初中數(shù)學教材中的解析法

凌飄+梅全雄

【摘要】解析法在數(shù)學中應(yīng)用廣泛，而在教學中教師經(jīng)常忽略對此法的滲透，在習題教學中此種情況尤甚，因而導(dǎo)致學生在解題時也不具備運用此法來解題的意識.義務(wù)教育階段的學習是進行高等教育的基礎(chǔ)，因而在初中數(shù)學教學中，教師就要注重培養(yǎng)學生解析意識.通過對人教版初中數(shù)學教材進行分析，發(fā)現(xiàn)教材中數(shù)學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)安排符合解析法思路，并且解析法也蘊藏著豐富的教育價值.

【關(guān)鍵詞】解析法；方法論；數(shù)學核心素養(yǎng)；數(shù)形結(jié)合；運算能力；計算思維

1何為解析法

通常談及“解析”二字，我們會聯(lián)想到笛卡爾的解析幾何.笛卡爾的解析幾何實質(zhì)上是將代數(shù)和幾何相互融合，取長補短，創(chuàng)立了用代數(shù)解決幾何問題的一般方法.他提出一個求解模式，即任何問題數(shù)學化后，再將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，最后用方程來解決.而其中轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵在于他提出的另一個偉大的方法——建立坐標系，這也是解析法的核心關(guān)鍵步驟.著名數(shù)學家費馬，明確的使用了坐標概念，將笛卡爾代數(shù)方程中的“未知數(shù)”，即變量確定為坐標系中的橫坐標、縱坐標，為笛卡爾的一般方法創(chuàng)建提供了強有力的支持.因此，在笛卡爾和費馬對普適性方法的追求過程中，解析幾何問世.

解析幾何的創(chuàng)立給我們提供了求解的一般步驟，即先建立坐標系，利用已知條件確定點的坐標和曲線方程，而這兩個步驟可以稱之為“坐標法”，這也是大家通常所認為的解析法.其實，解析法的使用范圍并不僅僅是找坐標求曲線方程，它還可利用代數(shù)方法來研究我們在坐標系內(nèi)得到的幾何圖形或者曲線方程的類型、性質(zhì)與位置關(guān)系等.因而，解析法可歸納為這兩個步驟：幾何化—代數(shù)化.幾何化這一步驟中包含兩個操作，一是建立恰當?shù)淖鴺讼?，二是將已知條件和所求目標放在坐標系內(nèi)，用坐標表示.代數(shù)化只包含一個操作，即利用代數(shù)方法求解或進一步探尋曲線的有關(guān)性質(zhì).

2教材中的解析法

21解析法的課程結(jié)構(gòu)圖

圖1人教版教材與解析法有關(guān)的教學內(nèi)容結(jié)構(gòu)安排，如圖1.在七年級上冊有理數(shù)章節(jié)中借助數(shù)軸，引進了相反數(shù)和絕對值的概念，從此建立了“數(shù)”與“形”的聯(lián)系.七年級下冊“平面直角坐標系”這一章節(jié)中介紹了平面直角坐標系以及坐標法.隨后，初中數(shù)學內(nèi)容中的三大板塊與坐標法結(jié)合，即圖形的變換、函數(shù)以及方程（組）與不等式（組）.首先教材中的幾何圖形的變換板塊，其中包括對平面圖形與立體圖形的初步認識，教材中以平面圖形的認識為主，包括直線、射線和線段的認識，其次就是圖形的簡單變換，如平移、軸對稱、中心對稱.后者均運用了坐標法，而前者雖然教材將其安排在七年級上冊，僅簡單的從“形”的角度來認識，但學習函數(shù)的知識后，可將其與“數(shù)”建立聯(lián)系，這其實是一種解析法的思想.人教版教材對方程和函數(shù)的處理采取了先從實際問題中引出方程，而后引進函數(shù)概念，并利用函數(shù)圖象來再認識方程，使方程不再依賴實際問題背景.顯然這對學生邏輯思維要求更高，而在坐標系內(nèi)通過研究函數(shù)圖象來直觀的解方程又不會讓學生對函數(shù)與方程感到難以接受.

總之，從整體上看，教材中各內(nèi)容的安排順序是順應(yīng)解析法的思路.初中教材全部教學內(nèi)容可分為四部分，即數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐，由圖1可知，解析法涉及了教材一半的內(nèi)容.從局部看，圖1中的三大塊內(nèi)容教學安排也各自體現(xiàn)了解析法思想，雖然大都只是坐標法的簡單應(yīng)用，但坐標法是解析法的核心和關(guān)鍵，同時也是基礎(chǔ).在初中階段進行逐步滲透，使得學生能掌握解析法的核心.這樣至少可以讓學生在今后面對數(shù)學難題時，能多一個解題途徑和想法.

2.2實例

人教版教材中關(guān)于幾何圖形的初步認識，其中包括對點、線段、射線、直線、圓和幾種曲線的內(nèi)容介紹，我們從解析法角度對以上內(nèi)容進行探究.

對點進行解析：

如，x+2=0放在數(shù)軸上或者坐標系內(nèi)表示點（-2，0）；

對線段進行解析：

如，-1≤x≤5，此不等式若放在數(shù)軸或坐標系內(nèi)，就可表示單位長為6的線段；

對射線進行解析：

如，x≤-1，此不等式放在數(shù)軸或坐標系內(nèi)，可表示為一條射線；

對直線進行解析：

y=kx+b，k≠0表示過點（0，b）的直線，斜率為k，b是截距，截距不是距離，故可正可負；而直線y=kx+b，k≠0又是一次函數(shù)，過定點（0，b）.前者是將直線放入坐標系內(nèi)，通過觀察分析圖形得到的，后者則運用函數(shù)觀點，通過坐標軸來研究其圖像的性質(zhì).

以上對點、直線、線段與射線的解析均借助了坐標系，將數(shù)的抽象借助形的直觀來展現(xiàn)，通過這種“以形助數(shù)”的方式，可使學生對所學內(nèi)容理解得更加深刻.其實，就這一個簡單的轉(zhuǎn)化卻蘊含著某些重要的數(shù)學思想方法，數(shù)學思想方法是數(shù)學學習的重要素養(yǎng)之一.解析法是代數(shù)與幾何的相互融合，它很好的詮釋了“數(shù)”與“形”結(jié)合的思想，即將復(fù)雜的“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為幾何的“形”.

對于直線也可以直觀的通過分析坐標系內(nèi)點的特點，得出某些類似于“數(shù)”或“形”的結(jié)論.如，通過分析x軸上點的坐標特點，可總結(jié)出一個結(jié)論：x軸可用直線y=0來表示；同樣可分析y軸上的坐標特點，得出結(jié)論：y軸可用直線x=0來表示；分析點（-1，1），（0，1），（1，1），…，（3.14，1）的特點，可得出結(jié)論：這些點都經(jīng)過直線y=1；分析點（1，0），（1，1），（1，2），…，（1，-2），…，（1，3.1415）的特點，可得出結(jié)論：這些點都經(jīng)過直線x=1；亦可通過觀察得到直線x=-1與直線y=-1分別垂直于x軸和y軸的結(jié)論；以上結(jié)論都可通過觀察圖形而輕易獲得，這充分體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合之便利.

對圓進行解析：

初中教材中曲線這一部分學生最熟悉的就是圓.到定點等于定長的點的軌跡，即是圓.解析法視角下，可先建立坐標系，設(shè)圓心為（x0，y0），半徑為r，則圓的方程為x-x02+y-y02=r2；特別地，當r=0時，圓就成了點了.以上方程與結(jié)論依靠建系，直觀的呈現(xiàn)在學習者面前，增強了知識的可接受性.通過以上圓的解析和直觀圖形可以想象，若把圓壓扁一點就成了橢圓，則可根據(jù)圓的方程x2a2+y2a2=1，來猜想一下橢圓方程.endprint

對曲線進行解析：

教材中函數(shù)部分介紹了反比例函數(shù)和二次函數(shù)，將函數(shù)與坐標系結(jié)合，即數(shù)與形的結(jié)合，以便研究函數(shù)圖象性質(zhì).反比例函數(shù)y=kx，可看成雙曲線k=xy，（k≠0），其中k也可表示為曲線上一點向兩坐標軸引垂線與兩坐標軸圍成的圖形的面積.二次函數(shù)y=x2的圖像是頂點為原點，對稱軸為y軸，開口向上的拋物線；而一般地，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像是頂點為-b2a，4ac-b24a，對稱軸是x=-b2a，a>0（a<0）開口向上（向下）的拋物線.利用坐標系來發(fā)掘函數(shù)的幾何意義與性質(zhì)，可加深學生對函數(shù)的理解，也有助于解析意識的培養(yǎng).

總之，通過以上分析我們可以說解析法獲取過程也是數(shù)形結(jié)合思想的滲透的過程.

3意義

其實，解析法真正的價值不僅只是給學生提供了解題的想法.解析法可以有助于認識和改造世界，有助于培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)、有助于計算思維的養(yǎng)成.

3.1有助于認識和改造世界

起初人們對世界的認識是淺層次的，僅從多少和形狀這一側(cè)面來認識事物.作為數(shù)學，隨著人類的認識的深入以及知識的積累，人們逐漸舍棄了事物質(zhì)的特性，尋找到了認識事物量的方法.開始了從數(shù)的量的方面來研究數(shù)的性質(zhì)、關(guān)系及其基本運算規(guī)律和形的性質(zhì)和關(guān)系.從而形成了算術(shù)和幾何學.而代數(shù)的產(chǎn)生使得算術(shù)更具普遍性與概括性.因此，數(shù)與形成為兩個相對獨立的數(shù)學分支發(fā)展起來.但二者又是互相聯(lián)系的，形的大小要靠數(shù)來度之，而數(shù)的多少要靠形來表之，二者又是通過“數(shù)”聯(lián)系起來.恩格斯在《自然辯證法》中提到“數(shù)是我們所知道的最純粹的量的規(guī)定”，因此數(shù)與形最終都統(tǒng)一于量中.在中學數(shù)學中常用的是通過方程來研究幾何圖形或曲線，或者一些簡單的代數(shù)問題通過坐標軸來尋求其幾何意義，易使師生形成這樣的觀念，即在解析法中“從代數(shù)到幾何”從屬于“從幾何到代數(shù)”.此時，人們往往會抓住主要矛盾，專注于培養(yǎng)“從幾何到代數(shù)”意識，而遇到解題關(guān)鍵是需要從抽象的方程或者不等式中發(fā)現(xiàn)其幾何意義時卻束手無策.正因為數(shù)與形是相對獨立又是相互統(tǒng)一的，沒有誰從屬于誰，在解析法的教學中這也正是教師應(yīng)該把握好的辯證關(guān)系，才不會有孰輕孰重之分.

另外，解析法的核心是坐標法，它可將點與數(shù)統(tǒng)一于坐標平面內(nèi).而點的運動產(chǎn)生了曲線，從而曲線與含有變量的方程也統(tǒng)一于坐標平面內(nèi).他們的對立統(tǒng)一性是絕對與相對的辯證統(tǒng)一.坐標系把幾何與代數(shù)中最簡單的兩個概念相聯(lián)系，每一個點都對應(yīng)著唯一的數(shù)，這是其絕對性的統(tǒng)一，但相對于不同的坐標軸，其數(shù)又是不同的，這是其相對性的統(tǒng)一.空間中點的運動產(chǎn)生曲線，要想研究曲線性質(zhì)應(yīng)從小單位點來考察，則需要一個相對靜止的參考物——坐標系.坐標系使得運動的軌跡與規(guī)律等變得可描述，最終可由方程來完成這一工作.同樣地，坐標軸的選取決定了曲線的方程形式.如此，曲線與方程也是絕對與相對的辯證統(tǒng)一.事實上坐標法雖簡單，可其對人類認識和改造世界所起的作用絕不僅僅體現(xiàn)在解決數(shù)學題上.在數(shù)學領(lǐng)域，坐標法為微積分的研究提供了幾何基礎(chǔ)，如運用坐標法可直觀的研究導(dǎo)數(shù)——曲線上一點的切線斜率，定積分——曲邊梯形的面積.它不僅為微積分的建立奠定基礎(chǔ)，也促進了高等數(shù)學的發(fā)展，同時為其他科學領(lǐng)域的探索和研究提供了數(shù)學工具.如運用坐標法開普勒在弟谷·布拉赫收集的資料基礎(chǔ)上，通過對火星運動的研究和計算，發(fā)現(xiàn)天體運動規(guī)律并總結(jié)出了開普勒三大定律.因而，解析法的獲得可以給人們以認識世界和改造世界的方法論啟示.

3.2有助于數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學核心素養(yǎng)是指學生應(yīng)具備的、適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力.數(shù)學教育心理學認為，能力與知識是統(tǒng)一的，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的本源在于知識，陳述性知識為核心素養(yǎng)生成之基石，程序性知識為中介[1].故，數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展離不開知識經(jīng)驗的積累.解析法是幾何與代數(shù)的結(jié)合，而要想掌握此法就必須掌握幾何與代數(shù)的相關(guān)知識，才可讓知識為我所用，以形成能力.解析法將“數(shù)”的抽象與“形”的直觀相融合，再利用數(shù)學邏輯推理來解決問題，在此過程中，經(jīng)歷知識的同化和順應(yīng)，即可獲得陳述性知識，通過問題的解決，長期反復(fù)的歷經(jīng)知識的理解、遷移和創(chuàng)新，最終獲得關(guān)鍵數(shù)學能力，即通過長期不斷地進行解析法的訓練，可獲得以下關(guān)鍵數(shù)學能力：數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理、幾何直觀與問題解決能力.而初中階段，尤其初中二年級學生主要發(fā)展數(shù)學運算能力和空間想象能力.

運算能力是數(shù)學學習中一項重要的能力，是學生根據(jù)一定的法則和運算律正確地進行運算的能力，是初中生需要發(fā)展的關(guān)鍵數(shù)學能力.另外運算能力，不僅表現(xiàn)為具有正確迅速的計算和推理能力，同時需要學生具有較強觀察和分析能力以及能迅速抓住問題的本質(zhì)，綜合運用數(shù)學知識以及數(shù)學思想方法的能力.解析法通常運用數(shù)形結(jié)合的方法，借助形的直觀發(fā)現(xiàn)數(shù)的本質(zhì)或借助數(shù)的抽象來表達形的特征，數(shù)與形的融合易幫助學生觀察和分析問題，抓住關(guān)鍵從而解決問題.而這些方法中不可避免的要進行數(shù)的運算以及推理，同時涉及代數(shù)與幾何的相關(guān)知識，以提升知識綜合運用的能力.此外，運算能力的提高也要重平時的積累，因為數(shù)學素養(yǎng)與能力的提升從來沒有“立竿見影”的捷徑.因而在教學中，教師應(yīng)當認識到運算能力循序漸進、分階段滲透和培養(yǎng)的重要性.而教材的編排也抓住了學生發(fā)展運算能力的關(guān)鍵期，學生經(jīng)歷長期的解析思想的滲透和培養(yǎng)，其計算能力、推理能力以及觀察分析問題和綜合運用知識的能力也將得到提高，最終其運算能力也能得到相應(yīng)的發(fā)展.

3.3有助于計算思維的養(yǎng)成

計算思維并不是指計算機的思維，而是人頭腦中的一種數(shù)學思維.在數(shù)學教育中，計算思維是指從計算的角度出發(fā)思考問題，將問題數(shù)量化，化歸或遞歸為可計算的問題，用數(shù)據(jù)來進行推理[2].相較于可外顯的運算能力，計算思維是一種內(nèi)在的思維過程，是認識事物的一種方式和手段.計算思維，不止關(guān)注計算，更關(guān)注的是計算之上的算理和算法.通常認為計算思維是一種過程思維，過程思維需要從兩方面思考問題，一是程序，二是算法.從教育層面來講，我們更期待學生具有算法化的眼光.算法化要求學生具有縝密的思考方式，具有符合邏輯的、有序的將復(fù)雜問題逐級簡化的能力[3].算法化是計算的核心，為了保證計算的合理性和有效性，同時應(yīng)該認識到算理的重要性.算理是算法的思維本質(zhì)，算法是算理的外在表達的優(yōu)化，學生在明白算理后可避免只知其表不知其里的解題方法的生搬硬套.若用算理與算法兼顧的觀點分析中學數(shù)學教學內(nèi)容，可獲得豐富的算法和深刻的算理，可加深教師對教學內(nèi)容內(nèi)涵的把握，體會數(shù)學的本質(zhì)，獲得教學的高觀點，可更好的進行計算的教學以及學生的運算能力與計算思維的培養(yǎng).其中，解析法提供了非嚴格的程序化解題步驟，為看似復(fù)雜無序的難題尋找到了程序化的思維模式，而代數(shù)與幾何知識的融合克服各自的缺點成為解題可依靠的規(guī)則和手段.由此，解析法的學習過程也是算法化與算理化的滲透，從而有助于提升學生的計算思維.從算法化和算理化的視角出發(fā)，來深度分析教材，進行教學設(shè)計，使學生理解知識間的關(guān)聯(lián)性以及可接受性，完善知識結(jié)構(gòu)，真正明白數(shù)學概念、思想與方法等對數(shù)學的意義，從而理解算理并獲得算法以及算法的創(chuàng)新與優(yōu)化意識，對計算思維的養(yǎng)成是有極大幫助的.

參考文獻

[1]喻平.從PME視角看數(shù)學核心素養(yǎng)及其培養(yǎng)[J].教育研究與評論：中學教育教學，2017（2）：8-12.

[2]吳潔瑩，徐章韜.面向未來的核心素養(yǎng)：從運算能力到計算思維[J].湖南教育A，2017（5）.

[3]徐章韜，陳矛.算法化視角下中學數(shù)學教學內(nèi)容的知識分析[J].數(shù)學教育學報，2013，22（2）.endprint