內外角關系的一般性結論

張小川

《中學數(shù)學雜志》2017年第8期刊登了安徽華興恒老師《三角形內外角關系的拓展與證明》（以下簡稱文[1]），筆者在認真研讀期刊時，想到了更一般性的結論，并拓展到二次平分∠ABC、∠ACB、四次平分∠ABC、∠ACB……在此整理成文，供讀者參考.

圖1圖2圖3圖4為使讀者能清楚本文結論的一般性，先簡要介紹文[1]中的結論：（1）如圖1，OB，OC是角平分線，有∠O=90°+12∠A；（2）如圖2，OB平分∠DBC，OC平分∠ECB，有∠O=90°-12∠A；（3）如圖3，OB平分∠ABC，OC平分∠ACD，有∠O=12∠A；（4）如圖4，DB、EB、DC、EC三等分∠ABC和∠ACB，有∠D=23×180°+13∠A，∠E=13×180°+23∠A.

在上述結論的基礎上，筆者想到了更一般性的結論.

結論1如圖5，三角形兩個內角的n等分線相交所成的角與第三個角的關系是∠BOn-1C=1n×180°+n-1n∠A.

如圖5，在△ABC中，∠ABC的n等分線和∠ACB的n等分線相交，交點依次為O1，O2，…，On-1，計算∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C與∠A的關系.

圖5圖6方法1如圖5，在△BO1C中，根據(jù)內角和計算∠BO1C的值.

∠BO1C=180°-1n∠ABC+ACB，∠BO1C=180°-1n180°-∠A，化簡得，∠BO1C=1-1n×180°+1n∠A即.∠BO1C=n-1n×180°+1n∠A.

同理：∠BO2C=n-2n×180°+2n∠A.

……

∠BOn-1C=1n×180°+n-1n∠A.

方法2

如圖6，可以根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和來計算∠BO1C的值.延長BO1交AC于點E，∠BO1C是△CEO1的一個外角，所以∠BO1C=∠BEC+∠ECO1.分別計算∠BEC和∠ECO1的值就可以知道∠BO1C的值.

讀者可以自行補充完整，在此不再贅述.

圖7結論2如圖7，三角形兩個外角的n等分相交所成的角與不相鄰內角的關系是∠BOn-1C=1n×180°-n-1n∠A.

如圖7，∠DBC和∠ECB是△ABC的兩個外角，這兩個外角的n等分線相交，交點分別為O1，O2，…，On-1，計算∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C與∠A的關系.

方法1如圖7，分別在△BO1C、△BO2C、…、△BOn-1C中，根據(jù)內角和計算.

在△BO1C中，∠BO1C=180°-（∠CBO1+∠BCO1），也就∠BO1C=180°-1n（∠CBD+∠ECB），因為要計算∠BO1C與∠A的關系，可以將∠CBD替換為∠A+∠ACB，將∠ECB替換為∠A+∠ABC，這時∠BO1C=180°-1n2∠A+∠ACB+∠ABC.

也就是

∠BO1C=180°-1n2∠A+180°-∠A，

化簡得∠BO1C=n-1n×180°-1n∠A，

同理，∠BO2C=n-2n×180°-2n∠A

……

∠BOn-1C=1n×180°-n-1n∠A.

圖8方法2如圖8，可以作出相鄰內角的n等分線，根據(jù)四邊形內角和解答.

作出∠ABC和∠ACB的n等分線，相交于點P1，P2，…

在四邊形BO1CP1中，四邊形BO1CP1的內角和：∠BP1C+∠P1BO1+∠P1CO1+∠BO1C=360°，所以∠BO1C=n-1n×180°-1n∠A，…，∠BOn-1C=1n×180°-n-1n∠A.

結論3如圖9，三角形的一個內角、不相鄰外角的n等分線相交所成的角與第三個角的關系是∠BOn-1C=n-1n∠A.

圖9如圖9，∠ABC的n等分線和∠ACD的n等分線相交，交點分別為O1，O2，…，On-1，計算∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C與∠A的關系.

方法1根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和計算.

∠O1CD是△BO1C的一個外角，所以∠BO1C+∠O1BC=∠O1CD.

因為∠O1BC=1n∠ABC，∠O1CD=1n∠ACD，所以∠BO1C+1n∠ABC=1n∠ACD，

所以∠BO1C=1n∠ACD-∠ABC，∠ACD是△ABC的外角，可以將∠ACD替換為∠A+∠ABC，此時∠BO1C=1n∠A+∠ABC-∠ABC.

化簡得，∠BO1C=1n∠A.

同理∠BO2C=2n∠A，…，∠BOn-1C=n-1n∠A.

方法2如圖10，可以作輔助線將∠BO1C，∠BO2C，…，∠BOn-1C放在三角形中，根據(jù)外角來計算.

作∠ACB的1n等分線CE，交BO1于點F.

圖10∠BFC是△FCO1的外角，所以∠BFC=∠BO1C+∠FCO1，所以∠BO1C=∠BFC-∠FCO1.前文已經(jīng)計算出∠BFC=n-1n×180°+1n∠A.endprint

只需計算出∠FCO1就能知道∠BO1C的值.

評注上述三個結論，在解答時用到的知識主要包括三角形內角和、三角形的外角、四邊形的內角和，雖然難度不大，卻更具有一般性.

上述三個結論是分別作出了角的n等分線，如果拓展到分別作出角的2、4、8…等分線時，又會有什么樣的結論呢，下面分別計算三種情況.

圖11拓展1如圖11，在△ABC中，

O1B平分∠ABC，O1C平分∠ACB；

O2B平分∠O1BC，O2C平分∠O1CB；

……

OnB平分∠On-1BC，OnC平分∠On-1CB；

求∠On與∠A的關系？

方法1如圖11，在△BOnC中根據(jù)內角和計算∠On.由題意得，∠O1BC=12∠ABC，∠O2BC=122∠ABC，…，∠OnBC=12n∠ABC.

∠O1CB=12∠ACB，∠O2CB=122∠ACB，…，∠OnCB=12n∠ACB.

在△BOnC中，∠BOnC=180°-∠OnBC-∠OnCB，∠BOnC=180°-12n∠ABC+∠ACB，所以∠BOnC=180°-12n180°-∠A，化簡得∠BOnC=2n-12n×180°+12n∠A.

方法2如圖11，分別計算∠O1、∠O2…的值，找規(guī)律得出∠On的值.

由文[1]的結論可以知道∠O1=90°+12∠A.

在△BO1C中，O2B、O2C是角平分線，能得出

∠O2=90°+12∠O1=32×90°+122∠A=22-121×90°+122∠A；

∠O3=90°+12∠O2=74×90°+123∠A=23-122×90°+123∠A；

∠O4=90°+12∠O3=158×90°+124∠A=24-123×90°+124∠A；

……

∠On=90°+12∠On-1=2n-12n-1×90°+12n∠A=2n-12n×180°+12n∠A.

圖12拓展2如圖12，O1B平分∠ABC，O1C平分∠ACD；

O2B平分∠O1BC，O2C平分∠O1CD；

……

OnB平分∠On-1BC，OnC平分∠On-1CD；

求∠On與∠A的關系？

方法1根據(jù)外角計算出∠On的值.

如圖12，∠OnCD是△BOnC的外角，有∠On+∠OnBC=∠OnCD，所以∠On=∠OnCD-∠OnBC.

分別計算出∠OnCD和∠OnBC就能計算出∠On.

由題意可以知道∠OnCD=12n∠ACD、∠OnBC=12n∠ABC，所以∠On=12n∠ACD-∠ABC，即∠On=12n∠A.

方法2分別計算∠O1、∠O2…的值，找規(guī)律得出∠On的值.

如圖12，由文1的結論可以知道∠O1=12∠A.

在△BO1C中，用同樣的方法可以計算出∠O2=12∠O1=122∠A，

同理，∠O3=12∠O2=123∠A，

……

∠On=12∠On-1=12n∠A.

拓展3如圖13，在△ABC中，BO1平分∠CBD，CO1平分∠BCE；

BO2平分∠CBO1，CO2平分∠BCO1；

……

BOn平分∠CBOn-1，COn平分∠BCOn-1，

求∠On與∠A的關系.

分析

方法1根據(jù)三角形內角和直接計算出∠On的值.

圖13如圖13，∠O1=180°-12∠DBC+∠ECB；∠O2=180°-122∠DBC+∠ECB；

……

∠On=180°-12n∠DBC+∠ECB，∠On=180°-12n2∠A+180°-∠A，

即∠On=180°-12n180°+∠A，

化簡得∠On=2n-12n×180°-12n∠A.

圖14方法2根據(jù)四邊形內角和計算∠On的值.

如圖14，作∠ABC、∠ACB的角平分線，交點為P1；作∠P1BC、∠P1CB的角平分線，交點為P2.

由P1B平分∠ABC，O1B平分∠DBC，可以得出∠P1BO1=90°；同理∠P1CO1=90°.

在四邊形P1BO1C中，∠P1BO1=90°，∠P1CO1=90°，所以，∠P1+∠O1=360°-（90°+90°），所以∠O1=360°-（90°+90°）-∠P1.即∠O1=360°-180°-∠P1.

P2B平分∠P1BC，O2B平分∠O1BC，又∠P1BO1=90°，所以∠P2BO2=45°，同理∠P2CO2=45°，在四邊形P2BO2C中，∠P2BO2=45°，∠P2CO2=45°，所以∠P2+∠O2=360°-（45°+45°），∠O2=360°-（45°+45°）-∠P2.即∠O2=360°-（12×180°）-∠P2.

同理，∠O3=360°-（122×180°）-∠P3.

以此類推∠On=360°-（12n-1×180°）-∠Pn.

由拓展1知道∠Pn=2n-12n-1×90°+12n∠A，

所以，∠On=360°-（12n-1×180°）-（2n-12n-1×90°+12n∠A）.化簡，得

∠On=360°-（2n+1）×90°2n-1-12n∠A，即∠On=2n-12n×180°-12n∠A.

參考文獻

[1]華興恒.三角形內外角關系的拓展與證明[J].中學數(shù)學雜志，2017（8）：51-52.

作者簡介王棟（1975—），男，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教學工作.endprint