例談高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的有效選題*

☉江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 陸 麗

例談高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)的有效選題*

☉江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中學(xué) 陸 麗

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，時(shí)間緊，任務(wù)重，在有限的時(shí)間內(nèi)，達(dá)到高質(zhì)量的復(fù)習(xí)效果，是每一位高三數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo).在高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)中，要提高復(fù)習(xí)的效率，其核心在于選題的有效性.選題好，用好題，才能使復(fù)習(xí)有效、高效.選好題就是要選那些蘊(yùn)含數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法；蘊(yùn)含多種解題思路，可以拓展學(xué)生解題視野，開闊解題思路，培養(yǎng)思維、思辨能力的題.怎么選題？如何選題？選題的有效立足點(diǎn)在哪里？筆者以高三二輪專題復(fù)習(xí)課為例，談?wù)勥x題的策略和功能，總結(jié)選題的原則.

一、二輪復(fù)習(xí)選題須明考點(diǎn)、突重點(diǎn)

考試說明是對(duì)“考什么、怎么考、考多難”這三個(gè)問題的具體解說，因此認(rèn)真研讀考試說明對(duì)提高二輪復(fù)習(xí)效率起到重要的作用.研究考試說明，既要關(guān)心考點(diǎn)要求上的調(diào)整，又要關(guān)心弱化的考點(diǎn)、被刪除的考點(diǎn)和題型示例的變化等，從而把握好高考的方向，少做無(wú)用功.在二輪復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)明確重點(diǎn)，對(duì)重點(diǎn)專題強(qiáng)化訓(xùn)練.比如，平面向量是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，高考主要從平面向量的線性運(yùn)算、模、夾角、垂直與平行、基底與數(shù)量積這些知識(shí)出發(fā)，考查思維能力和創(chuàng)新能力.其中平面向量的數(shù)量積是8個(gè)C級(jí)考點(diǎn)要求之一，要求熟練掌握.而最近幾年的江蘇高考向量試題越來(lái)越靈活，凸顯對(duì)思維能力和創(chuàng)新能力的考查.因此在高三二輪專題復(fù)習(xí)時(shí)有必要開設(shè)“向量問題的解題策略”的專題學(xué)習(xí).筆者曾開設(shè)了這一節(jié)大市級(jí)公開課，從一道高考題出發(fā)，讓學(xué)生領(lǐng)悟解決向量問題的幾種策略，從而突破高考重點(diǎn).

案例1（2016年江蘇卷）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則的值是_________.

圖1

圖2

視角1：坐標(biāo)化.以直線BC為x軸，線段BC的中垂線為y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)A（3m，3n），B（-a，0），C（a，0），則，則

視角3：特殊化.特別地，取△ABC為等腰三角形，其中AB=AC，再坐標(biāo)化求解.

課堂上學(xué)生暢所欲言，在溝通中進(jìn)行思維的碰撞，學(xué)生真正弄清向量的工具性一般體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：（1）利用其形的特點(diǎn)，通過向量運(yùn)算的幾何意義將其轉(zhuǎn)

高中數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)組織策略研究》的階段性研究成果（課題編化為平面幾何的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算；（2）利用其數(shù)的特征，通過建立平面直角坐標(biāo)系，將向量問題代數(shù)化來(lái)求解.這樣的題目必定在二輪復(fù)習(xí)中起到高效復(fù)習(xí)的作用，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、二輪復(fù)習(xí)選題須重方法、重遷移

高三二輪復(fù)習(xí)需要以知識(shí)復(fù)習(xí)為主線，以方法復(fù)習(xí)為暗線，兩線推進(jìn)，相互交織，知識(shí)中包含方法，方法中蘊(yùn)含知識(shí).因此在高三二輪復(fù)習(xí)課選題中，理應(yīng)突出方法的主導(dǎo)地位，就法選題，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)含的方法，適時(shí)遷移運(yùn)用，以期舉一反三、以一當(dāng)十、事半功倍.比如，在高三二輪專題復(fù)習(xí)“基本不等式”中，筆者以一道條件最值問題為根，通過各種變式探究此類問題的解題方法，從而提高學(xué)習(xí)效果.

案例2 若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab-4a-b=0，求ab最小值.

視角2：消元法和基本不等式求解.由ab=4a+b，得b=.因?yàn)閎＞0，所以16，當(dāng)且僅當(dāng)4（a-1）=，即a=2，b=8時(shí)取等號(hào).故ab的最小值為16.

在師生共同解決例題后，筆者設(shè)計(jì)了一組變式訓(xùn)練.

變式1（變條件）：若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab-4a-b=1，求ab最小值.

變式2（變結(jié)論）：若正實(shí)數(shù)a，b滿足ab-4a-b=0，求a+b最小值.

變式3（條件結(jié)論同時(shí)變）：設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

對(duì)于變式3來(lái)說，大部分學(xué)生都提出可直接利用基本不等式（湊目標(biāo)）解決，也有少部分學(xué)生提出可利用三角消元法求解，即

通過這一組問題的研究，使學(xué)生真正厘清條件最值問題的處理方法和注意點(diǎn)，課堂上學(xué)生思維非常活躍，提出了很多有見解的想法和思維.這樣的題目不僅能高效復(fù)習(xí)知識(shí)方法，更能激發(fā)學(xué)生探究問題的欲望，提升了學(xué)生的思維能力.

三、二輪復(fù)習(xí)選題須高視角、成系統(tǒng)

高考命題多在知識(shí)的交匯處命題，通過第二輪復(fù)習(xí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)系統(tǒng)化，必須高視角研究、挖掘問題，這樣才能胸有成竹，在高考中遇“新”不慌.比如，在高三二輪專題復(fù)習(xí)“應(yīng)用題”中，筆者選用了一道經(jīng)典題，以期能有效鍛煉和提升學(xué)生的思維能力.

圖3

案例3 如圖3，某城市有一條從正西方AO通過市中心O后向東北O(jiān)B，現(xiàn)要修一條地鐵L，在OA上設(shè)一站，在OB上設(shè)一站，地鐵在AB部分為直線段，現(xiàn)要求市中心O與AB的距離為10km，設(shè)地鐵在AB部分的總長(zhǎng)度為ykm.

（1）按下列要求建立關(guān)系式：

（i）設(shè)∠OAB=α，將y表示為α的函數(shù)；

（ii）設(shè)OA=m，OB=n，用m，n表示y.

（2）把A，B兩站分別設(shè)在公路上離中心O多遠(yuǎn)處，才能使AB最短？并求出最短距離.

本題主要考查了解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，綜合考查了正弦、余弦定理、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是合理的把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.

本題的第（1）問可從“設(shè)角”和“設(shè)邊”兩個(gè)不同角度建立目標(biāo)函數(shù).若從“設(shè)角”的角度來(lái)看我們可從三種不同視角建立目標(biāo)函數(shù).

圖4

視角1：轉(zhuǎn)化到特殊三角形中求解.過O作OH⊥AB于H，OH=10（圖4）.由題意知，∠OAH=α，∠OBH=∠AOB-

當(dāng)然也可過B作BK⊥OA于K，過O作OH⊥AB于H（如圖5），在△AHO中

圖5

圖6

在△AKB中，BK=AB·sinα=ysinα，AK=AB·cosα=ycosα.在△BKO中

視角2：運(yùn)用正弦定理和等面積法求解.如圖4，在△OAB中，利用正弦定理所以利用S，即可求得y.

視角3：通過建立直角坐標(biāo)系，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.以O(shè)A所在的直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖6所示的直角坐標(biāo)系.過O作OH⊥AB于H，OH=10.因?yàn)?，所以，即H（-10sinα，10cosα）.因此直線AB的方程為y-10cosα=tanα（x+10sinα）.令y=0，得令y=x，得即）.利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得y.

從“設(shè)邊”的角度來(lái)看我們也有三種不同的視角建立目標(biāo)函數(shù).

本題的第（2）問是研究目標(biāo)函數(shù)的最值，我們可從四種不同視角研究此函數(shù)的最值.

或?qū)?shù)求y的最小值.

數(shù)學(xué)課堂的重要任務(wù)是學(xué)生吸收知識(shí)和掌握方法，但更為重要的是轉(zhuǎn)化為他們自身的能力，這就需要教師在二輪復(fù)習(xí)時(shí)選好例題，以期借助例題構(gòu)建自己的知識(shí)體系，從而使知識(shí)方法系統(tǒng)化，思維能力進(jìn)一步提升.

永遠(yuǎn)沒有完美的課堂，也沒有完美的題目.因此高三二輪復(fù)習(xí)要有發(fā)展意識(shí)，要讓學(xué)生熱愛課堂，真正融入課堂，成為課堂的主人，這需要每位數(shù)學(xué)教師的不懈努力.

1.張春杰.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課選題的四重境界［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2014（6）.

*本文系江蘇省“十三·五”規(guī)劃課題《“多維互動(dòng)對(duì)話”環(huán)境下號(hào)：C-c/2016/02/83）.