高等數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)的實(shí)施過(guò)程與思考

張艷華+于娟+孫建國(guó)

【摘要】高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)可以作為正常高等數(shù)學(xué)授課的補(bǔ)充，師生相互受益.本文針對(duì)本校在2017級(jí)理科實(shí)驗(yàn)班開(kāi)始實(shí)施的高等數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)，進(jìn)行了分析和總結(jié)，對(duì)這種嘗試給予肯定，也指出了嘗試過(guò)程中的不足，以及以后要改進(jìn)的地方.

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；數(shù)字化實(shí)驗(yàn)；抽象性；課程建設(shè)

高等數(shù)學(xué)是工科學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課.高等數(shù)學(xué)這門課程的特點(diǎn)，就是高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和廣泛的應(yīng)用性.英國(guó)著名哲學(xué)家培根說(shuō)：“數(shù)學(xué)是打開(kāi)科學(xué)大門的鑰匙.”可見(jiàn)數(shù)學(xué)的重要性，尤其高等數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生各專業(yè)課的基礎(chǔ)，也是開(kāi)展科研工作的基石.但是，隨著社會(huì)的進(jìn)步和學(xué)科建設(shè)的發(fā)展，在校大學(xué)生和高等數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展相較以往都發(fā)生了變化.如何讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)高效地掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，為學(xué)習(xí)其他學(xué)科打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，是教授高等數(shù)學(xué)課程的教師迫切需要解決的問(wèn)題[1].

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀

目前，高等數(shù)學(xué)課程學(xué)時(shí)數(shù)比以前有了一定的減少，教學(xué)內(nèi)容又必須滿足各專業(yè)課的需求，既要保證高等數(shù)學(xué)課程的完整性，又要適應(yīng)學(xué)科的改革發(fā)展，這就增大了教學(xué)的難度，使學(xué)生感覺(jué)高等數(shù)學(xué)更“難學(xué)”.還有高等數(shù)學(xué)授課過(guò)程有幾個(gè)特點(diǎn)：一是高等數(shù)學(xué)課堂大，一般90～150人合班上課，教師授課的基點(diǎn)一般放在中等水平，不能照顧到所有學(xué)生；二是上課時(shí)間長(zhǎng)、信息量大，每一次課是連續(xù)兩小節(jié)課，每小節(jié)50分鐘，因此，一次課的信息量是非常大的；三是進(jìn)度快，由于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容極為豐富，而學(xué)時(shí)又有限，因此，課堂一般講解重點(diǎn)、難點(diǎn)，講思路，不可能同中學(xué)階段一樣反復(fù)講解強(qiáng)調(diào)所學(xué)內(nèi)容.同時(shí)，全國(guó)統(tǒng)一研究生入學(xué)考試，數(shù)學(xué)所占比重變大.以前，考試總分500分，數(shù)學(xué)占100分；現(xiàn)在，總分不變，數(shù)學(xué)占150分.這使得高等數(shù)學(xué)的重要性進(jìn)一步增強(qiáng)，授課教師的任務(wù)更艱巨.

基于這些因素，對(duì)所有的高等數(shù)學(xué)授課教師提出更高要求，也對(duì)學(xué)生提出更高要求.教師必須改革教學(xué)手段和教學(xué)模式，尋求新的教學(xué)方式；學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也要做相應(yīng)的改變，以適應(yīng)新的教學(xué)方式[2].高等數(shù)學(xué)高度抽象，缺乏形象直觀的演示，是學(xué)生學(xué)習(xí)感到難的一個(gè)重要原因.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，我們?cè)诮虒W(xué)中做了一些嘗試，通過(guò)學(xué)生動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，降低數(shù)學(xué)一些內(nèi)容的抽象性，同時(shí)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新能力.

二、高等數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施動(dòng)機(jī)

固然，數(shù)字化實(shí)驗(yàn)可以降低部分內(nèi)容的抽象性，但是數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)施也有它的歷史條件.許多年前，一些數(shù)學(xué)教育家就提出：“應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生動(dòng)手‘做數(shù)學(xué)，要在數(shù)學(xué)教育中引入‘?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)”.一部分學(xué)者也一直在呼吁：應(yīng)當(dāng)給學(xué)生以“數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)”的教育，要讓學(xué)生除了演繹推理之外，還會(huì)使用歸納推理、合情推理等非演繹手法，體驗(yàn)完整的數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程——從觀察、抽樣、歸納、概括、猜想，到分析與論證的全過(guò)程.但是，除了受歷史條件限制，再者也沒(méi)有一種好的課程結(jié)構(gòu)模式作為支撐，實(shí)現(xiàn)起來(lái)總是受限制.目前的條件已經(jīng)有了根本變化，這些條件推動(dòng)著一種新的數(shù)學(xué)課程模式的誕生.數(shù)字化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)就是這樣一種新生的數(shù)學(xué)課程模式.

數(shù)字化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)給學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的人提供了一個(gè)深入把握高等數(shù)學(xué)概念、命題、思想、方法的平臺(tái)，一個(gè)表達(dá)和檢驗(yàn)自己數(shù)學(xué)創(chuàng)造思維和探索精神的試驗(yàn)場(chǎng)，一個(gè)部分重現(xiàn)發(fā)明經(jīng)歷的“回放舞臺(tái)”，一個(gè)獲得“參與數(shù)學(xué)創(chuàng)造過(guò)程”體驗(yàn)的科學(xué)園地[2].

三、開(kāi)展數(shù)字化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的具體做法

為了更好地開(kāi)展數(shù)字化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，學(xué)校與學(xué)院給予了很大的支持，學(xué)校的微機(jī)室均安裝了Microsoft Visual C++，一些科學(xué)計(jì)算及模擬平臺(tái)，其中包括李元杰老師團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)的一些物理編程樣例和數(shù)學(xué)編程樣例.并邀請(qǐng)李元杰老師對(duì)我們教授高等數(shù)學(xué)的教師進(jìn)行培訓(xùn)，李元杰老師也呈現(xiàn)了他們?cè)谌A中科技大學(xué)實(shí)施大學(xué)物理數(shù)字化教學(xué)的學(xué)生成果，學(xué)生的成果非常精彩，大大提高了我們每位教師的信心，也期待我們的學(xué)生有精彩成果的呈現(xiàn).

嘗試數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)效果，我們針對(duì)理學(xué)院的理科實(shí)驗(yàn)班學(xué)生開(kāi)展教學(xué)實(shí)驗(yàn).先由10位左右的高等數(shù)學(xué)授課教師來(lái)指導(dǎo)2016級(jí)理科實(shí)驗(yàn)班大一學(xué)生，每一位高數(shù)教師隨機(jī)分配6～7名學(xué)生.由于大一的學(xué)生第一個(gè)學(xué)期還沒(méi)有開(kāi)設(shè)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的相關(guān)課程，對(duì)于編程和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)非常陌生.再者，大一學(xué)生們課程比較多，各種社團(tuán)活動(dòng)也比較多，在學(xué)習(xí)時(shí)間比較緊的情況下，我們選擇幾個(gè)周末對(duì)學(xué)生進(jìn)行集中培訓(xùn)，指導(dǎo)如何安裝和使用軟件，針對(duì)學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，開(kāi)始分配任務(wù).先從最基本的基本初等函數(shù)開(kāi)始，讓學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)5大類基本初等函數(shù)的編程繪制.通過(guò)簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)的練習(xí)，提高他們的學(xué)習(xí)興趣和自信心，同時(shí)通過(guò)自己動(dòng)手的過(guò)程，仔細(xì)體會(huì)課堂教學(xué)中講解的內(nèi)容.通過(guò)此項(xiàng)練習(xí)，讓學(xué)生盡快掌握編程軟件.然后，安排難度稍大的編程實(shí)驗(yàn)練習(xí)，如，編程實(shí)現(xiàn)單調(diào)有界原理等.學(xué)生通過(guò)編程實(shí)驗(yàn)，一是可以非常直觀地觀察函數(shù)（數(shù)列）的變化趨勢(shì)；二是增強(qiáng)了動(dòng)手能力，開(kāi)拓了思維，雖然是相同的題目，但是不同的學(xué)生呈現(xiàn)給大家的感官印象完全不同.

教師的指導(dǎo)在整個(gè)過(guò)程中是不可缺少的，教師與學(xué)生采用交互式學(xué)習(xí)的方法，利用網(wǎng)絡(luò)的便利，無(wú)須面對(duì)面，學(xué)生有什么問(wèn)題可以給指導(dǎo)教師留言，可隨時(shí)解決學(xué)生在數(shù)字化實(shí)驗(yàn)中遇到的問(wèn)題，同時(shí)針對(duì)遇到的問(wèn)題，指導(dǎo)教師還可以提醒組里其他的學(xué)生避免一些錯(cuò)誤的發(fā)生.引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成科學(xué)的思維習(xí)慣，激發(fā)他們的內(nèi)在想象力，鍛煉其自身發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

四、高等數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)解決的問(wèn)題

通過(guò)一個(gè)學(xué)期的實(shí)踐實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)雖然過(guò)程不是完美無(wú)缺，但是還是有許多值得欣慰的地方.

（一）增加學(xué)生對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)帶來(lái)的美感

高等數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)，作為高等數(shù)學(xué)課程的補(bǔ)充，學(xué)生們對(duì)這種新穎的教學(xué)形式很好奇，表現(xiàn)出很高的熱情.例如，實(shí)驗(yàn)“立體空間圖形的繪制”，使得學(xué)生直觀、形象地了解空間立體圖形的特點(diǎn)，提高了空間想象能力.尤其是通過(guò)自己的編程，畫(huà)出如此美的圖形，那種滿足感是沒(méi)有什么東西可替代的.有學(xué)生課后說(shuō)：“我也可以畫(huà)出這么美的圖形，數(shù)學(xué)真的好美！”endprint

（二）降低高等數(shù)學(xué)的難度，抽象變直觀

高數(shù)數(shù)學(xué)課程的開(kāi)篇往往是從數(shù)列極限開(kāi)始，極限的概念非常抽象，尤其是為什么要引入神秘的ε符號(hào)來(lái)刻畫(huà)“任意小”，許多學(xué)生短時(shí)間內(nèi)是處于混沌狀態(tài)的，甚至有的學(xué)生高等數(shù)學(xué)課程都結(jié)束了，還不能理解此為何物.我們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)課程引入數(shù)字化實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生課下編程實(shí)驗(yàn)幾個(gè)數(shù)列極限的例子，讓他們自己來(lái)體會(huì)ε變化帶來(lái)的變化，對(duì)于極限概念的理解是非常有幫助的，這樣可以降低課程中難點(diǎn)知識(shí)的難度.

（三）使學(xué)生更明確學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)不僅僅是會(huì)計(jì)算，更重要的是體會(huì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維.我們運(yùn)算得再快，也沒(méi)有計(jì)算機(jī)算得快.了解計(jì)算機(jī)帶來(lái)的便利，提高用計(jì)算機(jī)幫助我們解決問(wèn)題的意識(shí).只要我們構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ停?jì)算機(jī)可以完成復(fù)雜的運(yùn)算工作，提高學(xué)生利用計(jì)算機(jī)的主動(dòng)性，高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化教學(xué)很好地解決了這個(gè)問(wèn)題.學(xué)生課下感慨：“高等數(shù)學(xué)最重要的是思考，而非計(jì)算，培養(yǎng)思維是數(shù)學(xué)的重要靈魂.”

（四）促進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)

高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)是我們普通高等數(shù)學(xué)課堂的補(bǔ)充，由于數(shù)字化實(shí)驗(yàn)可使一些抽象的內(nèi)容變得直觀，增加學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，降低一些知識(shí)的難度，可以大大調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)也是對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)知識(shí)的印證與重現(xiàn)，在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，可以進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握.

（五）培養(yǎng)學(xué)生良好的品質(zhì)

1.培養(yǎng)學(xué)生的細(xì)心.數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)，需要學(xué)生動(dòng)手編寫(xiě)程序，程序語(yǔ)言中一些標(biāo)點(diǎn)符號(hào)以及字母的大小寫(xiě)，都代表不同的意思，弄錯(cuò)就會(huì)報(bào)錯(cuò)或者編譯通過(guò)不了.開(kāi)始學(xué)習(xí)，學(xué)生都吃過(guò)粗心的虧，然后慢慢地讓自己變得細(xì)心，避免不必要的錯(cuò)誤.

2.培養(yǎng)學(xué)生的耐心.在編寫(xiě)程序的過(guò)程中，程序往往需要不斷地調(diào)試，耐心糾正程序中每一處錯(cuò)誤，堅(jiān)持不懈，才能得到一個(gè)比較完美的結(jié)果.

3.培養(yǎng)學(xué)生的鉆研和創(chuàng)新精神.在高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)中，會(huì)給學(xué)生留一些探索性題目，通過(guò)這些題目，會(huì)發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生都是經(jīng)過(guò)認(rèn)真思考，并且不斷探索嘗試，尋求最完美的結(jié)果.這樣的一些數(shù)字化實(shí)驗(yàn)，大大地鍛煉了學(xué)生的創(chuàng)新和探索能力，是我們普通授課中無(wú)法達(dá)到的.

五、存在問(wèn)題及改進(jìn)意見(jiàn)

由于我們高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化教學(xué)剛嘗試實(shí)施，在教學(xué)過(guò)程中也發(fā)現(xiàn)了一些問(wèn)題，也是以后我們要注意的.

（一）數(shù)字化教學(xué)編程軟件與計(jì)算機(jī)的兼容性問(wèn)題

在我們安裝數(shù)字化編程軟件時(shí)，遇到一個(gè)比較棘手的問(wèn)題就是編程軟件同我們筆記本電腦的兼容性問(wèn)題.比如，電腦是WIN7系統(tǒng)安裝VC++6.0，或者電腦是WIN10系統(tǒng)安裝VC++6.0，成功安裝軟件后，運(yùn)行程序會(huì)出現(xiàn)崩潰的現(xiàn)象.對(duì)于非計(jì)算機(jī)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教師，解決此問(wèn)題顯得比較棘手.

（二）學(xué)生從思想上不重視高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)

數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)能為學(xué)生的認(rèn)知提供直觀素材，可起到事半功倍的效果.但是，目前數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用還遠(yuǎn)未普及，一方面，我們的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)沒(méi)有安排學(xué)時(shí)上課，分配題目后，要求學(xué)生課下找時(shí)間來(lái)編程完成題目；另一方面，學(xué)生課下對(duì)分配的題目沒(méi)有進(jìn)行深入思考，也沒(méi)有認(rèn)真思考高等數(shù)學(xué)教材上的一些知識(shí)，結(jié)果上交的編程實(shí)驗(yàn)結(jié)果很粗糙，甚至有的學(xué)生對(duì)知識(shí)理解錯(cuò)誤.例如，預(yù)留一道題目讓學(xué)生編程用圖形表現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與微分的幾何意義，結(jié)果圖形顯示微分的幾何意義是錯(cuò)誤的.

數(shù)字化實(shí)驗(yàn)教學(xué)本身是為高等數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)的，幫助學(xué)生更好地理解高等數(shù)學(xué)課堂所學(xué)，但是在編程實(shí)驗(yàn)中也是要求學(xué)生認(rèn)真思考、相互補(bǔ)充.

（三）缺乏更有效的監(jiān)督、考核手段

高等數(shù)學(xué)數(shù)字化實(shí)驗(yàn)，我們沒(méi)有安排學(xué)時(shí)上課，預(yù)留題目要求學(xué)生課下完成，并告訴學(xué)生期末會(huì)對(duì)大家數(shù)字化編程實(shí)驗(yàn)打分，有10分計(jì)入期末成績(jī).雖然大部分學(xué)生積極、認(rèn)真、獨(dú)立完成預(yù)留題目，但并沒(méi)有達(dá)到很理想的效果.

五、師生溝通交流

因?yàn)闆](méi)有固定課時(shí)安排，學(xué)生是在課下自由時(shí)間來(lái)實(shí)現(xiàn)布置的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).當(dāng)學(xué)生們遇到問(wèn)題，解決問(wèn)題無(wú)法做到實(shí)時(shí)溝通.尤其是編程的問(wèn)題，面對(duì)面指導(dǎo)溝通是最方便的.一些學(xué)生學(xué)習(xí)缺乏主動(dòng)性，遇到問(wèn)題不跟指導(dǎo)教師交流溝通，這樣開(kāi)展數(shù)字化實(shí)驗(yàn)的效果就大打折扣了.

六、結(jié)束語(yǔ)

高等數(shù)學(xué)的數(shù)字化實(shí)驗(yàn)是高等數(shù)學(xué)普通授課的補(bǔ)充，有助于彌補(bǔ)普通高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的一些不足，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，在其“好奇心”和“新鮮感”的基礎(chǔ)上加以引導(dǎo)，讓學(xué)生多做、多想、多思、多討論交流，主動(dòng)參與數(shù)字化實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中養(yǎng)成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖黠L(fēng)，在思考中提高發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)解決處理問(wèn)題和動(dòng)手操作的能力.

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