對(duì)多邊形內(nèi)角和的有效探究策略

摘 要：勇于探究，是中國(guó)學(xué)生核心素養(yǎng)中極為重要的一項(xiàng)素養(yǎng)。隨著新課程改革的不斷深入，有效數(shù)學(xué)探究的教學(xué)強(qiáng)調(diào)了對(duì)學(xué)生探究素養(yǎng)發(fā)展的重視。本文以《多邊形內(nèi)角和》為例，提出了問(wèn)題引領(lǐng)探究、實(shí)驗(yàn)經(jīng)歷探究、激勵(lì)樂(lè)于探究、分層合作探究、創(chuàng)新升華探究五大策略。

關(guān)鍵詞：多邊形內(nèi)角和 有效探究 策略

新課程改革，極力提倡自主、合作和探究學(xué)習(xí)。勇于探究，更是中國(guó)學(xué)生核心素養(yǎng)中極為重要的一項(xiàng)素養(yǎng)。但是，學(xué)生探究訓(xùn)練往往落實(shí)不到位，課堂上學(xué)生不愿探究、不會(huì)探究、無(wú)效探究、只是少數(shù)尖子生在探究等現(xiàn)象，比比皆是。數(shù)學(xué)教學(xué)，如何組織學(xué)生有效探究呢？下面以《多邊形內(nèi)角和》為例，淺談?dòng)行?shù)學(xué)探究實(shí)施策略。

一、問(wèn)題引領(lǐng)探究

為避免學(xué)生漫無(wú)目的的瞎探究、亂探究等無(wú)效活動(dòng)，探究活動(dòng)開(kāi)始之前，必須讓學(xué)生十分明確探究的目的、任務(wù)、思路和程序。學(xué)始于思，探源于疑。因此，如學(xué)完多邊形、正多邊形的概念后，教師可通過(guò)如下問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生探究：

【設(shè)疑引探】怎樣探究多邊形內(nèi)角和呢？（思路提示：先分析三邊形、四邊形、五邊形、六邊形等內(nèi)角和，再歸納、猜想一般多邊形內(nèi)角和，最后再對(duì)猜想進(jìn)行證明。）

【解疑合探】正方形、長(zhǎng)方形的內(nèi)角和都等于360°，那么任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是否也等于360°呢？

【解疑合探】我們能進(jìn)一步推導(dǎo)出五邊形和六邊形的內(nèi)角和各是多少嗎？

【解疑合探】由三邊形、四邊形、五邊形和六邊形內(nèi)角和能猜想多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？怎樣證明這個(gè)猜想？

【創(chuàng)新再探】反觀上述探究多邊形內(nèi)角和的過(guò)程，你們認(rèn)為“化歸”是否最為關(guān)鍵？你們還有其他新方法、新疑問(wèn)、新發(fā)現(xiàn)嗎？

二、實(shí)驗(yàn)經(jīng)歷探究

回歸學(xué)生學(xué)習(xí)主體，將教學(xué)活動(dòng)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生真正的實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷合情猜想、問(wèn)題解決、驗(yàn)證猜想、歸納模型等過(guò)程，并積累相應(yīng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

第一步：借助已有知識(shí)，讓學(xué)生獲得歸納、類(lèi)比、合情猜想的經(jīng)驗(yàn)。比如：

【片段一】

教師：我們已知三角形的內(nèi)角和是180°，那么四邊形的內(nèi)角和會(huì)是多少度呢？

學(xué)生：我認(rèn)為四邊形的內(nèi)角和是360°，比如長(zhǎng)方形、正方形，其四個(gè)直角之和就是360°。

教師：大家從特殊四邊形類(lèi)比一般四邊形，推斷四邊形四角和為360°，是合情推理。至于正確與否，我們可一起來(lái)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證它。

第二步：借助于實(shí)驗(yàn)單的形式將新知化歸舊知，進(jìn)而讓學(xué)生獲得解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。

【片段二】

（1）教師鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并出示小組合作探究實(shí)驗(yàn)單：至少采取三種不同的實(shí)驗(yàn)方法（教師可適當(dāng)提示）驗(yàn)證四邊形內(nèi)角和為360°。

（2）學(xué)生小組展示。抽A組、B組的實(shí)驗(yàn)單進(jìn)行展示并解說(shuō)。

（3）教師提出問(wèn)題：大家能用這種方法將五邊形、六邊形也分成幾個(gè)三角形后算出他們的內(nèi)角和嗎？然后出示第二個(gè)實(shí)驗(yàn)單：利用化歸方法探究五邊形和六邊形的內(nèi)角和。

最后教師引導(dǎo)學(xué)生思考，比較上述兩個(gè)實(shí)驗(yàn)單的實(shí)驗(yàn)過(guò)程，強(qiáng)調(diào)“化歸”策略的價(jià)值和問(wèn)題解決的方法。

第三步：完成實(shí)驗(yàn)三：驗(yàn)證四邊形、五邊形和六邊形內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系。學(xué)生進(jìn)而獲得驗(yàn)證猜想經(jīng)驗(yàn)。完成實(shí)驗(yàn)后，學(xué)生初步認(rèn)識(shí)基于四、五、六邊形內(nèi)角和的普遍特點(diǎn)，但是特點(diǎn)不夠穩(wěn)定，需要更多感性支撐。我們鼓勵(lì)學(xué)生在一系列的不同角度觀察和不同的操作活動(dòng)中獲得實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

第四步：從具體到抽象，從而獲得歸納模型經(jīng)驗(yàn)。這一步驟是對(duì)前幾步的升華，超越了實(shí)際操作層面，利于更好地實(shí)現(xiàn)活動(dòng)“內(nèi)化”?；谏鲜鰧?shí)驗(yàn)探究，得出四邊形、五邊形、六邊形等分成的三角形個(gè)數(shù)和各圖形的內(nèi)角和的求法。這其實(shí)是一組結(jié)構(gòu)性強(qiáng)、且具有內(nèi)在規(guī)律性的感性素材，以此為基礎(chǔ)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察和比較，繼而發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律性特點(diǎn)：所分成的三角形個(gè)數(shù)要比其邊數(shù)少2，內(nèi)角和是三角形個(gè)數(shù)乘以180°，因此多邊形的內(nèi)角和=（邊數(shù)-2）乘以180°。在此過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了模型的具體形成過(guò)程，并積累了模型建構(gòu)的初步經(jīng)驗(yàn)。

三、激勵(lì)樂(lè)于探究

為確保學(xué)生探究活動(dòng)的有效性和積極性，教師千方百計(jì)的持續(xù)激勵(lì)尤為重要。教師是探究活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。探究多邊形內(nèi)角和的活動(dòng)中，學(xué)生任何有價(jià)值的實(shí)驗(yàn)設(shè)想、合理猜想、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證、創(chuàng)新的化歸方法，教師都要及時(shí)強(qiáng)化和表?yè)P(yáng)激勵(lì)。教師組織開(kāi)展的小組學(xué)習(xí)競(jìng)賽和晉級(jí)、讓學(xué)生展示探究思路和成果、讓優(yōu)生幫輔本組學(xué)困生、各小組之間相互質(zhì)疑、開(kāi)展自主探究、合作探究、展示評(píng)價(jià)、創(chuàng)新比拼等形式，都能有效激勵(lì)學(xué)生探究的積極性，同時(shí)也提高了學(xué)生的綜合探究能力。

四、分層合作探究

有效數(shù)學(xué)探究必須是落實(shí)分層合作、保證全員參與。在設(shè)計(jì)課堂組織形式時(shí)貫徹分層教學(xué)思想。我將全班分為6—8個(gè)小組，每個(gè)小組注意學(xué)生ABC三層次搭配（原則是：B層展示，A層點(diǎn)評(píng)。若改為C層展示則該小組雙倍加分，或A層點(diǎn)評(píng)的思路和解法有創(chuàng)造性則該小組也雙倍加分）、男女搭配、個(gè)性搭配，盡可能組內(nèi)異質(zhì)，組間同質(zhì)，各小組之間每周按評(píng)分進(jìn)行晉級(jí)競(jìng)賽。這一機(jī)制下，ABC三層次學(xué)生都得到充分的調(diào)動(dòng)，效果出奇的好。在分層教學(xué)的過(guò)程中，教師要注意確定合理的梯度化教學(xué)目標(biāo)，引導(dǎo)不同層次的學(xué)生共同進(jìn)步，讓學(xué)生都能夠感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè)。比如，本節(jié)課避免直接讓學(xué)生推導(dǎo)N邊形內(nèi)角和公式，從三角形、四邊形、五邊形、六邊形內(nèi)角和到N邊形內(nèi)角和進(jìn)行逐步推導(dǎo)，讓全體學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，掌握有效探究的基本思想方法，并獲得有效探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

五、創(chuàng)新升華探究

教學(xué)設(shè)計(jì)要利于學(xué)生體驗(yàn)與理解，思考和探索，并且重視過(guò)程和結(jié)果，學(xué)生能夠進(jìn)行深刻地思考，同時(shí)還能將知識(shí)內(nèi)化為智慧。比如下面片段探究后：

【片段三】

（1）如果連接四邊形的一條對(duì)角線（如圖1所示），你能確定這一四邊形的內(nèi)角和嗎？試著分析原因。

（2）如果連接四邊形的兩條對(duì)角線（如圖2所示），這兩條對(duì)角線相較于點(diǎn)o，你能借助于該圖確定四邊形的內(nèi)角和嗎？

（3）如果移動(dòng)點(diǎn)o的位置，點(diǎn)o可能在四邊形的什么位置呢？你能借助于相應(yīng)的圖形確定四邊形的內(nèi)角和嗎？

（4）類(lèi)比四邊形的探索方法，你可使用哪些方法來(lái)確定五邊形的內(nèi)角和？

（5）確定五邊型的內(nèi)角和，可將五邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形呢？

（6）六邊形的內(nèi)角和又該怎樣確定呢？

根據(jù)探索，完成以下表格內(nèi)容。

教師：大家有創(chuàng)新的見(jiàn)解嗎？

學(xué)生1：第（3）步中，最好的是將點(diǎn)o移動(dòng)到多邊形內(nèi)或多邊形一個(gè)頂點(diǎn)上。理由是……

學(xué)生2：第（6）步中，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線分出的三角形個(gè)數(shù)可以用該頂點(diǎn)相鄰的兩條邊以外的邊數(shù)來(lái)對(duì)應(yīng)計(jì)算。

學(xué)生3：探究多邊形內(nèi)角和關(guān)鍵要化歸成三角形內(nèi)角和來(lái)計(jì)算。

學(xué)生4：每多一個(gè)頂點(diǎn)就可以多分割出一個(gè)三角形。因此六邊形內(nèi)角和比五邊形多180°，五邊形比四邊形內(nèi)角和多180°。

學(xué)生5：上表中六邊形ABCDEF，可以將對(duì)角線AD去掉，改為連接對(duì)角線EC，同樣達(dá)到化歸目的。

學(xué)生6：·····……

有效數(shù)學(xué)探究，要依托有效的教學(xué)組織策略。問(wèn)題引領(lǐng)探究、實(shí)驗(yàn)經(jīng)歷探究、激勵(lì)樂(lè)于探究、分層合作探究、創(chuàng)新升華探究等策略的實(shí)施，不僅強(qiáng)調(diào)教學(xué)的有效性，更注重培養(yǎng)學(xué)生的樂(lè)于探究和善于探究的良好素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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