淺析正方體的表面展開圖

李　彬　秦小紅

翻開我們的教材?輔導(dǎo)資料以及各地的中考題,很容易看到有關(guān)正方體的表面展開圖問題.由于正方體的每一個(gè)面都是正方形,所以要確定正方體的各面與其展開圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系,不少同學(xué)感到困難.經(jīng)過探究,我們可以將正方體的表面展開圖看做最少2層或3層,按每一層的正方形的個(gè)數(shù)又可歸納為以下幾類(非這些形狀時(shí),總可以通過旋轉(zhuǎn)得到).

1. 一層有1個(gè)正方形,中間一層有3個(gè)正方形,另一層有2個(gè)正方形,我們簡(jiǎn)稱它為“一三二”型,共3種,如圖1.

圖1

2. 一層有1個(gè)正方形,中間一層有4個(gè)正方形,另一層有1個(gè)正方形,簡(jiǎn)稱為“一四一” 型,共6種,如圖2.

3. 每層都有2個(gè)正方形,簡(jiǎn)稱為“二二二”型,只有1種,如圖3.

4. 每層都有3個(gè)正方形,簡(jiǎn)稱為“三三” 型,也只有1種,如圖4.

綜上所述,正方體的表面展開圖共11種情況.

仔細(xì)觀察,可以發(fā)現(xiàn),正方體的表面展開圖中,當(dāng)一層中只有1個(gè)正方形時(shí),這個(gè)正方形的位置可以任意變動(dòng),相鄰層間都有一個(gè)“日”字狀,但沒有 “田”字狀,這是由于正方體的每個(gè)頂點(diǎn)處只有3條棱,一層中沒有5個(gè)或5個(gè)以上的面,否則折疊之后一定會(huì)有2個(gè)或2個(gè)以上的面重疊.

為了記憶方便,我們可以將正方體的表面展開圖編成如下口訣:

一三二,一四一,一在同層可任意;

三個(gè)二,成階梯,二個(gè)三,日狀連,鄰層必有日,整體沒有田.

例1 觀察下列圖形,其中不是正方體表面展開圖的為().

因?yàn)檎襟w的表面展開圖中相鄰層都只有1個(gè)“日”字狀,而選項(xiàng)D中有第一二層間有2個(gè)“日”字狀,故它不是正方體的表面展開圖.

例2 下列各圖中,是正方體表面展開圖的為().

選項(xiàng)D符合“一四一”的特征,其余均不符合正方體表面展開圖的特征.

例3 馬小虎準(zhǔn)備制作一個(gè)封閉的正方體盒子.他先用5個(gè)大小一樣的正方形制成圖5所示的拼接圖形(實(shí)線部分),經(jīng)折疊后發(fā)現(xiàn)還少一個(gè)面,請(qǐng)你在圖5中的拼接圖形上再接一個(gè)正方形,使新拼接成的圖形經(jīng)過折疊后能成為一個(gè)封閉的正方體盒子.(添加所有符合要求的正方形,添加的正方形用陰影表示.)

由上面的分類可知,有如下幾種添加方法.

(1)添加后為“三三”型,如圖6;

(2)添加后為“一三二”型,如圖7?圖8?圖9.

例4 一只蜘蛛在一個(gè)正方體的頂點(diǎn)A處,一只蚊子在正方體的頂點(diǎn)B處,如圖10.現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子,那么它所走的最短路線是怎樣的,在圖上畫出一條來.

將圖10中的正方體展開,A?B的位置如圖11,連接AB,線段AB就是符合條件的最短路線.在正方體上這樣的最短路線不止一條.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文