由“三視圖”確定小立方體個數(shù)

陳開金

例1 若干個小立方體所搭幾何體的“三視圖”如圖1,你能說出搭這個幾何體用了多少個小立方體嗎?

圖1

我們可以在俯視圖的小正方形中標(biāo)上數(shù)字,表示該位置小立方體個數(shù).但同學(xué)們在標(biāo)個數(shù)時,常常缺乏條理,漏掉一些可能情況.那么如何快速準(zhǔn)確地標(biāo)出相應(yīng)位置的個數(shù)呢?我們可以采用“先填足,再減數(shù)”的方法來填.

(1)先填足

從主視圖可以看出,從正面看三列的層數(shù)依次為3?4?2,因此,可在俯視圖上標(biāo)出個數(shù)最多時的“足額”情況,如圖2.

(2)再減數(shù)

實(shí)際上,在三列上分別只要有一個位置的層數(shù)是3?4?2就夠了,由于第一列只有一個位置標(biāo)3,因此這個3可以先確定下來.

其余位置的4個數(shù)4?4?2?2可以根據(jù)左視圖各列的層數(shù)來適當(dāng)減少.左視圖第1列4層,第2列2層,所以從左邊看第1列上的4必須保留,第2列上的4必須調(diào)整,調(diào)整后的最大數(shù)為2,如圖3.

這已經(jīng)是合乎要求的一種情形了,但它不是唯一情形,還可以進(jìn)一步把其中除3?4以外的3個2減小,調(diào)整時只需要保證3個2確定的縱橫方向上的兩條視線上最大的都是2就可以了.依次把其中的若干個調(diào)為1檢驗(yàn)即可.若只調(diào)整1個2,可得圖4?圖5?圖6.

如果調(diào)整兩個2,可得到圖7.

可見,這樣的組合體,最多可以由13個小立方體組成,最少可由11個小立方體組成,而且組成的形狀也不盡相同,共有5種情況,但它們的“三視圖”卻完全相同!這也說明,“三視圖”只能大致反映幾何體的形狀.

以上所述方法的優(yōu)點(diǎn)是思路清晰,但有時候顯得唆了一點(diǎn),如果我們能先確定俯視圖中某些位置的小立方體個數(shù),盡量減少需要調(diào)整個數(shù)的位置,就能提高效率.有兩類位置能直接確定:如果俯視圖的某一列(行)上只有單個位置,就可以先確定下來,這就是所謂的“單個位(置)先定住”;不管從哪個方向看,如果主視圖?左視圖上某一列只有1層,那么可以在俯視圖上的相應(yīng)位置先全部標(biāo)成1,這即是“單層先定住”,綜合起來就是“單位單層先定住”.

例2 若干桶方便面擺放在桌子上,圖8中實(shí)物圖片左邊所給的是它的“三視圖”,則這一堆方便面共有().

A. 5桶B. 6桶C. 9桶D. 12桶

我們可以先從俯視圖看出大致位置,然后結(jié)合主視圖和左視圖在俯視圖上標(biāo)出各個位置的方便面數(shù)量.

由主視圖的右列有2層可先在相應(yīng)位置標(biāo)出2,然后由左視圖右邊一列只有1層可在相應(yīng)位置標(biāo)1,最后在相應(yīng)位置標(biāo)3,如圖9.故選B.

例3 圖10是一個由若干個相同的小正方體組成的幾何體的“三視圖”,則組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是().

根據(jù)三視圖確定小正方體的個數(shù),最簡單的方法是利用主視圖和左視圖,在俯視圖上標(biāo)出相應(yīng)位置的小立方塊的個數(shù).根據(jù)“單位單層先定住”,可以先確定出圖11所示的位置.然后由主視圖,可立即在余下位置處都標(biāo)出3,得到圖12.

可見,組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)是10.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文