常型弦方程的譜分析

于倩倩

【摘要】 本文考慮定義在[0，1]區(qū)間內(nèi)的常型弦方程的譜問題，利用Liouville變換將弦方程轉(zhuǎn)化為Sturm-Liouville勢方程，推導(dǎo)出常型弦方程算子在一般分離型邊界條件下的解，特征值和特征函數(shù)的漸近式.

【關(guān)鍵詞】 弦方程;Liouville變換;特征函數(shù)

本文將Dirichlet邊界條件推廣到一般的邊界條件情況下，研究定義在[0，1]區(qū)間內(nèi)的弦方程在如下分離型自伴邊界條件下的譜問題：

Ly=-y″+λp（x）y， y′（0）-h0y（0）=0， y′（1）-h1y（1）=0，

其中密度函數(shù)p（x）∈ C 2[0，1]為正實值函數(shù)，h0，h1∈ R .

由于當(dāng)密度函數(shù)p（x）∈ C 2時，弦方程可以通過Liouville變換轉(zhuǎn)化為與之相對應(yīng)的Sturm-Liouville勢方程， 所以考慮定義在[0，π]內(nèi)的Sturm-Liouville問題L1（q，h，H）：

-u″+q（x）u=μu， u′（0）-hu（0）=0， u′（π）-Hu（π）=0，

其中q（x）∈ C [0，π]為正實值函數(shù)，且h，H∈ R .熟知，微分算子L1在函數(shù)空間L2[0，π]內(nèi)是自伴且下半有界的，它的譜由簡單的實特征值σ（L1）={μn}∞n=0組成.

記φ（x，μ），χ（x，μ）分別是方程-u″+q（x）u=μu滿足如下初始條件的解：

φ（0）=1，φ′（0）=h;χ（0）=1，χ′（0）=1.

引理1.1 [1] 記μ=l2，則

φ（x，μ）=coslx+ h l sinlx+ 1 l ∫x0sinl（x-τ）q（τ）φ（τ，μ）dτ，

χ（x，μ）= sinlx l + 1 l ∫x0sinl（x-τ）q（τ）χ（τ，μ）dτ.

引理1.2 [1] 記l=σ+it，則存在記l0>0，使得當(dāng)|l|>l0時有

φ（x，μ）=O（e|t|x），χ（x，μ）=O? e|t|x |l|? ，

進(jìn)一步，

φ（x，μ）=coslx+O? e|t|x |l|? ，

χ（x，μ）= sinlx l +O? e|t|x |l|2? ，

這些估計式對x∈[0，π]一致成立.

引理1.3 [1] 當(dāng)n→∞時，Sturm-Liouville問題的特征值μn和特征函數(shù)vn滿足如下漸進(jìn)式：

μn=n2+O（1），

vn（x）=? cosnx+O? 1 n? .

下面給出弦方程解，特征值和特征函數(shù)的漸進(jìn)式.記φ（ξ，λ），ψ（ξ，λ）分別為弦方程滿足如下初始條件的解：

φ（0）=1，φ′（0）=0;ψ（0）=0，ψ′（0）=1.

定理1.4 ?記λ=s2，則

φ（ξ，λ）=cossξ+O? e|t|ξ |s|? ，ψ（ξ，λ）= sinsξ s +O? e|t|ξ |s|2? ，

λn= n2π2 c2 +O（1），vn（ξ）=? cosnξ+O? 1 n? ，

其中ξ=∫x0 p（t） dt，c=∫10 p（t） dt.以上漸進(jìn)式對x∈[0，1]一致成立.

證明 ?通過Liouville變換：

ξ=∫x0 p（t） dt， u（ξ;λ）=p 1 4 （0）p 1 4 （x）y（x;λ）， q（ξ）=p- 1 4 （x） d2 dξ2 p 1 4 （x），

將弦方程問題轉(zhuǎn)化為如下Sturm-Liouville問題：

（λ-q（ξ））u（ξ）=-u″（ξ）， u′（0）-hu（0）=0， u′（c）+Hu（c）=0，

其中h= 1 4 p- 3 2 （0）p′（0）+h0p- 1 2 （0），H=-? 1 4 p- 3 2 （1）p′（1）+ h1p- 1 2 （1） ，c=∫10 p（t） dt.

因為p（x）∈ C 2，則q（ξ）∈ C .結(jié)合引理1.1、引理1.2和引理1.3，結(jié)論得證.證畢.

【參考文獻(xiàn)】

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