“數(shù)值分析”課程中數(shù)值逼近內(nèi)容的案例教學(xué)探討

王敏

【摘要】針對(duì)學(xué)生在“數(shù)值分析”學(xué)習(xí)中遇到的困難，在教學(xué)方法上做了一些探索，以算例為主導(dǎo)的“數(shù)值分析”的教學(xué)模式.通過(guò)對(duì)一具體算例應(yīng)用不同的數(shù)值逼近方法的處理，介紹并比較了兩種常用的數(shù)值方法：插值多項(xiàng)式和擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造和應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)值分析；案例教學(xué)；插值多項(xiàng)式；擬合多項(xiàng)式

數(shù)值分析中需要處理一類實(shí)際工程及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題：已知一些離散點(diǎn)處的函數(shù)值，有時(shí)需要預(yù)測(cè)未知點(diǎn)處的函數(shù)值，有時(shí)需要研究變量之間的函數(shù)關(guān)系.這類問(wèn)題都可以歸為數(shù)值逼近問(wèn)題，通過(guò)解決這類問(wèn)題，一方面，可以讓學(xué)生理解和掌握相關(guān)理論知識(shí)，另一方面，可以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用理論知識(shí)結(jié)合計(jì)算機(jī)技術(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，因此，在數(shù)值分析的教學(xué)中占據(jù)了非常重要的地位.

二、最小二乘法構(gòu)造擬合多項(xiàng)式

擬合法：在一類曲線中求一曲線φ（x），使其與f（x）在節(jié)點(diǎn)xi的誤差ei=|φ（xi）-f（xi）|總體上最小.這里的曲線可以是直線、多項(xiàng)式曲線、指數(shù)函數(shù)曲線、三角函數(shù)曲線等等.而ei“總體上最小”，一般指在一定范數(shù)意義下最小.常用的幾種范數(shù)中，∞-范數(shù)會(huì)導(dǎo)致個(gè)別誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)起主導(dǎo)作用，與常識(shí)不符；1-范數(shù)的光滑性差，不便與微分學(xué)應(yīng)用相結(jié)合.常用的準(zhǔn)則是讓誤差在2-范數(shù)意義下最小，對(duì)應(yīng)的擬合為最小二乘擬合.和前面一樣從理論最簡(jiǎn)單直觀的代數(shù)多項(xiàng)式作為切入點(diǎn)進(jìn)行討論.

三、其他的數(shù)值逼近方法

上面的兩種數(shù)值近似方法理論上最簡(jiǎn)單也最容易實(shí)現(xiàn)，實(shí)際應(yīng)用中還有各種其他近似方法.插值方法中近似函數(shù)為三角函數(shù)的三角多項(xiàng)式插值、考慮導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值，以及在工業(yè)設(shè)計(jì)里得到廣泛應(yīng)用的樣條函數(shù)插值等等.擬合方法中，考慮殘差向量在‖·‖1下最小的擬合，這時(shí)數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題就歸結(jié)為約束優(yōu)化問(wèn)題，可以用線性規(guī)劃的方法求解；考慮殘差向量在‖·‖∞下最小的擬合，這樣數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題就變?yōu)樽顑?yōu)化問(wèn)題中的極小—極大問(wèn)題，也可以用線性規(guī)劃方法求解.

四、結(jié) 語(yǔ)

數(shù)值逼近實(shí)用性強(qiáng)，特別是此部分內(nèi)容與許多生產(chǎn)實(shí)踐聯(lián)系密切，通過(guò)對(duì)具體數(shù)據(jù)用不同的算法進(jìn)行處理有助于學(xué)生理解課程內(nèi)容、掌握數(shù)值方法、了解應(yīng)用背景.同時(shí)，培養(yǎng)和提高了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]杜廷松.關(guān)于《數(shù)值分析》課程教學(xué)改革研究的綜述和思考[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007（2）：8-15.

[2]王利東，劉婧.從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)的線性代數(shù)教學(xué)模式探討[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012（3）：83-85.endprint