三階兩點邊值問題正解的存在性

莊國華

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術學院 南京分院，江蘇 南京 210019）

三階兩點邊值問題正解的存在性

莊國華

（江蘇聯(lián)合職業(yè)技術學院 南京分院，江蘇 南京 210019）

本文研究一類非線性三階兩點點邊值問題：正解的存在性，其中f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)，a:(0,1)→[0,+∞)連續(xù)且滿足允許a(t)在t=0或者t=1處奇異。通過利用錐上的不動點的定理得到上述邊值問題正解的存在性結果。

錐；格林函數(shù)；正解；邊值問題

三階微分方程在應用數(shù)學和物理等很多科學領域中有著廣泛的應用背景和重要的理論價值，因此三階邊值問題受到了眾多學者的廣泛關注，見文獻[1-15]。在[3]中作者考慮了三階三點邊值問題：

通過不動點指數(shù)理論得到上述邊值問題至少一個正解的存在性條件。

受以上文獻的啟發(fā)，本文研究如下一類三階兩點邊值

解的存在性。

在本文中，假設以下條件成立：

(C1):f:[0,+∞)→[0,+∞)連續(xù)；

(C2):a:(0,1)→[0,+∞)連續(xù),a(t)在(0,1)上不恒為 0，且

1 引理和定義

引理1[4]若e(t)?C[0,1]，則邊值問題：

引理2[4]G(t,s)具有如下性質：對于任意的(t,s)?[0,1]×[0,1]，有

引理3[4,5]令0＜τ＜1，則邊值問題（1）的唯一解u(t)≥0，且滿足：

引理4[16]設E是一個Banach空間，P是E中的錐，假設 Ω1,Ω2是 E 中滿足的兩個開子集，且是一個全連續(xù)算子，滿足：（i）‖Tu‖≤‖u‖，u?P∩?Ω1,且 ‖Tu‖≥‖u‖，u?P∩?Ω2；或 者（ii）‖Tu‖≤‖u‖，u?P∩?Ω1,且則 T 在中至少有一個不動點。

2 主要結果

定義算子：

定 理 1假設（C1）、（C2）成立，如果f0=0,f∞=∞（超線性），則邊值問題（1）至少存在一個正解。

證明考慮空間X={u?C[0,1]:u(t)≥0,t?[0,1]}，賦予范數(shù)則顯然X是一個Banach空間。對于任意0＜τ＜1，定義錐：顯然，K?X。

由引理2，可知

所以，有

對任意的 (t,s)?[τ,1]×[0,1]，由引理 2 和（5）可得：

表明TK?K。容易驗證：T:K→K是全連續(xù)的，且算子T的不動點即為邊值問題（1）的正解。

因為f0=0，則存在R1＞0，當 0≤u≤R1時，有f(u)≤εu成立，其中ε＞0且滿足：

當u?K,‖u‖=R1時，由引理 2 和（6）可知：

令 Ω1={u∈K:‖u‖＜R1}，由（7）可知‖Tu‖≤‖u‖,u∈K??Ω1。

另一方面，由f∞=∞ 可知，存在R2＞R1，使得當時，有f(u)≥λu成立，其中λ＞0滿足：

令 Ω2={u∈K:‖u‖＜R2}，則u∈K,‖u‖=R2時，有從而由（8）可得：

由引理 4知算子有一個不動點u0∈K?即邊值問題（1）至少存在一個正解。

定理 2假設(C1)、(C2)成立，如果f0=∞,f∞=0（次線性），則邊值問題（1）至少存在一個正解。

證明因為f0=∞，在存在R3＞0，使得當0≤u≤R3時有f(u)≥γu成立，其中γ＞0滿足：

則當u∈K,‖u‖=R3時，由引理 2和（9）可知：

令 Ω3={u?K:[u]＜R3}，由（10）可知‖Tu‖≥‖u‖,u?K∩ ?Ω3。

因為f∞=0，則存在R＞0，使得當u≥R時，有f(u)≤μu，其中μ＞0，且滿足：

下面分成兩種情況考慮：

（1）若果f是有界的，即當u∈[0,+∞)時，有f(u)≤M成立。此時令

使得當u∈K,‖u‖=R4時，對任意t∈[0,1]有

（2）若果f是無界的，令R4=max{2R3,R}，使得

當u∈K,‖u‖=R4時，由（11）和（12）可知

因此，無論f是上述的哪種情況，都可以令Ω4={u∈K:‖u‖＜R4}，從而對任意u?K∩?Ω4的，都有‖Tu‖≤‖u‖成立。進而由引理4可知邊值問題（1）至少存在一個正解。

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Existence of positive solution for a third-order twopointboundary value problems

ZHUANG Guo-hua
(Branch of Nanjing,Jiangsu Union Technical Institute,Nanjing Jiangsu210019,China)

This paper studied the existence of positive solution to the following third-order two-point boundary value prob-,wheref:[0,+∞)→[0,+∞),a:(0,1)→[0,+∞)are continuous,anda(t)may be singular att=0ort=1.The proof of the main results is based on the fixed-point on cone.

cone;Green function;positive solution;boundary value problem

O175.8文獻識別碼：A

1004-4329（2017）04-012-03

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）04-012-03

2017-10-10

江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題（B-b/2016/03/55）資助。

莊國華（1981－ ），男，碩士，講師，研究方向：微分方程邊值問題。