一道實驗型試題的賞析、探源及其對教學(xué)的啟示

張安軍

【摘要】2017年臺州市中考數(shù)學(xué)試題命制一道實驗型壓軸題，本題背景新穎，梯度合理；凸顯核心素養(yǎng)，凸顯能力考查.對試題進(jìn)行探源，用幾何的方法求一元二次方程的根，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密、中國古代數(shù)學(xué)家趙爽給出了不同的解法.注重實驗操作背后質(zhì)疑和求證，培養(yǎng)理性思維；重視實驗過程中活動經(jīng)驗的積累，提升數(shù)學(xué)思想方法.

【關(guān)鍵詞】實驗型試題；特色欣賞；試題探源；課堂教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.認(rèn)真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式.學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.”為了貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，檢測理念的落實情況，正確引導(dǎo)日常的教學(xué)，發(fā)揮中考應(yīng)有教學(xué)導(dǎo)向功能.2017年浙江省臺州市中考數(shù)學(xué)試題的第24題（壓軸題）命制一道實驗型試題，本題既具有實驗型試題所特有的實驗探索的特點，又具有探究型試題所側(cè)重的“能力探究”的立意特色.本題要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷實驗操作、計算、推理、驗證，借助于實驗，探究并解決問題，實質(zhì)上是將課題學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)活動過程、數(shù)學(xué)思考等考察目標(biāo)融入其中[1].側(cè)重“做數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)化”過程與能力的考察，本試題在“創(chuàng)設(shè)問題情境、內(nèi)涵豐富、側(cè)重理性思維、注重過程與方法滲透”這方面做了有益的嘗試和探索，試題引起的反響也給我們留下了許多有益的思考.

1試題呈現(xiàn)及簡述

題目（原試題中的第24題）在平面直角坐標(biāo)系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的實數(shù)根.比如對于方程x2-5x+2=0，操作步驟是：

第一步：根據(jù)方程的系數(shù)特征，確定一對固定點A（0，1），B（5，2）；

第二步：坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板，使一條直角邊恒過點A，另一條直角邊恒過點B；

第三步：在移動過程中，當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時，點C的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根（如圖1）；

第四步：調(diào)整三角板直角頂點的位置，當(dāng)它落在x軸上另一點D處時，點D的橫坐標(biāo)n即為該方程的另一個實數(shù)根.

（2）結(jié)合圖1，請證明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一個實數(shù)根；

（3）上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置.若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的實數(shù)根，請你直接寫出一對固定點的坐標(biāo)；

（4）實際上，（3）中的固定點有無數(shù)對.一般地，當(dāng)m1，n1，m2，n2與a，b，c之間應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系時，點P（m1，n1），Q（m2，n2）就是符合要求的一對固定點？

上述文字雖400多字，由于本閱讀不涉及數(shù)學(xué)概念的理解，僅是一個說明性的實驗操作，實驗操作結(jié)合具體的方程，敘述清楚，操作明確，學(xué)生在問題的理解上明白、易懂.從問題的設(shè)置上看，起點低，巧用題組關(guān)系，層層遞進(jìn)，借助直角三角板利用直角坐標(biāo)系和特殊的固定點求解一元二次方程的根.用實驗操作的方法求解一元二次方程，構(gòu)思新穎、獨特.本題整合了相似三角形、一元二次方程、勾股定理等初中核心知識，使得各類知識在此題中交匯呼應(yīng)，渾然天成，絲毫不顯知識堆砌的痕跡.

2特色賞析

2.1背景新穎，梯度合理

學(xué)生求解一元二次方程，常用的方法是用公式法、因式分解法和配方法，然而本題求解一元二次方程卻另辟蹊徑，用三角板在直角坐標(biāo)系中也能求解，從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)中創(chuàng)設(shè)有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)的問題情境，從而激發(fā)學(xué)生求知的欲望.閱讀材料的內(nèi)容命題者精心組織，用初中常用的數(shù)學(xué)概念（如“一元二次方程、實數(shù)根、方程的系數(shù)、平面直角坐標(biāo)系、點的坐標(biāo)、直角頂點、恒過點等”）介紹求解一元二次方程的新方法.第（1）小問通過閱讀，按照“第四步”的操作方法求作方程的另一根，考查學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀對信息獲取的能力；第（2）小問對這一操作進(jìn)行理性的追問，這樣的操作所得到點的橫坐標(biāo)為什么就是一元二次方程的根呢？讓學(xué)生經(jīng)歷從感性到理性，從質(zhì)疑到驗證，思維經(jīng)歷了從具體的操作到理性的思辨；由于上述的操作是基于具體的一元二次方程，第（3）小問很自然引導(dǎo)學(xué)生對于一般的一元二次方程操作時固定點有多少對？這樣的固定點唯一嗎？固定點的坐標(biāo)和一元二次方程中的系數(shù)之間的數(shù)量進(jìn)行探究，思維從具體向一般化發(fā)展；第（4）小問是從（3）小問的反面去思考，探索兩個固定點的坐標(biāo)和一元二次方程的系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系，整個問題設(shè)計從簡單到復(fù)雜，從具體到開放，設(shè)計了相互關(guān)聯(lián)的問題，層次非常分明，難度逐級遞進(jìn)，不同層次的學(xué)生都有不同的收獲，猶如爬山欣賞風(fēng)景，不同的高度，展現(xiàn)不同的美景；會當(dāng)臨絕頂，一覽眾山小，那是數(shù)學(xué)高峰的誘惑.這樣設(shè)計既是對學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力的一次檢驗，又是能力立意的充分體現(xiàn)，有效地抑制題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，對我們的教學(xué)有積極的引導(dǎo)作用.

2.2凸顯核心素養(yǎng)，在交會之處做文章

中考數(shù)學(xué)壓軸題須突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，緊扣核心知識，在核心知識的交會處設(shè)計試題，此題考查的內(nèi)容都是初中數(shù)學(xué)中的一些核心內(nèi)容.從知識層面看，主要考查了平面直角坐標(biāo)系，一元二次方程、相似三角形、勾股定理等知識，這些知識都是初中的核心知識，從方法層面看，例如第（2）小問把上述第（1）小問中的數(shù)轉(zhuǎn)化成形，構(gòu)建兩個直角三角形相似，通過相似比構(gòu)建方程，對比方程的系數(shù)，驗證x軸上所求作點的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的根，蘊含數(shù)形結(jié)合，方程思想；第（3）小問思維從特殊拓展到一般，在一般化下的一元二次方程，如何尋找ax2+bx+c=0的固定點，借助閱讀材料中具體的方程x2-5x+2=0，首先把ax2+bx+c=0系數(shù)變成1，即x2+bax+ca=0，化歸到閱讀材料中的固定點問題，可以從特殊值思考，假定其中一個固定點A（0，1），通過相似計算另一固定點B（-ba，ca），也可以從一般化層面思考，假定其中一個固定點A（0，t）（t≠0的參數(shù)），通過計算得到另一固定點B（-ba，cat）（t≠0的參數(shù)），試題中所蘊含的思想從特殊到一般，轉(zhuǎn)化思想；第（4）小問存在點P（m1，n1），Q（m2，n2），探究這兩點坐標(biāo)和一元二次方程ax2+bx+c=0系數(shù)之間的關(guān)系，利用相似三角形或者勾股定理等把它轉(zhuǎn)化到剛解決過的問題，所蘊含轉(zhuǎn)化思想、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等.從經(jīng)驗層面看，解決此題需要學(xué)生具有一定的基本活動經(jīng)驗，例如閱讀材料中具體方程如何操作，如何確定固定點，為一般化方程積累操作活動經(jīng)驗，并進(jìn)行推廣和提升，因此，在平時的教學(xué)中，要注重學(xué)生基本活動經(jīng)驗的積累，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)現(xiàn)與提出過程，發(fā)生與發(fā)展過程，探索與應(yīng)用過程，方法與規(guī)律的概括過程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思與評價，使學(xué)生在一點一滴活動經(jīng)驗積累的基礎(chǔ)上，完成對知識的建構(gòu)，實現(xiàn)對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法的內(nèi)化，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.endprint

2.3方法多元，各顯神通考能力

學(xué)業(yè)考試應(yīng)體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》所倡導(dǎo)“應(yīng)建立目標(biāo)多元、方法多樣的評價體系.”

第（3）小題結(jié)論開放，方法多樣，先把方程ax2+bx+c=0（a≠0）可化為x2+bax+ca=0.

模仿研究小組作法可得：A（0，1），B（-ba，ca）或A（0，1a），B（-ba，c）.當(dāng)點A在y軸上時，形如A（0，t），B（-ba，cat）（t≠0）即可.

第（4）小題解法：

m1，m2，n1，n2與a，b，c滿足的關(guān)系為：

m1+m2=-ba，①

m1m2+n1n2=ca.②

①②式的推導(dǎo)過程如下：

設(shè)方程ax2+bx+c=0的根為x0.

（?。﹏1，n2均不為零時，根據(jù)三角形相似可得：|n1||m1-x0|=|m2-x0||n2|.

當(dāng)n1，n2符號為同號時，點P，Q分別在AE，BF上，m1-x0，m2-x0的符號必為異號；當(dāng)n1，n2符號為異號時，點P，Q分別在EF，AB上，m1-x0，m2-x0的符號必為同號.

綜上可得：n1n2=-（m1-x0）（m2-x0），化簡可得：x20-（m1+m2）x0+m1m2+n1n2=0，通過比較系數(shù)可得①②兩個式子.

（ⅱ）n1，n2至少有一個為零時，①②兩個式子仍然成立.

解法二：點P（m1，n1），Q（m2，n2），設(shè)方程ax2+bx+c=0的根為x0.利用勾股定理可得：（m1-x0）2+n21+（m2-x0）2+n22=（m1-m2）2+（n1-n2）2.

上式化簡得：x20-（m1+m2）x0+m1m2+n1n2=0，通過比較系數(shù)可得①②兩個式子.

設(shè)方程的根為x，根據(jù)三角形相似可得x2-（m1+m2）x+m1m2+n1n2=0，又因為ax2+bx+c=0，即x2+bax+ca=0.

比較系數(shù)可得

m1+m2=-ba，①

m1m2+n1n2=ca.②

解法四：因為m1+m22=-b2a，所以

m1+m2=-ba，①

根據(jù)三角形相似可得

m1m2+n1n2=ca.②

3試題探源

事實上用幾何的方法求作一元二次方程的根，早在公元前古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得就給出幾何求法，《幾何原本》卷二命題11給出了等價于求一元二次方程正實根的方法，如圖5，PB是⊙O1的直徑，PA=c，AB=1，AE⊥PB于A點，則可算得AE=c，⊙O2的圓心在PB的延長線上，直徑是b，四邊形AEFD是矩形，由FD2=CD×DQ，則x1=CD，x2=DQ是一元二次方程x2-bx=c的兩個根；圖6中，F(xiàn)C2=FM×FN，則x1=FM，x2=FN是一元二次方程x2+bx=c的兩個根；圖5圖6上述中考試題，也可以看成如圖7所示，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O是以（0，1）和（-b，c）為直徑，若⊙O與x軸有兩個交點，這兩個交點的橫坐標(biāo)x1，x2就是方程x2+bx+c=0的根.

然而北師大版《九年級義務(wù)數(shù)學(xué)教科書（上冊）》52頁“讀一讀”中以“x2+2x-35=0”為例介紹兩種幾何作圖法，一種是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的解法，如圖8所示，正方形ABCD是由4個相同的矩形和一個正方形EFGH組成，矩形的長比寬大2，正方形EFGH的邊長是2，由大正方形ABCD面積等于4個矩形的面積和一個小正方形EFGH面積之和，設(shè)矩形的寬為x，可得（x+2+x）2=4×35+22，因此解得一個正根為x=5；公元8世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密也給出幾何解法，如果用花拉子密的方法，如圖9所示，正方形ABCD是由正方形EFCH和兩個全等的矩形（矩形ABFN和矩形AMHD）組成，其中矩形ABFN和矩形AMHD重疊部分為正方形，正方形AMEN的邊長為1，設(shè)HC=x，可得（x+1）2=35+1，解得其中一個正根為x=5；當(dāng)然幾何作圖的方法可以推廣得一般形式：ax2+bx=c.

趙爽的方法和花拉子密的方法雖然構(gòu)造幾何圖形不同，但本質(zhì)上都是相同，構(gòu)造大正方形，然而花拉子米的解法更直觀地體現(xiàn)了配方法的幾何意義.

4教學(xué)啟示

2017年臺州市考生大約60564人，數(shù)學(xué)試卷總分150分，本題壓軸題共14分，考生各小題得分如下表：

第24題第（1）問第（2）問第（3）問第（4）問分值143434平均得分35920112043004難度系數(shù)026067028014001從表中可以看出，除第（1）小問外，其余3個小問，難度系數(shù)都比較低，這反應(yīng)出一線教師在課堂教學(xué)中存在著一定的問題，也給實驗教學(xué)以啟發(fā).

4.1注重實驗操作背后質(zhì)疑和求證，培養(yǎng)理性思維

圖10第（2）小問對上述閱讀材料進(jìn)行追問，要求學(xué)生對這一操作的正確性進(jìn)行驗證，數(shù)學(xué)實驗不僅要會“直觀的做”，而且還會“抽象的思”.從這次學(xué)生答題來看，第（1）小問，大部分學(xué)生能讀懂題意并能操作，第（2）小問學(xué)生雖能構(gòu)造出“一線三直角”，但大部分學(xué)生未能理解所構(gòu)造相似三角形和一元二次方程之間的關(guān)系，思維層面不能進(jìn)行深層次理解和思考，也反映出平常實驗教學(xué)中雖有直觀操作、觀察、比較、歸納和合情推理，但缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性的求證，實驗教學(xué)更需要運用數(shù)學(xué)的思維方式檢驗或反思數(shù)學(xué)結(jié)論的能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和理性精神.例如在一次函數(shù)圖象性質(zhì)的教學(xué)中，為了讓學(xué)生理解一次函數(shù)的圖象是一條直線，如圖10所示，大部分老師會利用幾何畫板迭代或者軌跡功能進(jìn)行演示實驗，點與點之間慢慢地從疏朗變到稠密，讓學(xué)生形象地觀察到一次函數(shù)的圖象是一條直線.對這一過程的演示老師能否引導(dǎo)學(xué)生深層次地思考呢，能否引導(dǎo)學(xué)生用質(zhì)疑、批判的眼光審視這一問題呢？圖11為什么這些點都是在一條直線上呢？引導(dǎo)運用數(shù)學(xué)的思維方式檢驗或反思數(shù)學(xué)結(jié)論，如圖11所示，能否證明相鄰A，B，C三點共線嗎？運用全等三角形證明這一結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)謹(jǐn)性.endprint

4.2重視實驗過程中活動經(jīng)驗的積累，提升數(shù)學(xué)思想方法

第（3）小問尋找固定點，首先化“ax2+bx+c=0”系數(shù)為1的“x2+bax+ca=0”，這樣轉(zhuǎn)化到閱讀材料中特殊方程中如何尋找固定點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想；第（4）小問從第（3）小問反面思考，如果已知兩固定點，探究兩固定點的坐標(biāo)與a，b，c之間的關(guān)系.此題揭示實驗操作探究問題的一般過程：動手操作、思考發(fā)現(xiàn)、質(zhì)疑求證、實踐探究、類比拓展，滲透了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般方法：從特殊到一般、類比與歸納、聯(lián)想與拓展、轉(zhuǎn)化思想等，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題的提出、研究、解決、拓展的全過程，在這次考試學(xué)生實際答題中，只有極小部分學(xué)生能夠深層次探究，也反映出日常課堂教學(xué)中雖有實驗操作探究的活動，但沒有實驗過程中操作的反思，沒有對重復(fù)活動經(jīng)驗中提升和概括.例如，北師大版《九年級義務(wù)數(shù)學(xué)教科書（上冊）》52頁“讀一讀”中以“x2+2x-35=0”為例介紹兩種幾何作圖法，如果我們的老師僅這個例子進(jìn)行講解，讓學(xué)生進(jìn)行模仿性地操作，這樣的教學(xué)談不上活動經(jīng)驗的積累和思想方法的提升，相反挖掘閱讀材料的內(nèi)容，進(jìn)行如下設(shè)計：

問題1：三國時期數(shù)學(xué)家趙爽和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密都用形的方法探討了一元二次方程的解法，例如，一元二次方程“x2+2x=35”兩個數(shù)學(xué)家給出如圖8、9所示的解法.請你利用這兩個圖求解方程：“x2+2x-35=0”.

問題2：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“x2-4x=5”；

問題3：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“2x2+3x=5”；

問題4：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“x2+bx=c”；

問題5：請你用趙爽（花拉子密）構(gòu)圖的方法解方程“ax2+bx=c”.

上述問題2是問題1的變式，從模仿到遷移；問題3是問題2的拓展和提升，首先把“2x2+3x=5”的化系數(shù)為1，即“x2+15x=25”，這樣問題3轉(zhuǎn)化為問題1；問題4是問題3的一般化；問題5又是問題4的一般化.上述問題設(shè)計中，學(xué)生在重復(fù)構(gòu)造正方形解一元二次方程，思維經(jīng)歷了從模糊到朦朧，從朦朧到清晰，學(xué)生構(gòu)圖的過程就是從無意識模仿地畫圖到有點方法地構(gòu)圖，從有點方法構(gòu)圖到自己創(chuàng)造性地構(gòu)圖，每次的構(gòu)圖都不僅是上一次地重復(fù)，而是上一次構(gòu)圖的拓展和提升，這樣在重復(fù)操作構(gòu)圖解決一元二次方程中，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思總結(jié)，在不同問題中用了哪些相同的操作方法，在總結(jié)中不斷優(yōu)化學(xué)生的思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法.

參考文獻(xiàn)

[1]呂小保.新課改背景下的操作探究型試題及教學(xué)啟示，[J].數(shù)學(xué)通報，2008（10）：59-61.endprint