直線方程x=my+a在解題中的應(yīng)用

楊文金

方程x=my+a表示經(jīng)過點（a，0）的直線，注意該方程可以表示經(jīng)過點（a，0），斜率不存在的直線，但不表示經(jīng)過點（a，0）斜率為0的直線，所以若能判斷直線過（a，0），且斜率可能不存在但不為0，可考慮設(shè)其方程為x=my+a，這樣可以避免討論斜率是否存在.

例1（2017年高考課標(biāo)Ⅲ，理20）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標(biāo)原點O在圓M上；

（2）設(shè)圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

分析：（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓的方程，由斜率之積為-1可得OA⊥OB，即得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得實數(shù)m的值，分類討論即可求得直線l的方程和圓M的方程.

解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：x=my+2，

由x=my+2y2=2x，可得y2-2my-4=0，則y1y2=-4，

又OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1·y2x2=-44=-1，所以O(shè)A⊥OB，

故坐標(biāo)原點O在圓M上.

（2）由（1）可得y1+y2=2m，x1+x2=m（y1+y2）+4=2m2+4，

故圓心M的坐標(biāo)為（m2+2，m），圓M的半徑r=（m2+2）2+m2，

由于圓M過點P（4，-2），因此AP·BP=0，故（x1-4）（x2-4）+（y1+2）（y2+2）=0，

即x1x2-4（x1+x2）+y1y2+2（y1+y2）+20=0，

由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，

所以2m2-m-1=0，解得m=1或m=-12.

當(dāng)m=1時，直線l的方程為x-y-2=0，圓心M的坐標(biāo)為（3，1），圓M的半徑為10，圓M的方程為（x-3）2+（y-1）2=10.

當(dāng)m=-12時，直線l的方程為2x+y-4=0，圓心M的坐標(biāo)為（94，-12），圓M的半徑為854，圓M的方程為（x-94）2+（y+12）2=8516.

點評：直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證Δ>0或說明中點在曲線內(nèi)部.

例2（2017年高考天津卷，理19）設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率為12.已知A是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為12.

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）設(shè)l上兩點P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于點A），直線BQ與x軸相交于點D.若△APD的面積為62，求直線AP的方程.

分析：由于A為拋物線焦點，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為12，則a-c=12，又橢圓的離心率為12，求出c，a，b，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線方程；則A（1，0），設(shè)直線AP方程為x=my+1（m≠0），解出P，Q兩點的坐標(biāo)，把直線AP方程和橢圓方程聯(lián)立解出B點坐標(biāo)，寫出BQ所在直線方程，求出點D的坐標(biāo)，最后根據(jù)△APD的面積為62解方程求出m，得出直線AP的方程.

解：（1）設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0）.依題意，ca=12，p2=a，a-c=12，解得a=1，c=12，p=2，于是b2=a2-c2=34.

所以，橢圓的方程為x2+4y23=1，拋物線的方程為y2=4x.

（2）設(shè)直線AP的方程為x=my+1（m≠0），與直線l的方程x=-1聯(lián)立，可得點P（-1，-2m），故Q（-1，2m）.將x=my+1與x2+4y23=1聯(lián)立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=-6m3m2+4.

由點B異于點A，可得點

B（-3m2+43m2+4，-6m3m2+4）.

由Q（-1，2m），可得直線BQ的方程為（-6m3m2+4-2m）（x+1）-（-3m2+43m2+4+1）（y-2m）=0，

令y=0，解得x=2-3m23m2+2，故D（2-3m23m2+2，0）.

所以|AD|=1-2-3m23m2+2=6m23m2+2.

又因為△APD的面積為62，

故12×6m23m2+2×2|m|=62，

整理得3m2-26|m|+2=0，

解得|m|=63，所以m=±63.

所以，直線AP的方程為3x+6y-3=0，或3x-6y-3=0.

點評：圓錐曲線問題在歷年高考都是較有難度的壓軸題，不論第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點，列方程組，求出橢圓和拋物線方程，還是第二步聯(lián)立方程組求出點的坐標(biāo)，寫直線方程，利用面積求直線方程，都是利用代數(shù)的方法解決幾何問題，坐標(biāo)化，方程化，代數(shù)化是解題的關(guān)鍵.

例3（2016高考浙江文數(shù)）如圖，設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點為F，拋物線上的點A到y(tǒng)軸的距離等于|AF|-1.

（1）求p的值；

（2）若直線AF交拋物線于另一點B，過B與x軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，AN與x軸交于點M，求M的橫坐標(biāo)的取值范圍.

分析：（1）由拋物線的定義可得p的值；（2）設(shè)點A坐標(biāo)和直線AF的方程，通過聯(lián)立方程組可得點B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點N的坐標(biāo)，再利用A，M，N三點共線可得m用含有t的式子表示，進(jìn)而可得M的橫坐標(biāo)的取值范圍.

解：（1）由題意可得拋物線上點A到焦點F的距離等于點A到直線x=-1的距離.

由拋物線的定義得p2=1，即p=2.

（2）由（1）得拋物線的方程為y2=4x，F(xiàn)（1，0），

可設(shè)A（t2，2t），t≠0，t≠±1，因為AF不垂直于y軸，可設(shè)直線AF：x=sy+1（s≠0），

由y2=4xx=sy+1消去x得y2-4sy-4=0，故y1y2=-4，所以B（1t2，-2t），

又直線AB的斜率為2tt2-1，故直線FN的斜率為-t2-12t，

從而得直線FN：y=-t2-12t（x-1），直線BN：y=-2t，所以N（t2+3t2-1，-2t），

設(shè)M（m，0），由A，M，N三點共線得：2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1，

于是m=2t2t2-1，經(jīng)檢驗，m<0或m>2滿足題意.

綜上，點M的橫坐標(biāo)的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞）.

點評：（1）當(dāng)題目中出現(xiàn)拋物線上的點到焦點的距離時，一般會想到轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離.解答本題時轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離，進(jìn)而可得點到y(tǒng)軸的距離；（2）通過聯(lián)立方程組可得點Β的坐標(biāo)，進(jìn)而可得點Ν的坐標(biāo)，再利用A，M，N，三點共線可得m用含有t的式子表示，進(jìn)而可得點M的橫坐標(biāo)的取值范圍.endprint