高等數(shù)學(xué)問題在解答過(guò)程中容易出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤及錯(cuò)解分析

許進(jìn)

【摘要】 本文列舉了學(xué)習(xí)者在解答高等數(shù)學(xué)問題時(shí)容易出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤，并對(duì)其中錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分析，最后給出正確的解答過(guò)程.

【關(guān)鍵詞】 高等數(shù)學(xué)問題;典型錯(cuò)誤;錯(cuò)解分析

【基金項(xiàng)目】 河海大學(xué)文天學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)質(zhì)量工程項(xiàng)目（201216）.

高等數(shù)學(xué)是理工類專業(yè)的基礎(chǔ)課.在研究生入學(xué)考試中，高等數(shù)學(xué)不僅是報(bào)考理工類專業(yè)的考生的必考學(xué)科，也是報(bào)考經(jīng)濟(jì)學(xué)、農(nóng)學(xué)、醫(yī)學(xué)等專業(yè)的考生的必考學(xué)科.此課程的內(nèi)容具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性、嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性.多數(shù)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于對(duì)基本概念的理解發(fā)生偏差，對(duì)定理的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清，對(duì)某些公式的適用范圍模糊以及受思維定式的影響，在解答問題時(shí)極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.本文將列舉學(xué)習(xí)者在解答高等數(shù)學(xué)問題時(shí)極易出現(xiàn)的典型錯(cuò)誤[1，2]，并詳細(xì)分析其中錯(cuò)誤的原因，最后給出正確的解答過(guò)程，讓讀者對(duì)問題不僅知其然，而且知其所以然.

一、數(shù)列的極限

例1 ??求 lim n→∞ ??1? n4+n? + 2? n4+2n? +…+ n? n4+n2?? .

錯(cuò)解 ?∵lim n→∞ ?1? n4+n? =lim n→∞ ?2? n4+2n? =…

=lim n→∞ ?n? n4+n2? =0，

∴l(xiāng)im n→∞ ??1? n4+n? + 2? n4+2n? +…+ n? n4+n2

=lim n→∞ ?1? n4+n? +lim n→∞ ?2? n4+2n? +…+lim n→∞ ?n? n4+n2

=0.

分析 ?上述解答過(guò)程中運(yùn)用了極限的運(yùn)算法則 lim n→∞ （an+bn）=lim n→∞ an+lim n→∞ bn的推廣，卻忽略了此運(yùn)算法則僅對(duì)有限項(xiàng)成立，而本題中n→∞，和式的項(xiàng)數(shù)為無(wú)限項(xiàng)，故此運(yùn)算法則不成立.

正解 ?∵ 1? n4+n2? + 2? n4+n2? +…+ n? n4+n2

< 1 ?n4+n? + 2? n4+2n? +…+ n? n4+n2

< 1? n4+n? + 2? n4+n? +…+ n? n4+n? ，

∴ n（n+1） 2 n4+n2? < 1? n4+n? + 2? n4+2n? +…+ n? n4+n2

< n（n+1） 2 n4+n? .

∵lim n→∞ ?n（n+1） 2 n4+n2? =lim n→∞ ?n（n+1） 2 n4+n? = 1 2 ，

∴由兩邊夾定理可知

lim n→∞ ??1? n4+n? + 2? n4+2n? +…+ n? n4+n2?? = 1 2 .

二、函數(shù)的極限

例2 ??求 lim x→∞ ?arctanx x .

錯(cuò)解 ?lim x→∞ ?arctanx x =lim x→∞ ?1 x ·arctanx=lim x→∞ ?1 x ·lim x→∞ arctanx=0·lim x→∞ arctanx=0.

分析 ?上述解答過(guò)程運(yùn)用了極限的運(yùn)算法則 lim x→a? （x→∞） f（x）·g（x）=lim x→a? （x→∞） f（x）·lim x→a? （x→∞） g（x），卻忽略了此運(yùn)算法則成立的前提是 lim x→a? （x→∞） f（x）和 lim x→a? （x→∞） g（x）均存在，而本題 中 lim x→+∞ arctanx= π 2 ， lim x→-∞ arctanx=- π 2 .由于 lim x→+∞ arctanx≠ lim x→-∞ arctanx，因此? lim x→∞ arctanx不存在，故此運(yùn)算法則不成立.

正解 ?lim x→∞ ?arctanx x =lim x→∞ ?1 x ·arctanx.

∵lim x→∞ ?1 x =0，即當(dāng)x→∞時(shí)， 1 x 為無(wú)窮小.

又∵當(dāng)x∈ R 時(shí)，|arctanx|< π 2 ，

即當(dāng)x∈ R 時(shí)，arctanx有界，

∴當(dāng)x→∞時(shí)， 1 x ·arctanx為無(wú)窮小，

即 lim x→∞ ?arctanx x =0.

三、導(dǎo)數(shù)的定義

例3 ??若函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），且f′（0）=2，求f′（1）.

錯(cuò)解 ?∵f（x+1）=2f（x），等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得f′（x+1）=2f′（x），

∴f′（1）=f′（0+1）=2f′（0）=4.

分析 ?上述解法是一種典型的錯(cuò)誤.根據(jù)題目的已知條件，我們僅能得知函數(shù)f（x）在x=0處可導(dǎo)，并不能推知f（x）在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，因此解答過(guò)程中由已知條件“f（x+1）=2f（x）”得出“f′（x+1）=2f′（x）”的結(jié)論是不正確的.

正解 ?∵f（x+1）=2f（x），

∴f（1）=f（0+1）=2f（0），

∴f′（1）=lim x→0 ?f（x+1）-f（1） x =lim x→0 ?2f（x）-2f（0） x =2lim x→0 ?f（x）-f（0） x =2f′（0）=4.

四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例4 ??設(shè)φ（x）= x3sin 1 x （x≠0）， 0（x=0）， ?函數(shù)f（x）可導(dǎo)，求F（x）=f[φ（x）]的導(dǎo)數(shù).

錯(cuò)解 ?F（x）=f[φ（x）]= f x3sin 1 x? （x≠0）， f（0）（x=0）.

當(dāng)x≠0時(shí)，

F′（x）=f′ x3sin 1 x?? 3x2sin 1 x -xcos 1 x? ;

當(dāng)x=0時(shí)，

F′（0）=lim x→0 ?F（x）-F（0） x-0 =lim x→0 ?f x3sin 1 x? -f（0） x-0

=lim x→0 ?f x3sin 1 x? -f（0） x3sin 1 x? · x3sin 1 x? x

=lim x→0 ?f x3sin 1 x? -f（0） x3sin 1 x? ·lim x→0 ?x3sin 1 x? x =f′（0）·0=0.

分析 ?上述解答中求F′（0）的過(guò)程是一種典型的錯(cuò)誤，原因是極限 lim x→0 ?f x3sin 1 x? -f（0） x3sin 1 x? 不存在，因?yàn)榍髽O限的函數(shù)在x=0的任何鄰域內(nèi)都有沒有定義的點(diǎn)x= 1 nπ （n充分大）.

正解 ?F（x）=f[φ（x）]= f x3sin 1 x? （x≠0）， f（0）（x=0）.

當(dāng)x≠0時(shí)，

F′（x）=f′ x3sin 1 x?? 3x2sin 1 x -xcos 1 x? ;

當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（x）為f（u）和u=φ（x）的復(fù)合函數(shù)，且φ（0）=0.

由題設(shè)可知f′（0）存在，若φ′（0）存在，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則F′（0）=f′（0）φ′（0），而φ′（0）=lim x→0 ?x3sin 1 x -0 x = lim x→0 x2sin 1 x =0，則F′（0）=f′（0）·0=0.

五、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)

例5 ??已知 x=ln（1+t2）， y=arctant， ?求 dy dx ， d2y dx2 .

錯(cuò)解 ??dy dx =? dy dt?? dx dt? =? 1 1+t2?? 2t 1+t2? = 1 2t ， d2y dx2 =? 1 2t? ′= 1 2?? 1 t? ′=- 1 2t2 .

分析 ?上述解答中求 d2y dx2 的過(guò)程是一種典型的錯(cuò)誤，原因是等式的左邊是對(duì)x求導(dǎo)，而右邊是對(duì)t求導(dǎo)，故兩邊不可能相等.教材[3]在習(xí)題中給出了求參數(shù)方程 x=φ（t）， y=ψ（t） ?的二階導(dǎo)數(shù)公式，但此公式較為煩瑣，不易記憶，本題中求 d2y dx2 可采用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

正解 ??dy dx =? dy dt?? dx dt? =? 1 1+t2?? 2t 1+t2? = 1 2t ，

d2y dx2 = d dt?? 1 2t? · dt dx = d dt?? 1 2t? ·? dx dt? -1

= - 1 2t2? ·? 2t 1+t2? -1=- 1+t2 4+t3 .

六、洛必達(dá)法則

例6 ??求 lim x→∞ ?x+sinx x .

錯(cuò)解 ?lim x→∞ ?x+sinx x =lim x→∞ ?1+cosx 1 =lim x→∞ （1+cosx）.

∵lim x→∞ （1+cosx）不存在，∴l(xiāng)im x→∞ ?x+sinx x 不存在.

分析 ?上述解法是一種典型的錯(cuò)誤.本題中當(dāng)x→∞時(shí)， x+sinx x 為 ∞ ∞ 型，于是便運(yùn)用洛必達(dá)法則去求解，卻忽略了運(yùn)用洛必達(dá)法則求lim x→∞ ?f（x） g（x） 時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）需滿足三個(gè)條件：（1） A>0，在（-∞，-A）與（A，+∞）可導(dǎo)，且 g′（x）≠0;（2）lim x→∞ f（x）=∞與 lim x→∞ g（x）=∞;（3）lim x→∞ ?f′（x） g′（x） 存在 ，而本題中f（x）=x+sinx與g（x）=x并不滿足第（3）個(gè)條件，故洛必達(dá)法則不適用.

正解 ?lim x→∞ ?x+sinx x =lim x→∞ ?1+ sinx x? =lim x→∞ 1+lim x→∞ ?sinx x

=1+lim x→∞ ?sinx x .

∵lim x→∞ ?1 x =0，即當(dāng)x→∞時(shí)， 1 x 為無(wú)窮小.

又∵當(dāng)x∈ R 時(shí)，|sinx|≤1，即當(dāng)x∈ R 時(shí)，sinx有界，

∴當(dāng)x→∞時(shí)， sinx x 為無(wú)窮小，即lim x→∞ ?sinx x =0，

∴l(xiāng)im x→∞ ?x+sinx x =1.

例7 ??已知f（x）二階可導(dǎo)，f（0）=0，f′（0）=1，f″（0）=2，求 lim x→0 ?f（x）-x x2 .

錯(cuò)解 ?lim x→0 ?f（x）-x x2 =lim x→0 ?f′（x）-1 2x =lim x→0 ?f″（x） 2

= 1 2 lim x→0 f″（x）= 1 2 f″（0）=1.

分析 ?上述解答過(guò)程中兩次運(yùn)用了洛必達(dá)法則.當(dāng)x→0時(shí)， f（x）-x x2 為 0 0 型，因?yàn)閒（x）二階可導(dǎo)，所以可運(yùn)用洛必達(dá)法則得到lim x→0 ?f（x）-x x2 =lim x→0 ?f′（x）-1 2x .由于f′（0）=1，此時(shí) f′（x）-1 2x （x→0）仍為 0 0 型，因此，可再次運(yùn)用洛必 達(dá)法則得到lim x→0 ?f′（x）-1 2x =lim x→0 ?f″（x） 2 ，從而得到lim x→0 ?f（x）-x x2 =? 1 2 lim x→0 f″（x）= 1 2 f″（0）=1.但從題目的已知條件“f（x）二階可導(dǎo)”，我們僅能推知f″（x）存在和f′（x）在其定義域內(nèi)連續(xù)，不能推知f″（x）在x=0處連續(xù)，因此，我們無(wú)法得出“l(fā)im x→0 f″（x）=f″（0）”的結(jié)論.故上述解答中第四個(gè)“等號(hào)”不正確.

正解 ?lim x→0 ?f（x）-x x2 =lim x→0 ?f′（x）-1 2x

= 1 2 lim x→0 ?f′（x）-f′（0） x = 1 2 f″（0）=1.

七、函數(shù)的性態(tài)

例8 ??設(shè)函數(shù)f（x）連續(xù)，且f′（0）>0，則存在δ>0，使得（? ）.

A.f（x）在（0，δ）內(nèi)單調(diào)增加

B.f（x）在（-δ，0）內(nèi)單調(diào)減少

C.對(duì) x∈（0，δ），有f（x）>f（0）

D.對(duì) x∈（-δ，0），有f（x）>f（0）.

錯(cuò)解 ?選A.

分析 ??本題選A是一種典型的錯(cuò)誤，原因是由f′（x0）> 0得不到一定存在x0的某鄰域，在此鄰域內(nèi)f（x）單調(diào)增加.反例如下：

令f（x）= x+2x2sin 1 x （x≠0）， 0（x=0）， ?則：

當(dāng)x=0時(shí)，f′（0）=lim x→0 ?x+2x2sin 1 x? x =1>0;

當(dāng)x≠0時(shí)，f′（x）=1+4xsin 1 x -2cos 1 x .

取xn= 1 2nπ ，則f′（xn）=1-2=-1<0;

取xn= 1 2nπ+ π 2? ，則f′（yn）=1+ 4 2nπ+ π 2? >0.

由于以上的兩種點(diǎn)xn和yn在x=0的任何鄰域內(nèi)都存在，但在x=0的任何鄰域內(nèi)既存在導(dǎo)數(shù)為正的點(diǎn)，也存在導(dǎo)數(shù)為負(fù)的點(diǎn)，則f（x）在x=0的任何鄰域內(nèi)都不單調(diào)增加.

正解 ?本題要用到一個(gè)常用的結(jié)論：

若f′（x0）>0，則存在δ>0，當(dāng)x∈（x0-δ，x0）時(shí)，f（x）<f（x0）;當(dāng)x∈（x0，x0+δ）時(shí)，f（x）>f（x0）.

若f′（x0）<0，也有相應(yīng)的結(jié)論.

由以上結(jié)論可知應(yīng)選C.

八、分段函數(shù)的不定積分

例9 ??若f（x）= ex（x≥0）， cosx（x<0）， ?求∫f（x）dx.

錯(cuò)解 ?∵f（x）= ex（x≥0）， cosx（x<0），

∴∫f（x）dx= ex+C（x≥0）， sinx+C（x<0）.

分析 ?上述答案是一種典型的錯(cuò)誤.

由f（x）= ex（x≥0）， cosx（x<0） ?可得

lim x→0+ f（x）=lim x→0+ ex=1，lim x→0- f（x）=lim x→0- cosx=1.

因此，lim x→0+ f（x）=lim x→0- f（x）=1，即lim x→0 f（x）=1.

因?yàn)閒（0）=e0=1，所以lim x→0 f（x）=f（0）.

即f（x）在x=0處連續(xù).

令F（x）=∫f（x）dx= ex+C（x≥0）， sinx+C（x<0）， ?則

lim x→0+ F（x）=lim x→0+ （ex+C）=1+C，

lim x→0- F（x）=lim x→0- （sinx+C）=C.

因?yàn)閒（x）在x=0處連續(xù)，所以F（x）在x=0處必連續(xù).

因此，有l(wèi)im x→0+ F（x）=lim x→0- F（x），即1+C=C，得到1=0或0=-1，均矛盾.

故上述答案不正確.

正解 ?∵f（x）= ex（x≥0）， cosx（x<0），

∴∫f（x）dx= ex+C1（x≥0）， sinx+C2（x<0）.

∵lim x→0+ f（x）=lim x→0+ ex=1，lim x→0- f（x）=lim x→0- cosx=1，

∴l(xiāng)im x→0+ f（x）=lim x→0- f（x）=1，即 lim x→0 f（x）=1.

又∵f（0）=e0=1，∴l(xiāng)im x→0 f（x）=f（0），

即f（x）在x=0處連續(xù).

令F（x）=∫f（x）dx，∵f（x）在x=0處連續(xù)，

∴F（x）在x=0處必連續(xù).

∵lim x→0+ F（x）=lim x→0+ （ex+C1）=1+C1，

lim x→0- F（x）=lim x→0- （sinx+C2）=C2，

∴1+C1=C2，

∴∫f（x）dx= ex+C1（x≥0）， sinx+1+C1（x<0）.

九、小 結(jié)

從以上所舉的錯(cuò)例中我們可以清晰地認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)課，其內(nèi)容具有很強(qiáng)的基礎(chǔ)性、嚴(yán)密的邏輯性、高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性.我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，只有夯實(shí)基礎(chǔ)，深刻理解定義和定理的本質(zhì)，明確公式的適用范圍，解題時(shí)認(rèn)真審題、仔細(xì)思考，并正確靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，才能避免錯(cuò)誤的出現(xiàn).

注：本文中所說(shuō)的“典型錯(cuò)誤”不僅在解答高等數(shù)學(xué)問題時(shí)容易出現(xiàn)，學(xué)習(xí)者在解答線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題時(shí)同樣容易出現(xiàn).現(xiàn)舉一例如下：

例10 ??三元二次型f=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x3+x1）2的秩為 .

錯(cuò)解 ?令y1=x1+x2，y2=x2-x3，y3=x3+x1，則f=y21+y22+y23，因此，f的秩為3.

分析 ?上述解法是一種典型的錯(cuò)誤，錯(cuò)在所作線性變換不可逆，因而，所得f=y21+y22+y23并非是f的標(biāo)準(zhǔn)形.

正解 ?∵f=（x1+x2）2+（x2-x3）2+（x3+x1）2

=2x21+2x22+2x23+2x1x2+2x1x3-2x2x3，

∴f的矩陣 A =? 2 1 1 1 2 -1 1 -1 2? →? 1 -1 2 0 3 -3 0 0 0? ?.

因此，f的秩=r（ A ）=2.

【參考文獻(xiàn)】

[1]錢吉林，張祖發(fā)，劉敏思，等.數(shù)學(xué)分析題解精粹[M].武漢：崇文書局，2003.

[2]于祥，劉小鳳.高等數(shù)學(xué)中三個(gè)典型問題的淺析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（7）：103.

[3]劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數(shù)學(xué)分析講義（第四版）（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2003.