一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解法探究

☉華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 曾昀敏

一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題的解法探究

☉華中科技大學(xué)附屬中學(xué) 曾昀敏

一題多解常常訓(xùn)練學(xué)生的綜合能力，提高他們的數(shù)學(xué)思維水平，筆者結(jié)合2016年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽試題第9題談?wù)勔活}多解.

題目：已知MN是邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的外接圓的一條動(dòng)弦，MN=4，P為△ABC的邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_________.

方法一（基底法1）：以M為起點(diǎn).，當(dāng)且僅當(dāng)也就是P與MN中點(diǎn)H重合時(shí)取到等號(hào).

方法二（基底法2）：以△ABC外接圓的圓心O為起點(diǎn).

圖1

方法三（坐標(biāo)法1）：以△ABC為參照物，弦MN繞圓心運(yùn)動(dòng).

所以，在△OMN中，OM⊥ON，以△ABC的外心為原點(diǎn)，以BC的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)點(diǎn)P在BC邊上，則因?yàn)镺M⊥ON，所以可設(shè)

圖2

方法四（坐標(biāo)法2）：以弦MN為參照物，△ABC繞圓心運(yùn)動(dòng).由正弦定理知

又MN=4，則在△OMN中，OM⊥ON.

圖3

以△ABC的外心為原點(diǎn)，以MN的中垂線為y軸，建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系.

當(dāng)且僅當(dāng)sinθ=-1且r=2，即P（0，-2）時(shí)，取到等號(hào).

方法五（不等式法）

圖4

方法六（向量積化恒等式法）：設(shè)MN中點(diǎn)為H，則

當(dāng)且僅當(dāng)P，H重合時(shí)取到等號(hào).因?yàn)閳A心到△ABC邊長(zhǎng)的距離，而圓心到MN距離為2，

所以P，H可以重合，即能取到最大值4.

該問題的本質(zhì)：若兩個(gè)向量之和的模為定值，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量相等時(shí)，數(shù)量積有最大值_______.

在該題的解法中，我們提出了基底法、坐標(biāo)法、不等式法、向量積化恒等式法等六種解法，并指出該問題的本質(zhì)為若兩個(gè)向量之和的模為定值，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)向量相等時(shí)，數(shù)量積有最大值.由此，該問題還可以進(jìn)一步抽象化.通過一題多解，鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識(shí)的能力，達(dá)到事半功倍的效果.