不定積分湊微分法的教學(xué)新探

熊歐

【摘要】 本文提出不定積分的湊微分法的教學(xué)新思路——外層函數(shù)分析法.把湊微分法中連續(xù)湊微的過程轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的求導(dǎo)過程，易于學(xué)生掌握，有效地解決了能直接用湊微分法解決的不定積分問題.

【關(guān)鍵詞】 湊微分法;復(fù)合函數(shù);外層函數(shù)分析法

【基金項(xiàng)目】 重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院教改項(xiàng)目《高校數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革與教材建設(shè)的研究》，項(xiàng)目編號(hào)：YTGJ291721.

在高等數(shù)學(xué)的課程中，一元函數(shù)不定積分的計(jì)算是微積分計(jì)算中的重要內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)定積分、微分方程、多元函數(shù)積分學(xué)的基礎(chǔ).不定積分的求解主要有：直接積分法、第一類換元法（湊微分法）、第二類換元法、分部積分法四種計(jì)算方法.其中，湊微分法應(yīng)用極其廣泛，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn).

湊微分法的基本原理是：設(shè)f（u）具有原函數(shù)F（u），u=φ（x）可導(dǎo)，則F[φ（x）]是f[φ（x）]φ′（x）的原函數(shù)，即有換元公式∫f[φ（x）]φ′（x）dx= ∫f（u）du u=φ（x）.在求積分∫g（x）dx時(shí)，如果函數(shù)g（x）可以化為g（x）=f[φ（x）]φ′（x） 的形式，那么∫g（x）dx=∫f[φ（x）]φ′（x）dx=? ∫f（u）du u=φ（x）.湊微分法的關(guān)鍵在于如何將函數(shù)g（x）化為g（x）=f[φ（x）]φ′（x）的形式.

各類教材及傳統(tǒng)教學(xué)對(duì)這一內(nèi)容的處理方法，都是從被積函數(shù)的一個(gè)復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層出發(fā)，利用常用的湊微分公式由里向外一次一次湊微分運(yùn)算后，利用基本積分公式求解，以下面兩個(gè)例題為例.

例1 ??求∫ （arctan x ）3? x （1+x） dx.

解 ?∫ （arctan x ）3? x （1+x） dx=2∫ （arctan x ）3 （1+x） d x

=2∫（arctan x ）3darctan x

= 1 2 （arctan x ）4+C.

例2 ??求∫ ln2tanx cosxsinx dx.

解 ?∫ ln2tanx cosxsinx dx=∫ln2tanx· 1 tanx ·sec2xdx

=∫ln2tanx· 1 tanx dtanx

=∫ln2tanxdlntanx= 1 3 ln3tanx+C.

以上求解中，例1先利用湊微分公式 1? x? dx=2d x ，再利用公式 1 1+x2 dx=darctanx的變形式把 1 1+x d x 湊成darctan x 后得解.而例2首先需要將被積函數(shù) ln2tanx cosxsinx 變形為ln2tanx· 1 tanx ·sec2x，再利用公式sec2xdx=dtanx，最后利用公式 1 x dx=dlnx的變形式把 1 tanx dtanx湊成dlntanx后得解.

教學(xué)中，雖然給出了一些常見的湊微分公式，但從實(shí)際教學(xué)反饋來看，大多數(shù)學(xué)生不能理解和熟記.即使有的學(xué)生能把這些公式熟背，一旦形式發(fā)生改變，就不會(huì)靈活應(yīng)用了.所以，大多數(shù)學(xué)生面對(duì)稍復(fù)雜點(diǎn)的連續(xù)湊微就束手無策，不知從何下手，導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率降低，學(xué)習(xí)情緒不高.

從上述例題可以看出，多次湊微的結(jié)果就是湊出復(fù)合函數(shù)的第二層函數(shù)的微分，而對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，學(xué)生一般都能熟記，這就啟示我們可以對(duì)被積函數(shù)的復(fù)合函數(shù)由外向內(nèi)分析，只需找到復(fù)合函數(shù)的最外層函數(shù)，把第二層函數(shù)整體作為u直接放到d的右邊.若對(duì)du進(jìn)行微分后與原積分式只相差常數(shù)或符號(hào)，就可通過系數(shù)或符號(hào)處理，使前后積分式相等，再根據(jù)最外層函數(shù)的類型選擇積分公式求其積分.若對(duì)du進(jìn)行微分后與原積分式相差函數(shù)，則表明該積分不能直接利用湊微元法，需變形后再考慮或改用其他方法求解.上述分析方法簡(jiǎn)稱為外層函數(shù)分析法，下面以上述兩個(gè)積分為例具體闡述外層函數(shù)分析法.

例3 ??求∫ （arctan x ）3? x （1+x） dx.

分析 ?考慮復(fù)合函數(shù)（arctan x ）3，最外層函數(shù)為冪函數(shù)u3，第二層函數(shù)為u=arctan x ，計(jì)算du=darctan x = 1 1+（ x ）2 · 1 2 x? dx= 1 2 · 1? x （1+x） dx，與原積分式相比只 差系數(shù) 1 2 ，只需在原積分號(hào)前面乘2即可湊出du=darctan x .

解 ?∫ （arctan x ）3? x （1+x） dx=2∫（arctan x ）3darctan x = 1 2 （arctan x ）4+C.

例4 ??求∫ ln2tanx cosxsinx dx.

分析 ?考慮復(fù)合函數(shù) ln2tanx cosxsinx ，最外層函數(shù)為冪函數(shù)u2，第二層函數(shù)為u=lntanx，計(jì)算du=dlntanx= 1 tanx ·sec2x= 1 cosxsinx .

解 ?∫ ln2tanx cosxsinx dx=∫ln2tanxdlntanx= 1 3 ln3tanx+C.

由此可見，從外層函數(shù)進(jìn)行分析，把連續(xù)湊微的過程轉(zhuǎn)換為學(xué)生熟悉的函數(shù)求導(dǎo)過程，學(xué)生易于理解和接受.在使用外層函數(shù)分析中正確選擇復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分析是關(guān)鍵，針對(duì)被積函數(shù)的形式和特點(diǎn)，歸納出以下幾種選擇方法和技巧.

1.被積函數(shù)只有一個(gè)函數(shù)時(shí)，選擇該函數(shù)為復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分析.

例5 ??∫（3x+2）5dx= 1 3 ∫（3x+2）5d（3x+2）= 1 18 （3x+2）6+C.

2.被積函數(shù)為兩個(gè)及其兩個(gè)以上函數(shù)的乘積時(shí)，選擇復(fù)合層數(shù)最多的函數(shù)為復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分析.

例6 ??∫xex2sinex2dx= 1 2 ∫sinex2dex2=- 1 2 cosex2+C.

3.被積函數(shù)可視為兩個(gè)函數(shù)商的情形時(shí)，把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算再按以下情況選擇：

（1）含有反三角函數(shù)時(shí)，選擇含有反三角函數(shù)的函數(shù)為復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分析.

例7 ??∫ arcsinx? 1+x2? dx=∫arcsinxdarcsinx= 1 2 arcsin2x+C.

提示：把反三角函數(shù)arcsinx看作復(fù)合函數(shù).

（2）不含反三角函數(shù)時(shí)，選擇復(fù)合層數(shù)最多的函數(shù)為復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分析.

教學(xué)實(shí)踐表明，對(duì)于直接能采用湊微分法計(jì)算的不定積分，學(xué)生按照上述方法選擇復(fù)合函數(shù)再采用外層函數(shù)分析法一般都能迅速解題，有效地提高了學(xué)生的解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]范云曄.一元函數(shù)不定積分湊微分法求解技巧的幾點(diǎn)思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016（17）：112.

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