分類討論以尋找數(shù)學(xué)解題突破口

羅錦

【摘 要】本文從“妙用參數(shù)，簡化函數(shù)問題；捋順事件，破解古典概率型問題；結(jié)合等比，認(rèn)清數(shù)列公比；同化象限，巧解三角函數(shù)”四個方面論述分類討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣，使學(xué)生能更準(zhǔn)確地求解數(shù)學(xué)問題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 分類討論 明晰化 條理化

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07B-0157-02

分類討論的思想是數(shù)學(xué)中非常重要而且實(shí)用的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的特點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的目標(biāo)性，對學(xué)生的要求為能夠解決大綱內(nèi)的數(shù)學(xué)問題，因此，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想非常必要。分類討論是指在某些解題條件不確定時，通過逐條分析可能的情況，從而條分縷析地解決問題的過程。有時通過分類討論還能獲得一個統(tǒng)一的解。面對一些困難的問題，學(xué)生可能一時之間找不到巧妙的辦法，但是通過分類討論之后，就會撥云見日。

一、妙用參數(shù)，簡化函數(shù)問題

參數(shù)是代數(shù)式中待確定的未知量，對解決問題起著關(guān)鍵性的作用。參數(shù)既然是有待確定或者不能確定的，那么就不能當(dāng)作已知條件來用，而是需要分析其在不同條件下對題目的影響，即進(jìn)行分類討論。靈活處理函數(shù)問題中的參數(shù)，可以極大地簡化函數(shù)問題的解決過程。

函數(shù)有很多種類，但不管是哪一種種類，一般來說，當(dāng)其中的參數(shù)發(fā)生變化時會影響函數(shù)的性質(zhì)，甚至?xí)乖瘮?shù)產(chǎn)生本質(zhì)上的變化。下面以一道題目為例。

至此參數(shù)式對函數(shù)的影響關(guān)系已經(jīng)全部明確了，所有的可能情況加在一起得到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)果，這是分類討論思想的具體應(yīng)用。

在很多情況下，求解問題是沒有捷徑的，運(yùn)用分類討論的思想將困難問題分解為幾個簡單的問題，從而實(shí)現(xiàn)由難到易的過程。分類討論雖然需要一個完整的過程，但是并不是將問題復(fù)雜化，而是把問題明晰化、條理化，更好地解決問題。

二、捋順事件，破解古典概率型問題

分類討論思想在概率問題中也得到非常廣泛的應(yīng)用。概率類的題目中經(jīng)常會出現(xiàn)各種各樣的事件，有些事件不能用同一種方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，有的事件如選取的對象和方法不同結(jié)果也不同，因此需要進(jìn)行分類討論。

以 2008 年的山東高考題目為例。

在一次奧運(yùn)火炬的傳遞儀式中，有從 1 到 18 編號的 18 名火炬手。如果需要從這 18 名火炬手中選出 3 人，問能夠組成以3 為公差的等差數(shù)列的概率為多少。

此題屬于古典概率型題目，解題的思路也比較明晰。首先要計(jì)算出總的事件個數(shù)，即符合“從這 18 名火炬手中選出 3人”事件的總個數(shù)，然后從這個總個數(shù)中求出符合“組成以 3 為公差的等差數(shù)列”條件的事件個數(shù)，后者與前者的比值即為目標(biāo)事件發(fā)生的概率。構(gòu)成 3 為公差的等差數(shù)列這一描述很清楚，但是以 3 為公差的數(shù)列首項(xiàng)沒有確定，所以從 1 到 18 能產(chǎn)生的等差數(shù)列中元素的個數(shù)也就不能確定，因此本題目需要進(jìn)行分類討論。首先明確基本事件的總個數(shù)，是從 18 個數(shù)字中選取 3 個，為 ，因?yàn)樽罱K結(jié)果要求比值，所以這里不必將乘積計(jì)算出來。下面我們針對數(shù)列的首項(xiàng)進(jìn)行分類討論。

古典概率型問題很簡單，僅僅是一個比值，但是古典概率型問題下的事件可能有難有易，需要因題而異。一些比較復(fù)雜的事件往往有很多種特殊情況，或者存在容易被忽略的情況，這時候就需要學(xué)生在解題時運(yùn)用分類討論的方法，將題目的各種情況討論全面。

三、結(jié)合等比，認(rèn)清數(shù)列公比

分類討論思想在等比數(shù)列中也有著很顯著的作用，基于等比數(shù)列豐富的變化情況，有時候需要進(jìn)行分類討論。在等比數(shù)列中，有一種情況經(jīng)常需要被單獨(dú)拿出來討論，那就是公比為 1時的情況。結(jié)合等比數(shù)列的題目，運(yùn)用分類討論思想，可以認(rèn)清數(shù)列公比。仍然以一道題目為例進(jìn)行探究。

數(shù)列公比為 1 時將具有很多特殊的性質(zhì)，因此這種情況一定要單獨(dú)討論。在很多時候?qū)W生會忽略討論，從而出現(xiàn)錯誤?？梢哉f，認(rèn)清數(shù)列公比是考驗(yàn)分類討論思想熟練度的一個指標(biāo)。

四、同化象限，巧解三角函數(shù)

三角函數(shù)也是運(yùn)用分類討論思想相對較多的一種函數(shù)類型，尤其是已知因變量求解自變量的過程。但是在很多情況下，三角函數(shù)的解題也可以避開分類討論，從而減少一些麻煩。所以說分類討論是一種很有用的數(shù)學(xué)思想，但是也不能盲目照搬。首先要考慮是否需要用到分類討論，然后才能應(yīng)用。如果可以避免分類，那么就要用其他方法來求解，這也是運(yùn)用分類討論思想的一種高級境界。

三角函數(shù)之所以需要進(jìn)行分類討論，是由其周期函數(shù)的性質(zhì)決定。三角函數(shù)描述了角度與三角函數(shù)值的關(guān)系，而角度在不同象限中對值的影響是不同的。不同的角度如果在同一象限滿足一定的數(shù)量關(guān)系，那么它的三角函數(shù)值也可能是相同的。因此，在一些有關(guān)三角函數(shù)的題目中，因?yàn)榻嵌人诘南笙薏淮_定，所以經(jīng)常需要進(jìn)行分類討論，以確定三角函數(shù)值的正負(fù)、大小等。分類討論固然可以有條不紊地解出題目來，但是在實(shí)際的解題中也不能盲目地應(yīng)用。如果能夠確定角所在象限，那么就可能不需要進(jìn)行繁瑣的討論。例如下面這一道題目。

已知 a 在第一象限，，求的值。

如果以傳統(tǒng)的解法來解這道題目，勢必要將轉(zhuǎn)化為 和，或者說要通過 tana 來求解，但是無論如何，都要涉及在哪個象限的討論，而這個過程是比較復(fù)雜的，會浪費(fèi)很多時間。為此，在求解時，我們可以避免的出現(xiàn)，將角度控制到第一象限的范圍中。題目中既然出現(xiàn)了二分之一，那么就需要考慮二倍角相關(guān)的公式。在本題中需要逆用一下，，通過這樣的演化，將待解函數(shù)統(tǒng)一到了一個象限中，避免了繁瑣的討論過程。所以有時候繞過分類討論，也是分類討論思想解題的一種策略。

高中數(shù)學(xué)中的問題各式各樣，有一些問題是非常側(cè)重技巧性的。技巧不是憑空而來的，需要在解題中慢慢沉淀，諸如分類討論等很多的數(shù)學(xué)思想，都不可盲目地套用，而是需要用實(shí)踐去深刻領(lǐng)會，逐漸地形成一種技巧。

綜合來說，分類討論是一種很穩(wěn)健的解題策略，不論是在正常的情況下還是在思路不清的情況下，分類討論都可以將解題進(jìn)行下去，不至于束手無策。在分類討論的過程中，思路逐漸明晰，一些巧妙、便捷的思路也可能會在討論中逐漸生成。

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（責(zé)編 盧建龍）