數(shù)學(xué)思想方法在有理數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用

金枝煥

數(shù)學(xué)習(xí)題浩瀚無(wú)邊,問(wèn)題又可變式發(fā)散,這樣習(xí)題就林林總總,題量就千千萬(wàn)萬(wàn),但是蘊(yùn)涵在問(wèn)題中的數(shù)學(xué)思想方法總是永恒不變的,它是數(shù)學(xué)的精髓,是解決問(wèn)題的有效手段,是制勝的法寶,本文利用有理數(shù)的意義及運(yùn)算為載體,結(jié)合一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)簡(jiǎn)要解答一下習(xí)題中經(jīng)常出現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一?轉(zhuǎn)化思想

所謂“轉(zhuǎn)化思想”就是將“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”,將“新知識(shí)”轉(zhuǎn)化為“舊知識(shí)”,將“復(fù)雜問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問(wèn)題” ,轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)思想方法.

例1 計(jì)算:5 - - ÷ -1.

按運(yùn)算順序,先算括號(hào)里的,需要通分,這樣比較麻煩,把后面的除法轉(zhuǎn)化為乘法,利用分配律解答比較簡(jiǎn)單.

解:原式= --÷ -

= × -- × - -× -

=-3 ++

=-2.

(1)本題利用除法法則,把除法轉(zhuǎn)化為乘法,利用運(yùn)算律使運(yùn)算簡(jiǎn)單.

(2)有理數(shù)運(yùn)算中減法轉(zhuǎn)化為加法,也體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.

二?分類(lèi)討論思想

有時(shí)將問(wèn)題看成一個(gè)整體時(shí),則無(wú)從下手,若分而治之,各個(gè)擊破,則能柳暗花明.分類(lèi)討論正是這一種思想,也是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,為了解決問(wèn)題,將問(wèn)題所涉及的對(duì)象不遺漏地分成若干類(lèi)問(wèn)題,然后逐一解決,從而達(dá)到最終解決整個(gè)問(wèn)題的目的.

本章中相反數(shù)?絕對(duì)值?有理數(shù)乘方?運(yùn)算符號(hào)法則,有理數(shù)的意義都用到了分類(lèi)的思想.

例2 已知a-2 = 2,a + b = 4,則ab=.

由a-2 = 2,可知a - 2 = 2或a - 2 = -2.故a = 4或a = 0.由a + b = 4可知,當(dāng)a = 4時(shí),b = 0時(shí);a=0時(shí),b = 4.所以ab = 0.

例3 在-(+4)?-??-(-1)?0?--中,負(fù)數(shù)有個(gè),是,非負(fù)數(shù)有個(gè),是.

數(shù)可以分為非負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)兩大類(lèi),非負(fù)數(shù)包括正數(shù)和0.-(+4)?-?--是負(fù)數(shù),?-(-1)?0是非負(fù)數(shù).

解:3 - (+4)?-?-- 3 ?-(-1)?0

分類(lèi)必須遵循以下兩條原則:(1)每一次分類(lèi)都要按同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行;(2)不重復(fù),不遺漏.

三?數(shù)形結(jié)合思想

“數(shù)無(wú)形,少直觀;形無(wú)數(shù),難入微”,利用“數(shù)形結(jié)合”,可以使所要研究的問(wèn)題化難為易,化繁為簡(jiǎn).

例4 寫(xiě)出絕對(duì)值小于3的所有整數(shù).

根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義,絕對(duì)值小于3的數(shù)就是在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于3的數(shù),如圖1.

圖1

解:其中的整數(shù)有:-2,-1,0,1,2.(數(shù)形結(jié)合,直觀簡(jiǎn)便)

將數(shù)量關(guān)系輔助以圖形,則更加具體直觀?簡(jiǎn)便,從而快速得到問(wèn)題的答案.

注:本文中所涉及到的圖表?注解?公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文