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    例談幾何畫板在一次函數(shù)應(yīng)用題的教學(xué)嘗試

    2018-01-05 09:48張惠瑜
    中學(xué)理科園地 2017年6期
    關(guān)鍵詞:一次函數(shù)幾何畫板應(yīng)用題

    張惠瑜

    摘 要:讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型,并利用模型解決問題,可以使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解,同時(shí)在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展.幾何畫板具有準(zhǔn)確性、快速性、動(dòng)態(tài)性等優(yōu)點(diǎn),運(yùn)用它來探究一次函數(shù)模型應(yīng)用題,可以改變以往的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生以更加積極主動(dòng)的姿態(tài)參與到問題的研究中,從而讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

    關(guān)鍵詞:一次函數(shù);模型;應(yīng)用題;幾何畫板

    引言

    一次函數(shù)是初中階段學(xué)生學(xué)習(xí)的第一種函數(shù),在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中,學(xué)生可以體會(huì)函數(shù)的特點(diǎn)及函數(shù)的思維方式、研究方法和應(yīng)用模式.學(xué)好一次函數(shù)可為學(xué)習(xí)其他函數(shù)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).一次函數(shù)模型的應(yīng)用問題是初中函數(shù)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容.幾何畫板是一個(gè)優(yōu)秀的教學(xué)軟件,它提供一個(gè)通用的數(shù)學(xué)和物理的教學(xué)環(huán)境,具有豐富而方便的創(chuàng)造功能.作為一個(gè)有力的幾何作圖工具,它可以把點(diǎn)和各類函數(shù)的圖象在坐標(biāo)系中準(zhǔn)確快速地描繪出來[1 ].幾何畫板與一次函數(shù)模型的應(yīng)用題整合,可為師生的教學(xué)構(gòu)建一個(gè)做數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái),能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性,彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)方式的直觀性、動(dòng)態(tài)性等不足,有利于重點(diǎn)難點(diǎn)的突破,提高學(xué)習(xí)的效率,優(yōu)化課堂的教學(xué).

    筆者參加了《數(shù)學(xué)建模視角下的初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究》課題,展開了相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和實(shí)踐.下面談?wù)剮缀萎嫲暹\(yùn)用于一次函數(shù)模型應(yīng)用題的實(shí)踐:

    1 比較大小問題

    一次函數(shù)方案選擇問題是一次函數(shù)應(yīng)用題中一個(gè)重要題型,其中往往需要比較兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系。

    1.1 問題實(shí)踐

    例1 一種節(jié)能燈的功率為10瓦(即0.01千瓦)售價(jià)為60元,一種白熾燈功率為60瓦(即0.06千瓦)售價(jià)為3元.兩種燈的照明效果一樣,使用壽命也相同(3000小時(shí)以上).如果電費(fèi)價(jià)格為0.5元/千瓦·時(shí),消費(fèi)者選用哪種燈省錢?

    分析可得,用節(jié)能燈的總費(fèi)用為:y1=0.5×0.01x+60,使用白熾燈的總費(fèi)用為:y2=0.5×0.06x+3,引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板生成的y1,y2圖象,用圖象法比較大小,在x軸的正半軸取點(diǎn)D,作過點(diǎn)D垂直于x軸的直線與y1,y2的圖象分別交于B、C兩點(diǎn),隨著D點(diǎn)在x軸上運(yùn)動(dòng),可以追蹤B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)的變化情況,如圖1.

    由圖1學(xué)生可以直觀地感受隨著x的變化y1,y2的大小關(guān)系的變化情況.從而體會(huì)用圖象法比較函數(shù)大小的直觀性.

    1.2 體會(huì)

    借助圖象比較兩函數(shù)的大小是比較函數(shù)大小常見的方法.以往動(dòng)態(tài)問題的教授要在黑板上不斷比劃或者是畫出多圖,比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力.而現(xiàn)在讓學(xué)生借助幾何畫板制圖,能讓原本靜止的直線動(dòng)起來,交點(diǎn)也隨之動(dòng)起來,進(jìn)而生成兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),圖象的信息準(zhǔn)確而豐富,讓學(xué)生進(jìn)行分析和討論,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.學(xué)生在對(duì)比動(dòng)態(tài)中兩交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)時(shí),能夠更加清晰地了解函數(shù)的大小隨自變量的變化情況.

    2 擬合函數(shù)問題

    函數(shù)與圖形的擬合,是指通過觀察圖形,讀取問題中的數(shù)據(jù),合理地選擇相關(guān)的函數(shù),并利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式,從而解決問題.

    2.1 問題實(shí)踐

    例2 奧運(yùn)會(huì)每4年舉辦一次,奧運(yùn)會(huì)的游泳成績不斷地被刷新.如男子400m自由泳項(xiàng)目,1996年奧運(yùn)冠軍的成績比1960年的約提高了30s,下面是該項(xiàng)目冠軍的一些數(shù)據(jù):見表1.

    根據(jù)上面資料,能否估計(jì)2012年倫敦奧運(yùn)的冠軍成績?

    可以利用幾何畫板把年份和對(duì)應(yīng)的冠軍的成績作為坐標(biāo)畫在平面直角坐標(biāo)系中,為了更好地觀察點(diǎn),可以把1980年認(rèn)為橫坐標(biāo)為0,從而有(0,231.31),(4,231.23),……,如下圖2,可直觀感受到這一串點(diǎn)基本在同一直線上,且從左到右呈下降趨勢,從而確定選用一次函數(shù)來擬合,此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫板畫直線的功能,選取其中兩點(diǎn)作一條直線,進(jìn)行觀察.經(jīng)多次選取觀察可得,當(dāng)直線過第2點(diǎn)和第8點(diǎn)時(shí),則這八個(gè)點(diǎn)有的這直線上,有的在直線兩側(cè)且比較接近直線,如圖2.

    用第2點(diǎn)(4,231.23)及第8點(diǎn)(28,221.86)的坐標(biāo),求得冠軍成績與年份的近似符合的函數(shù)關(guān)系為y=-0.3904x+ 232.792.

    運(yùn)用所求得的函數(shù)可得:2012年時(shí)的x值為32,得y=-0.3904×32+232.792=220.2992(s).因此,可以預(yù)測2012年奧運(yùn)會(huì)男子400m自由泳的冠軍的成績約是220.2992s(事實(shí)上,2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)我國選手孫楊以3分40秒14的成績,即220.23s取得了冠軍,與預(yù)測的值相僅0.0008s!此次預(yù)測非常準(zhǔn)確?。?016年時(shí)的x值為36,得y=-0.3904×36 +232.792=219.7376s,預(yù)測2016年的冠軍成績?yōu)?19.7376s.從而體會(huì)通過擬合函數(shù)可以建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究和預(yù)測的實(shí)際意義.

    2.2 體會(huì)

    生活中利用函數(shù)進(jìn)行擬合分析是很有用的,但一些實(shí)際應(yīng)用問題,數(shù)據(jù)可能比較大,比較不規(guī)整,若手工作圖,既費(fèi)時(shí)費(fèi)力且誤差會(huì)比較大,不利于分析,幾何畫板能夠準(zhǔn)確快速生成坐標(biāo)和函數(shù),能克服這些問題.其次,對(duì)于給定的離散的點(diǎn),需要嘗試才能確定函數(shù)的形式,正如上述的操作,需要多次作出圖象來判定其接近程度,使用幾何畫板能夠快速地進(jìn)行擬合,建立模型,為后續(xù)運(yùn)用函數(shù)解決問題節(jié)約了時(shí)間.

    3 分段函數(shù)問題

    分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi),其關(guān)系式(或圖象)也不同的函數(shù).分段函數(shù)的應(yīng)用題多設(shè)計(jì)成兩種情況以上,解答時(shí)需分段討論.在現(xiàn)實(shí)生活中存在著很多需分段的實(shí)際問題,例如分段計(jì)費(fèi)、分段路程、分段面積等,因此,分段計(jì)算的應(yīng)用題成了近幾年中考應(yīng)用題的一種重要題型.

    3.1 問題呈現(xiàn)

    例3 依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù),國家征收個(gè)人工資、薪金所得稅是分段計(jì)算的:總收入不超過2 000元的,免征個(gè)人工資、薪金所得稅;超過2 000元部分需征稅,設(shè)全月納稅所得額(所得額指工資、薪金中應(yīng)納稅的部分)為x,x=全月總收入-2 000元,稅率如表2所示.

    (1)若應(yīng)納稅額為f(x),試用分段函數(shù)表示1~3級(jí)納稅額f(x)的計(jì)算公式;

    (2)小張2008年10月份工資總收入為4 200元,試計(jì)算小張10月份應(yīng)納個(gè)人所得稅多少元?

    (3)已知小吳2008年11月份的應(yīng)納個(gè)人所得稅額為475元,試計(jì)算小吳當(dāng)月的工資總收入.

    以下利用幾何畫板進(jìn)行實(shí)踐活動(dòng).

    經(jīng)過分析得函數(shù)解析式化簡得:

    5%x , (0

    f(x)= 0.1x-25 , (500

    0.15x-125 (2000

    借助幾何畫板生成函數(shù)圖象(由于不能重復(fù)命名,第二、三段函數(shù)暫時(shí)分別以g(x)、h(x)表示),將圖象生成為如圖3所示,第(2)問:當(dāng)小張的工資總收入為4200元時(shí),則此時(shí)的全月應(yīng)納稅所得額x=2200,代入第三段函數(shù)解析式可得應(yīng)納稅額為205元.也可利用幾何畫板作直線x=2200與分段函數(shù)的交點(diǎn),所得交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為應(yīng)納個(gè)人所得稅額.第(3)問:以往的做法是令f(x)=475,分別代入三段函數(shù)的解析式,求得對(duì)于的x的值,再檢驗(yàn)所得的x的值是否在對(duì)于的自變量的取值范圍之內(nèi).這樣做需要進(jìn)行多次的計(jì)算.而學(xué)生利用畫板作出直線y=475與分段函數(shù)圖象的交點(diǎn),則易得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4000,如圖3,即為全月應(yīng)納稅所得額4000元,則當(dāng)月的工資總收入為6000元.

    3.2 體會(huì)

    利用幾何畫板模擬分段函數(shù)圖像可讓我們直觀地感受到在不同的自變量的取值范圍下,函數(shù)的不同的變化趨勢,能夠方便得出每一個(gè)分段的最值,利用函數(shù)圖象可解決已知自變量的值求函數(shù)值的問題,或者已知函數(shù)值求自變量的值的問題,在分段函數(shù)中第二個(gè)問題往往需

    要討論,利用圖形法提高解題的效率,從而進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合方法的妙用。

    4 體會(huì)與感悟

    讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程,并利用模型解決問題,可以使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解,同時(shí)在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展.幾何畫板具有準(zhǔn)確性、快速性、動(dòng)態(tài)性等優(yōu)點(diǎn),運(yùn)用它來探究一次函數(shù)模型應(yīng)用題,可以改變以往的學(xué)習(xí)方式,讓學(xué)生以更加積極主動(dòng)的姿態(tài)參與到問題的研究中,通過觀察、猜想、交流、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、推理、自主探究,有利于學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想的形成,提高了學(xué)生解決問題的能力,體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的實(shí)用性,體驗(yàn)了科技的便捷性.正如新課標(biāo)所倡導(dǎo)的“把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具,致力于改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,使學(xué)生樂意并有更多的精力投入到現(xiàn)實(shí)的、探索性的數(shù)學(xué)活動(dòng)中去.”“信息技術(shù)與課程整合”是我國面向21世紀(jì)教育教學(xué)改革的新視點(diǎn).教師要積極主動(dòng)地更新觀念,在學(xué)科教學(xué)中多嘗試各種教育技術(shù)工具,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更多實(shí)驗(yàn)教學(xué)環(huán)境,以提高教學(xué)的效率.

    參考文獻(xiàn):

    [1]李發(fā)斌. 利用“幾何畫板”動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)[J]. 軟件導(dǎo)刊,2005(2):32-33.

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