加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題中“數(shù)”的研究，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬斌

加強(qiáng)數(shù)學(xué)解題中“數(shù)”的研究，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)

☉江蘇省金湖中學(xué) 陳萬斌

“數(shù)”是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和核心，是數(shù)學(xué)中最基本、最重要的呈現(xiàn)方式，可以說沒有“數(shù)”就沒有數(shù)學(xué).學(xué)生對“數(shù)”的認(rèn)識是最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這就需要我們在教學(xué)或解題指導(dǎo)中加強(qiáng)對“數(shù)”的本質(zhì)及特征性研究，加強(qiáng)“數(shù)”在具體習(xí)題中的實(shí)際用意和數(shù)學(xué)含義的思考.針對性對“數(shù)”進(jìn)行專題探討，提高學(xué)生靈活思維能力和分析問題、解決問題的實(shí)踐能力，通過對“數(shù)”的研討，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).下面從幾個(gè)例題來加以說明.

一、“系數(shù)”在圓錐曲線中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

例1已知（x0，y0）是橢圓上一點(diǎn)，A（1，1），點(diǎn)F為其右焦點(diǎn)，求（|PA|+2|PF|）min.

解析：抓住數(shù)字“2”的實(shí)際含義和用法.設(shè)過點(diǎn)P作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為N.

故（|PA|+2|PF|）min=（|PA|+|PN|）min=|AN|=4-1=3.

評論：抓住數(shù)字“2”的實(shí)際含義和用法，聯(lián)想離心率直接轉(zhuǎn)化.

二、“變數(shù)”在不等式中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

例2定義R上的函數(shù)（fx）是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，（fx）=x2對任意x∈［t，t+2］，不等式（fx+1）≥2（fx）恒成立，求實(shí)數(shù)t的范圍.

解析：解題在于試題中“2（fx）”中數(shù)字“2”變到“自變量中”去.由（fx）是奇函數(shù)知，故2（fx）=又（fx）是R上增函數(shù)，原不等式：當(dāng)x∈［t，t+2］時(shí)恒成立，即當(dāng)恒成立，即

評論：解題在于試題中“2（fx）”中數(shù)字“2”變到“自變量中”去，培養(yǎng)學(xué)生對函數(shù)抽象化的理解.

三、“拆數(shù)”在三角函數(shù)中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

例3已知sin（3α+β）=2sin（α+β），求的值.

解析：比較已知與結(jié)論，抓住“3”和“1”處理：3=2+1，1=2-1.

因?yàn)?α+β=（2α+β）+α，α+β=（2α+β）-α，

則由已知得sin［（2α+β）+α］=2sin［（2α+β）-α］，

即sin（2α+β）cosα+cos（2α+β）sinα=2［sin（2α+β）cosα-cos（2α+β）sinα］，

于是sin（2α+β）cosα=3cos（2α+β）sinα，故

評論：培養(yǎng)學(xué)生善于觀察“數(shù)”，把握運(yùn)算技巧.

四、“常數(shù)”在函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

例4已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)（fx），若對任意x∈（0，+∞），都有則方程（fx）=2+的解的個(gè)數(shù)是（ ）.

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

解析：抓住關(guān)鍵詞，充分理解題目的本質(zhì).本題關(guān)鍵詞是“單調(diào)”，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)的，再由知，（fx）+log1x只能是一個(gè)“常數(shù)”.

2

則log2m+m=3，

故m=2.

故（fx）=log2x+2.

所以x1=4或x2=16共兩解.

評論：抓住關(guān)鍵詞充分理解題目的本質(zhì)，進(jìn)行邏輯推理.

五、“湊數(shù)”在函數(shù)最值中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

例5已知求（fx）的最大值和最小值之和.

解析：分析已知函數(shù)特點(diǎn)，進(jìn)行變化.

maxmin

評論：由常見結(jié)論是奇函數(shù)，故配數(shù)可解題.分析已知函數(shù)特點(diǎn)，建立新的函數(shù)模型.

六、“消數(shù)”在圓中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)

例6已知點(diǎn)M在圓C：（x-4）2+（y-4）2=8上運(yùn)動(dòng)，A（6，-1），O為原點(diǎn)，求數(shù)S=（|MO|+2|MA|）min

解析：本題的難處在于式子“|MO|+2|MA|”中的數(shù)字“2”如何“消去”.設(shè)M（x0，y0），則（x0-4）2+（y0-4）2=8，

設(shè)點(diǎn)B（3，3），則S=2（|MB|+|MA|），

評論：本題的難點(diǎn)在于“|MO|+2|MA|”中的數(shù)字“2”如何“消去”，要善于捕捉數(shù)據(jù)的特點(diǎn)并進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化.

七、“巧數(shù)”在數(shù)列中的運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生對“數(shù)”的深層理解

例7已知｛an｝成等比數(shù)列，an＞0，a1a5=64，S5-S3=48.

（1）求an；

（2）對于正整數(shù)k，m，（lk＜m＜l），求證：m=k+1且l=k+3是5ak，am，al這三項(xiàng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列成立的充要條件.

解析：（1）可知an=2n.

（2）證明可知｛an｝中任何不同三項(xiàng)不可能成等差數(shù)列（證明略），由數(shù)字“5”進(jìn)行變化，抓住“5”這個(gè)“巧數(shù)”進(jìn)行奇偶性推論.

①由2am=5ak+al，則則不成立；

②2a1=5ak+am，同理可得不成立；

③2ak=am+al，得5=2m-k-1+2l-k-1，

評論：對數(shù)字“5”的奇偶性及相關(guān)式子進(jìn)行深層次分析.

要活化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，正如在水中才能學(xué)會游泳一樣，唯有教師引導(dǎo)學(xué)生參與課堂，日積月累，才能是顯性的思維活動(dòng)內(nèi)化為隱形的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而加強(qiáng)對“數(shù)”的特點(diǎn)進(jìn)行研究，本身培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方式、具體手段，教師要在平時(shí)教學(xué)過程中不斷引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注意回歸到本身、本質(zhì)，注意回歸數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)、源頭，學(xué)生就能更好理解數(shù)學(xué)的本來面目，更能靈活地分析問題，更能培養(yǎng)學(xué)生分析解題能力，更能提高學(xué)生的解題能力，進(jìn)而達(dá)到適應(yīng)試題變化、思考方向的轉(zhuǎn)化要求最大化，達(dá)到方法和思維的最優(yōu)化，達(dá)到數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的最快化.