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    一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解法探究

    2018-01-05 09:57:43華中科技大學(xué)附屬中學(xué)曾昀敏
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年23期
    關(guān)鍵詞:競(jìng)賽題外接圓華中科技大學(xué)

    ☉華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 曾昀敏

    一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解法探究

    ☉華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 曾昀敏

    一題多解常常訓(xùn)練學(xué)生的綜合能力,提高他們的數(shù)學(xué)思維水平,筆者結(jié)合2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題第9題談?wù)勔活}多解.

    題目:已知MN是邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的外接圓的一條動(dòng)弦,MN=4,P為△ABC的邊上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值為_________.

    方法一(基底法1):以M為起點(diǎn).,當(dāng)且僅當(dāng)也就是P與MN中點(diǎn)H重合時(shí)取到等號(hào).

    方法二(基底法2):以△ABC外接圓的圓心O為起點(diǎn).

    圖1

    方法三(坐標(biāo)法1):以△ABC為參照物,弦MN繞圓心運(yùn)動(dòng).

    所以,在△OMN中,OM⊥ON,以△ABC的外心為原點(diǎn),以BC的中垂線為y軸,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)點(diǎn)P在BC邊上,則因?yàn)镺M⊥ON,所以可設(shè)

    圖2

    方法四(坐標(biāo)法2):以弦MN為參照物,△ABC繞圓心運(yùn)動(dòng).由正弦定理知

    又MN=4,則在△OMN中,OM⊥ON.

    圖3

    以△ABC的外心為原點(diǎn),以MN的中垂線為y軸,建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.

    當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=-1且r=2,即P(0,-2)時(shí),取到等號(hào).

    方法五(不等式法)

    圖4

    方法六(向量積化恒等式法):設(shè)MN中點(diǎn)為H,則

    當(dāng)且僅當(dāng)P,H重合時(shí)取到等號(hào).因?yàn)閳A心到△ABC邊長(zhǎng)的距離,而圓心到MN距離為2,

    所以P,H可以重合,即能取到最大值4.

    該問題的本質(zhì):若兩個(gè)向量之和的模為定值,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量相等時(shí),數(shù)量積有最大值_______.

    在該題的解法中,我們提出了基底法、坐標(biāo)法、不等式法、向量積化恒等式法等六種解法,并指出該問題的本質(zhì)為若兩個(gè)向量之和的模為定值,當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量相等時(shí),數(shù)量積有最大值.由此,該問題還可以進(jìn)一步抽象化.通過一題多解,鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識(shí)的能力,達(dá)到事半功倍的效果.

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