淺談高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)解題方法研究

亓浩宇

摘要：就高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，三角函數(shù)是我們最先接觸和學(xué)習(xí)的函數(shù)知識(shí)，對(duì)于我們個(gè)人數(shù)學(xué)知識(shí)的積累以及數(shù)學(xué)能力的提高，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。但由于三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的抽象性、復(fù)雜性特征影響，在實(shí)際習(xí)題應(yīng)用過程中，較難準(zhǔn)確地進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，容易出現(xiàn)公式使用不當(dāng)、求解條件考慮不全等解題錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致丟分。筆者從自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)入手，結(jié)合習(xí)題實(shí)例，就三角函數(shù)習(xí)題的解題思路和操作方法，發(fā)表幾點(diǎn)看法，以供廣大同學(xué)參考和討論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 三角函數(shù) 解題方法 研究

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成內(nèi)容，也是六類基本初等函數(shù)之一，以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)為主要表現(xiàn)形式，其知識(shí)點(diǎn)包含眾多的概念、定義和公式，且涉及“數(shù)形結(jié)合”思想的解題應(yīng)用，對(duì)于包括筆者在內(nèi)的大多數(shù)學(xué)生來說，在實(shí)際學(xué)習(xí)和習(xí)題應(yīng)用過程中，存在著較大的難度和挑戰(zhàn)。另一方面，三角函數(shù)也是高考的重要考點(diǎn)，在高考中涉及選擇、填空、應(yīng)用題等多種題型，如不能較好地掌握三角函數(shù)相關(guān)習(xí)題的解題思路和方法技巧，就容易受題目迷惑，而導(dǎo)致丟分問題的發(fā)生。筆者即根據(jù)自身的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和解題經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合三件函數(shù)實(shí)際問題，就其常見的解題思路和方法技巧，進(jìn)行了分析和探討，具體內(nèi)容如下：

一、掌握基礎(chǔ)知識(shí)，解決三角函數(shù)問題

通過三角函數(shù)的學(xué)習(xí)我們可以很快的發(fā)現(xiàn)，其涉及的公式、定義、概念眾多，且不同的公式間存在著較為復(fù)雜的轉(zhuǎn)化關(guān)系和內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)涉及圖像、向量、三角形等知識(shí)的綜合應(yīng)用，習(xí)題變化靈活且多樣，客觀存在著較大的解題難度。針對(duì)以上問題，我們應(yīng)進(jìn)一步加強(qiáng)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和掌握，通過扎實(shí)的知識(shí)積累，提高自身的解題能力，從而在復(fù)雜的題目描述中，快速地抓住問題主干和重點(diǎn)，以最直接的方法進(jìn)行解題。具體思路和方法技巧如下所示。

例一，已知α和β為銳角，且cosα=4/5，tan（α-β）=1/3，求cosβ=？。

在正式解題之前，我們應(yīng)先對(duì)題目描述進(jìn)行細(xì)致的閱讀和分析，以確定問題主干和重點(diǎn)，并以此為基礎(chǔ)確定解題思路和技巧方法。通過問題分析可得，這是一道較為典型的三角函數(shù)習(xí)題，問題較為直接，已知條件和問題較為直觀，明顯考察我們對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的理解和掌握，只要借助三類基本三角函數(shù)間的關(guān)系，就可以完成問題的解答。

解：根據(jù)三角函數(shù)間的關(guān)系可得

cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

∵α、β均為銳角，且cosα=4/5

∴sinα=3/5，且-π/2<α-β<π/2

又∵tan（α-β）=1/3

∴0<α-β<π/2，整理可得cosβ=/50

此類題目在三角函數(shù)習(xí)題練習(xí)中最為常見，其特征是題目直接、簡(jiǎn)單，問題和已知條件突出，直接根據(jù)題目問題聯(lián)合以往的三角函數(shù)知識(shí)，就可以進(jìn)行問題的接法。但在實(shí)際解題練習(xí)過程中，我們應(yīng)注意習(xí)題對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)鞏固，重點(diǎn)加強(qiáng)不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)的整理和掌握，從而不斷提高自身的解題效率和準(zhǔn)確率。

二、優(yōu)化解題技巧的運(yùn)用，提高解題效率

在三角函數(shù)學(xué)習(xí)和習(xí)題練習(xí)過程中，我們普遍習(xí)慣一種解題方法的學(xué)習(xí)和掌握，既使一種習(xí)題具有多種解題思路和方法，我們對(duì)于其他思路和方法也多采取了解的態(tài)度。事實(shí)上，學(xué)習(xí)和掌握多種解題思路和方法，對(duì)于提高三角函數(shù)習(xí)題的解題效率和解題準(zhǔn)確度，具有極大的幫助。此外，多種思路的掌握，也可以在問題分析階段，提供更多的方向，避免題目理解錯(cuò)誤或遺漏，提高解題得分率。

例二，對(duì)sin50°（1+tan10°）進(jìn)行求值。

通過題目解讀和分析可得，上述題目中包含“sin”和“tan”兩種三角函數(shù)，因此，我們可以借助“切割化弦”的方法，對(duì)題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，進(jìn)而完成題目問題的解答。

解：∵1+tan10°=（cos10°+sin10°）/cos10°=2sin40°/cos10°

∴sin50°（1+tan10°）=sin50°×2sin40°/cos10°=1

在實(shí)際習(xí)題解答過程中，我們還是加強(qiáng)題目的分析和理解，從問題的根本需要入手，結(jié)合不同問題的給出條件，選擇合適的解題思路和解題方法，從而保障解題的正確性和科學(xué)性。

另外，筆者建議廣大同學(xué)編制屬于自己的錯(cuò)題集，通過對(duì)錯(cuò)題的整理和歸納，系統(tǒng)、深入的認(rèn)識(shí)自身存在的能力不足，并根據(jù)自身的問題，進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練和學(xué)習(xí)，從而不斷提高自身的解題技巧和解題能力，避免失分問題的發(fā)生。

三、加強(qiáng)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思維應(yīng)用

“數(shù)形結(jié)合”在三角函數(shù)習(xí)題解答中，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，借助“數(shù)”與“形”間特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立相應(yīng)的幾何圖形，可以將抽象、復(fù)雜的問題描述具象化，從而在直觀、具體的圖像觀察中，獲得理論條件不具備的解題信息，最終實(shí)現(xiàn)題目問題的簡(jiǎn)化，完成習(xí)題的解答。

三角函數(shù)本身就具有自己獨(dú)特的函數(shù)圖像，在習(xí)題解答過程中，我們應(yīng)該掌握這種數(shù)學(xué)思維和解題技巧，通過圖像的合理運(yùn)用和引入，簡(jiǎn)化題目、獲得題目外的信息和條件，從而完成習(xí)題的解答。另外，我們?cè)谕瓿闪?xí)題解答之后，還可以借助圖像進(jìn)行驗(yàn)證，以確保習(xí)題解答的科學(xué)性和準(zhǔn)確性。

四、結(jié)語

綜上所述，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，在高考中也占據(jù)重要的分值比例。因此，我們?cè)诮忸}的過程中，需充分的閱讀題目，理解問題重點(diǎn)和要求，并不斷加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)、解題技巧和數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)和掌握，綜合提高自身解題能力，進(jìn)而保障解題效率和正確率的穩(wěn)定提高。

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（作者單位：山東省萊蕪市第一中學(xué)57級(jí)3級(jí)部12班）endprint