淺談絕對值函數(shù)在高考中的幾種考查

☉江蘇省宿遷市文昌高級中學 王少鵬

淺談絕對值函數(shù)在高考中的幾種考查

☉江蘇省宿遷市文昌高級中學 王少鵬

近幾年，含有絕對值不等式問題的高考題經(jīng)常出現(xiàn)，這些試題新穎別致，靈活多變，綜合性強，難度大，得分很低.筆者以絕對值函數(shù)?？嫉膸追N題型來談?wù)劥祟悊栴}的解法.

考查一——兩個絕對值相加的函數(shù)最值的求法

例1求函數(shù)f（x）=|ax-b|+|cx-d|（a＞0，c＞0）的最小值.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

小結(jié)：由（1），（2），（3）可知：

也就是說，當正數(shù)a和c不相等時，求f（x）min，只需比較正數(shù)a和c的大小，哪個大，最小值點就為其所屬絕對值里面函數(shù)的零點.

考查二——多個絕對值相加的函數(shù)最值求法

我們熟悉函數(shù)（fx）=|x-a|+|x-b（|a＜b）的性質(zhì)，其解法可以用函數(shù)性質(zhì)解答，也可以用絕對值求解.事實上，我們很容易想到：若是n個絕對值相加會是什么情況呢？這類問題其實有章可循，可以利用圖像特征求解最小值.進一步，再思考：當x的系數(shù)不全為1時，其最值又如何求解？下面就借助函數(shù)（fx）=作進一步的探討.

例2若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：不等式可化為|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立.

又函數(shù)y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值為f（1）=3，于是只需3＞2m，得

例3求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相應(yīng)x的值.

解析

考查三——含有一個絕對值的函數(shù)最值的求法

學生對含參帶絕對值的函數(shù)的題型都有畏懼心理，這種題型綜合性強，學生對其分類討論的思想辨別不清，對其所需要的分類討論能力還不夠.這類問題，可以充分利用絕對值不等式的性質(zhì)：||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|，其中等號成立的條件滿足

筆者通過自己的教學實踐，談?wù)勥@類題型的解法.

（1）略；

（3）若對任意實數(shù)a，b，總存在實數(shù)x0∈［0，4］使得不等式（fx0）≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：本題出現(xiàn)，本質(zhì)上還是二次函數(shù)，我們只需換元：令則（fx）=h（t）=|at2-t+b|.

（3）原題等價于對任意實數(shù)a，b，總存在實數(shù)t0∈［0，2］使得不等式h（t0）≥m成立.先讓a，b固定，記M（a，b）是h（t）在［0，2］上的最大值，于是只需M（a，b）≥m，?a，b∈R，而這又等價于當a，b變化時，M（a，b）min≥m.由（2）可知，，接下來，我們來求M（a，b）min.

本題解法沒有完全從函數(shù)角度討論，而是結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)解決.

美國著名數(shù)學教育家波利亞曾說：“一個專心的認真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領(lǐng)域.”在高中數(shù)學教學中，作為一線教師，應(yīng)多研究解題，多角度考慮，開闊學生視野，發(fā)散學生思維，優(yōu)化學生解題方法.長期以往，我們就能收到意想不到的效果.