p-3p 3p-4p … pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p 3p-4p 4p-5p … （p+1）p-（p+2）p （p+2）p-（p+3）p? （p-1）p-pp pp-（p+1）p … （2p-3）p-（2p-2）p （2p-2）p-（2p-1）p pp-（p+1）p （p+1）p-（p+2）p … （2p-2）p-（2p-1）p （2p-1）p-（2p）p?? .

從第一行到第p行分別乘C0p-1，-C1p-1，C2p-1，…，Cp-2p-1，-Cp-1p-1后累加到第p行，利用組合公式（*）和引理得第p行每個(gè)元素均為p！.用-1乘第p行，提取公因子-p！后，從第一列到第p列依次逐列相減，最后按第p行展開(kāi)得

Dp+1=-（p?。?? ∑ 2 k=0 （-1）k（k+1）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）pCk2 … ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p-1）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+3）pCk2 … ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p）pCk2?∑ 2 k=0 （-1）k（k+p-1）pCk2 ∑ 2 k=0 （-1）k（k+p）pCk2 … ∑ 2 k=0 （-1）k（k+2p-3）pCk2?? .

從第一行到第p-1行分別乘C0p-2，-C1p-2，C2p-2，…，-Cp-3p-2，Cp-2p-2后累加到第p-1行，利用組合公式（*）和引理得第p-1行每個(gè)元素均為p！.提取公因子p！后，從第一列到第p-1列依次逐列相減，最后按第p-1行展開(kāi)，進(jìn)入p-2行的運(yùn)算.這樣一直做下去，一層接一層地運(yùn)算一直到第二行得

Dp+1=（-1） p-2 2 （p！）p-1 ?∑ p-1 k=0 （-1）k（k+1）pCkp-1 ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+2）pCkp-1 ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+2）pCkp-1 ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+3）pCkp-1 ??.

第一行減去第二行，利用引理得第一行每個(gè)元素均為p！.提取公因子p！后，再用第一列減去第二列得

Dp+1=（-1） p-2 2 （p！）p? 0 1 ∑ p k=0 （-1）k（k+2）pCkp ∑ p-1 k=0 （-1）k（k+3）pCkp-1

=（-1） p-2 2 （p?。﹑·（-1）∑ p k=0 （-1）k（k+2）pCkp

=（-1） p 2 （p！）p+1.

對(duì)于p是奇數(shù)的情形證明完全類同.不同之處是計(jì)算-1的冪次問(wèn)題.無(wú)論p是奇數(shù)或偶數(shù)，第p+1行一定是正值，最后得到的二階行列式一定是負(fù)值.所以，只計(jì)算中間的p-2行的-1的冪次即可.由于從第p行到第三行的正負(fù)號(hào)的排列依次是-，+，-，+，…這樣負(fù)正相間排列，所以當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，-1的冪次一定是 p-2+1 2 = p-1 2 ;當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，-1的冪次一定是 p-2 2 .

因此，當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，-1的冪次為 p-1 2 +1= p+1 2 ;當(dāng)p為偶數(shù)時(shí)，-1的冪次為 p-2 2 +1= p 2 .定理證畢.

利用定理由（2.1）式得：

推論1 ?設(shè)Ap+1k，k=1，2，…，p+1是代數(shù)余子式，則∑ p+1 k=1 Ap+1k= （-1） p+1 2 （p！）p，p為奇數(shù); （-1） p 2 （p！）p，p為偶數(shù).

容易看出.

推論2 ?對(duì)于任意給定的正整數(shù)p，均有|（i+j-1）p|p+1=（-1）pppp！|（i+j-1）p-1|p.

推論2揭示了兩個(gè)相鄰冪次行列式的數(shù)值關(guān)系.

二、結(jié) 語(yǔ)

本文的定理以及證明的思想方法也可以應(yīng)用到對(duì)稱循環(huán)矩陣上.定理已經(jīng)告訴我們矩陣 A =（（i+j-1）p）p+1的特征值的乘積，這樣對(duì)求 A 的特征值或?qū)?A 對(duì)角化提供了 有力的佐證.此外，用本文的求解思想方法可求矩陣 A 的順序主子式以判定 A 的正定性.期望并歡迎讀者做這方面的研究.