基于有理插值函數(shù)的GM(1,1)模型背景值重構(gòu)

康 寧，張靜靜，李曉瑩

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

基于有理插值函數(shù)的GM(1,1)模型背景值重構(gòu)

康 寧，張靜靜，李曉瑩

（阜陽(yáng)師范學(xué)院 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，安徽 阜陽(yáng) 236037）

基于有理插值函數(shù)的方法，提出了一類(lèi)新的灰色預(yù)測(cè)模型RIGM(1,1)，改進(jìn)了原有模型中背景值的構(gòu)造方法，克服了現(xiàn)有GM(1,1)模型的不足，為提高預(yù)測(cè)精度提供了新的途徑。較之其他方法，具有較高的預(yù)測(cè)精度和較小的計(jì)算量。最后以中國(guó)總消費(fèi)的數(shù)據(jù)為例，驗(yàn)證了本方法的有效性。

有理插值；背景值；GM(1,1)模型；預(yù)測(cè)精度

灰色預(yù)測(cè)法是一種對(duì)既含有已知信息又含有不確定因素的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法，即對(duì)在一定范圍內(nèi)的、與時(shí)間有關(guān)的灰色過(guò)程進(jìn)行預(yù)測(cè)。盡管灰色系統(tǒng)中所顯示的現(xiàn)象是隨機(jī)的，但這一數(shù)據(jù)集合具備潛在的規(guī)律?；疑A(yù)測(cè)方法的思想是：對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行一次累加運(yùn)算，生成新的具有較強(qiáng)規(guī)律的時(shí)間序列；然后，建立相應(yīng)的微分方程模型，進(jìn)而利用差分法對(duì)原方程進(jìn)行離散化得到一個(gè)線性方程組；最后，利用回歸法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，從而得到預(yù)測(cè)模型。

GM(1,1)模型是灰色預(yù)測(cè)法的基本模型，也是應(yīng)用最廣泛的模型。利用GM(1,1)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)雖然有許多成功的實(shí)例，例如，文獻(xiàn)[1]基于周期截?cái)喾e累與修正項(xiàng)，提出了一種離散的GM(1,1)模型，提高了季節(jié)性時(shí)裝零售預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)[2]利用三次樣條函數(shù)和粒子群（PSO）算法優(yōu)化的GM(1,1)模型分析了日本的固定電話和手機(jī)需求問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提出的新模型具有良好的性能；但也存在一些預(yù)測(cè)結(jié)果不理想的情況，反映出GM(1,1)模型的實(shí)用性有待進(jìn)一步提高。自灰色預(yù)測(cè)模型建立以來(lái)，為了適應(yīng)各應(yīng)用領(lǐng)域的特點(diǎn)，GM(1,1)模型在初始條件選取、背景值重構(gòu)、參數(shù)辨識(shí)方法等方面都取得了很大改進(jìn)。文獻(xiàn)[3]給出一種新的背景值構(gòu)造方法；提高了模型的預(yù)測(cè)精度；文獻(xiàn)[4]研究了模型的適用范圍；文獻(xiàn)[5]根據(jù)差分進(jìn)化算法優(yōu)化模型的參數(shù)，并提高了預(yù)測(cè)精度；文獻(xiàn)[6]通過(guò)優(yōu)化初始條件，提高了模型的預(yù)測(cè)精度；文獻(xiàn)[7]利用線性微分方程的解來(lái)構(gòu)造背景值，在一定程度上提高了模型的精度；文獻(xiàn)[8]利用Lagrange插值方法對(duì)原有模型的背景值進(jìn)行了改進(jìn)；文獻(xiàn)[9]利用Newton-Cores公式改進(jìn)了背景值，并提高了模型的預(yù)測(cè)精度；文獻(xiàn)[10]利用數(shù)乘變換來(lái)解決GM(1,1)模型的病態(tài)性問(wèn)題；文獻(xiàn)[11-12]從矩陣的擾動(dòng)理論出發(fā)，利用累積法來(lái)解決GM(1,1)模型的病態(tài)性問(wèn)題。上述方法雖然很好，但其缺陷在于：數(shù)乘變換法沒(méi)有給出降低系數(shù)矩陣條件數(shù)的具體準(zhǔn)則；累積法所得到的結(jié)論與新信息優(yōu)先的原理相矛盾，且累計(jì)階數(shù)如何選取并沒(méi)有解決。

由文獻(xiàn)[13]可知，GM(1,1)模型的預(yù)測(cè)精度主要由背景值重構(gòu)的質(zhì)量所決定的，背景值的構(gòu)造方法將直接影響到模型的預(yù)測(cè)精度和適用性。最近研究結(jié)果表明，采用插值算法構(gòu)造背景值效果明顯。但現(xiàn)有構(gòu)造背景值的插值算法，都存在一定的局限性，例如文獻(xiàn)[8]的Lagrange插值和文獻(xiàn)[9]的Newton插值片面追求精度，而導(dǎo)致Runge現(xiàn)象的出現(xiàn)，預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果失真。文獻(xiàn)[13-14]分別提出組合插值和三次樣條插值的方法構(gòu)造背景值，取得了很好的結(jié)果。

本文利用有理插值的方法，構(gòu)造出一種有理插值函數(shù)r(x)，使其在區(qū)間[k,k+1]上的積分去替代背景值z(mì)(1)(k+1)。較之其他方法，具有預(yù)測(cè)精度高、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)。

1 模型的建立

1.1 傳統(tǒng)的GM(1,1)模型

稱(chēng)一階線性微分方程：

為GM(1,1)模型的白化微分方程，其差分形式

其中a,b為待辨識(shí)參數(shù)，且稱(chēng)a為發(fā)展系數(shù)，反映x(0)及x(1)的發(fā)展態(tài)勢(shì)；b為灰色作用量，具有灰色信息覆蓋的作用，不能直接觀測(cè)，只能通過(guò)計(jì)算得到。由最小二乘法求解得

累減還原得GM(1,1)的預(yù)測(cè)模型為：

1.2 有理插值的背景值構(gòu)造

由傳統(tǒng)GM(1,1)模型的建模過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，模型的發(fā)展系數(shù)a和灰色作用量b對(duì)模型的預(yù)測(cè)精度具有深刻的影響，但a,b的取值取決于背景值的構(gòu)造。傳統(tǒng)模型的背景值實(shí)質(zhì)上利用梯形公式計(jì)算出x(1)(t)在區(qū)間[k,k+1]上的積分代替背景值z(mì)(1)(k+1)；根據(jù)文獻(xiàn)[15]可知梯形積分公式的代數(shù)精度很低，從而導(dǎo)致模型預(yù)測(cè)偏差較大，在一定程度上影響了模型的適用性。因此，本文利用一種有理插值算法，構(gòu)造出了一種新的背景值，它不僅具有已有模型的優(yōu)點(diǎn)，而且又提高模型預(yù)測(cè)精度和適用性。

下面介紹插值的一些概念與定理：

一般地，稱(chēng)

為f(x)的k階差商。

定義2[15]稱(chēng)形如下式的插值Nn(x)

為Newton插值多項(xiàng)式。

定義3[16]給定n+1個(gè)互異的點(diǎn)

引理1[17]對(duì)任意給定的正整數(shù)m(1≤m≤n),由式（8）所確定的有理函數(shù)r(x)是滿(mǎn)足插值條件r(xi)=fi,(i=0,1,…,n)

pi(x)表示在點(diǎn)xi,xi+1,…,xn上的Newton插值多項(xiàng)式，根據(jù)定義2可得其表達(dá)式為：

由式（2）可知，背景值

下面利用文獻(xiàn)[17]中的有理插值方法，來(lái)構(gòu)造背景值。

Step 1：構(gòu)造有理插值函數(shù)。

由式（6）和式（9）可得

Step 2：計(jì)算背景值

的數(shù)值積分。

將區(qū)間[k,k+1]劃分為m等分，步長(zhǎng)h=1/m，分點(diǎn)為tk,j=k+jh,j=0,1,…,m,根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的

復(fù)化梯形公式得：

式（12）就是本文采用有理插值方法改進(jìn)得到的GM(1,1)模型的新背景值，且非容易在各種軟件上實(shí)現(xiàn)。將新背景值代入（5）式中，即可得到GM(1,1)的預(yù)測(cè)模型，且相比于其他方法具有如下優(yōu)點(diǎn)：

（?。┛朔嗽袠?gòu)造方法的Runge現(xiàn)象發(fā)生而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果失真的情況。

（ⅱ）在滾動(dòng)預(yù)測(cè)方面，也具有較低的計(jì)算復(fù)雜度。例如：原始數(shù)據(jù)的前k個(gè)原始時(shí)間序列，預(yù)測(cè)第k+1個(gè)數(shù)據(jù)x(0)(k+1)，然后添加第k+1個(gè)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值x^(0)(k+1)到原始序列的最后面，并刪除原始序列的第一個(gè)數(shù)據(jù)x(0)(1)。這樣就得到一個(gè)新的序列，去預(yù)測(cè)第k+2個(gè)數(shù)據(jù)x^(0)(k+2)。上述情況，使用其他方法構(gòu)造背景值，每次都需要重新計(jì)算插值函數(shù)，而本文算法，只需要對(duì)pi(t)添加一項(xiàng)這樣就節(jié)省了很多計(jì)算量。

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 數(shù)據(jù)描述

為了檢驗(yàn)本文提出的預(yù)測(cè)模型精確性與適用性，采用2001-2013年我國(guó)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，具體數(shù)據(jù)參見(jiàn)表1。主要考慮以下幾方面的原因：（1）由于受?chē)?guó)家經(jīng)濟(jì)水平的影響，我國(guó)的總消費(fèi)總值持續(xù)增加，具有明顯的指數(shù)分布特征，即選用其進(jìn)行預(yù)測(cè)可以很好的反映所建立預(yù)測(cè)模型的真實(shí)水平；（2）國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)的預(yù)測(cè)容易受到多種不確定性因素的影響，如金融危機(jī)、自然災(zāi)害等均會(huì)在一定程度上影響預(yù)測(cè)的精確性，具有較明顯的灰色預(yù)測(cè)模型的特征；（3）生產(chǎn)決定消費(fèi)，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值決定了居民的消費(fèi)水平，因此，對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值總消費(fèi)進(jìn)行科學(xué)預(yù)測(cè)，分析其發(fā)展趨勢(shì)，為宏觀經(jīng)濟(jì)政策的制定提供重要的參考，具有非常重要的意義。

2.2 方案設(shè)計(jì)

由于文獻(xiàn)[13,14]已將其方法與其他文獻(xiàn)進(jìn)行了比較，驗(yàn)證其方法具有較高的預(yù)測(cè)精度和適用性。為了進(jìn)一步體現(xiàn)本文方法的預(yù)測(cè)及模擬的效果，將本文與文獻(xiàn)[13,14]的灰色預(yù)測(cè)模型模擬及預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較分析，計(jì)算結(jié)果如下表2、3。其中本文所提出的有理插值模型（記為方法3）、組合插值模型[13]（記為方法1），三次樣條插值模型[14]（記為方法2）。從表2、3可知，利用本文所提出的有理插值優(yōu)化背景值的方法進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)，和文獻(xiàn)[14]相比幾乎具有相同的預(yù)測(cè)精度，相比文獻(xiàn)[13]具有較高的預(yù)測(cè)精度。進(jìn)一步驗(yàn)證了背景值的重構(gòu)是影響預(yù)測(cè)精度和適用性的關(guān)鍵因素，同時(shí)也表明了本文方法的有效性。

表1 2001-2013年中國(guó)國(guó)內(nèi)最終消費(fèi)的數(shù)據(jù)

表2 2001-2012年國(guó)內(nèi)總消費(fèi)的模擬表

表3 2013年國(guó)內(nèi)總消費(fèi)的預(yù)測(cè)表

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于一種新的有理插值函數(shù)，給出GM(1,1)模型背景值構(gòu)造的新方法，在減小計(jì)算量的同時(shí)提升了模型的預(yù)測(cè)性能，其主要優(yōu)點(diǎn)包括：第一，計(jì)算量較低，特別是采用滾動(dòng)和反饋校正的策略方面；第二，算法的可行性是無(wú)條件的；第三，具有較高的擬合和預(yù)測(cè)精度。實(shí)驗(yàn)研究表明，該方法充分改善了模型的穩(wěn)定性與適用性，有效提高了模型的預(yù)測(cè)精度。

[1]Li G D,Masuda S,Nagai M.Predicting the subscribers of fixed-line and cellular phone in Japan by a novel prediction model[J].Technological Forecasting and Social Change,2014,81:321-330.

[2]Xia M,Wong W K.A seasonal discrete grey forecasting model for fashion retailing[J].Knowledge-Based Systems,2014,57:119-126.

[3]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用(Ⅲ)[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20（6）：70-74.

[4]劉思峰，鄧聚龍.GM(1,1)模型的適用范圍[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2000，20（5）：121-124.

[5]Chao Z,Wang J,Chao J,et al.Using a grey model optimized by differential evolution algorithm to forecast the per capita annual net income of rural households in China[J].Omega,2012,40(5):525-532.

[6]Wang Y H,Dang Y G,Li Y E,et al.An approach to increase prediction precision of GM(1,1)model based on optimization of the initial condition[J].Expert Systems WithApplications,2010,37(8):5640-5644.

[7]羅 黨，劉思峰，黨耀國(guó).灰色模型GM(1,1)的優(yōu)化[J].中國(guó)工程科學(xué)，2003，5（8）：50-53.

[8]唐萬(wàn)梅，向長(zhǎng)合.基于二次插值的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)方法的改進(jìn)[J].中國(guó)管理科學(xué)，2006，14（6）：109-112.

[9]李俊峰，戴文戰(zhàn).基于插值和Newton-Cores公式的GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造新方法與應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，2005，24（10）：122-126.

[10]唐利民.GM(1,1)病態(tài)問(wèn)題求解的調(diào)整計(jì)量單位法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2014，39（9）：1038-1042.

[11]Wu L F,Liu S F,Yao L G,et al.Grey system model with the fractional order accumulation[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2013,18(7):1775-1785.

[12]Wu L F,Liu S F,Fang Z G,et al.Properties of the GM(1,1)with fractional order accumulation[J].Applied Mathematics and Computation,2015,252:287-293.

[13]王曉佳，楊善林.基于組合插值的GM(1,1)模型預(yù)測(cè)方法的改進(jìn)與應(yīng)用[J].中國(guó)管理科學(xué)，2012，20（2）：129-134.

[14]Wang X J,Yang S L,Ding J,et al.Dynamic GM(1,1)model based on cubic spline for electricity consumption prediction in smart grid[J].China Communications,2010,7(4):83-88.

[15]吳宗敏，蘇仰峰.數(shù)值逼近[M].北京：科學(xué)出版社，2008:42-73.

[16]王仁宏.數(shù)值逼近[M].北京：高等教育出版社，2012：173-218.

[17]Sidi A.Algebraic properties of some new vector-valued rational interpolants[J].Journal of Approximation Theory,2006,141(2):142-161.

Reconstruction of background value of GM(1,1)model based on rational interpolation function

KANG Ning,ZHANG Jing-jing,LI Xiao-ying
(School of Economic,Fuyang Normal University,Fuyang Anhui236037,China)

Based on rational interpolation function,a new class of Grey prediction model were put forward.This model improves the constructing approach of background value in the original model,which overcomes the deficiency of the existing GM(1,1)model,and provides a new way for improving the prediction accuracy.Compared with other approach,it not only has high prediction accuracy,but also has small computation.Finally,the example of total consumption data in China is presented to demonstrate the effectiveness of our approach.

rational interpolation;background value;GM(1,1)model;prediction accuracy

N941.5文獻(xiàn)識(shí)別碼：A

1004-4329（2017）04-068-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）04-068-05

2017-10-18

阜陽(yáng)師范學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2017FSKJ02ZD，2016FSKJ02）；阜陽(yáng)師范學(xué)院青年人才基金重點(diǎn)項(xiàng)目（rcxm201711）資助。

康 寧（1986－ ），女，博士，講師，研究方向：灰色系統(tǒng)理論、金融計(jì)量。