高考圓錐曲線最值問題常見類型及解法探究

周發(fā)奎

摘 ?要：在高考數(shù)學(xué)當(dāng)中圓錐曲線是非常重要的一項(xiàng)考查內(nèi)容，重點(diǎn)運(yùn)用了引參消參、數(shù)形結(jié)合、設(shè)而不求以及等價(jià)轉(zhuǎn)換等基本方式對(duì)其具體的最值問題進(jìn)行解答，是高考數(shù)學(xué)當(dāng)中占比比較重的一類題目?；诖耍疚木蛯⒅攸c(diǎn)對(duì)其常見題型和解題方法進(jìn)行探究，以供參考。

關(guān)鍵詞：圓錐曲線;最值問題;解法

引言：

在歷年的高考數(shù)學(xué)當(dāng)中，圓錐曲線題不但是分值比較重，而且其題目類型靈活多樣，具有很強(qiáng)的綜合性，經(jīng)常會(huì)放在試卷的最后作為一道壓軸題出現(xiàn)。在這之中最常見的就是圓錐曲線的最值問題，這是因?yàn)樗婕胺秶容^廣，會(huì)運(yùn)用不等式、函數(shù)以及三角函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)考察的方式也都比較靈活，除了能夠?qū)Υ蠹一A(chǔ)知識(shí)的掌握能力進(jìn)行考查之外，還可以將數(shù)學(xué)思想及解題方式的能力展現(xiàn)出來，所以一般要求都非常高，同時(shí)難度也很大，大家在復(fù)習(xí)的過程中必須要細(xì)致認(rèn)真地備考。

一、解題方式

（一）常見的解題思想方法

第一種，幾何法。主要就是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過圓錐曲線的相關(guān)定義、性質(zhì)以及圖形等內(nèi)容把題干當(dāng)中的已知條件直接轉(zhuǎn)化成為平面幾何圖形，然后再運(yùn)用平面幾何的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容去解決問題，比如運(yùn)用兩點(diǎn)之間的線段最短、點(diǎn)到直線的垂線段最短等等。

第二，代數(shù)法。在已知條件之下構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)換成為函數(shù)的最值問題，再通過判別式、配方法以及不等式法等通過函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)法等去對(duì)最值進(jìn)行求解[1]。

（二）運(yùn)用方法的注意事項(xiàng)

在使用第一種方法的時(shí)候，只要涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題時(shí)，就需要把圓錐曲線的第二定義運(yùn)用進(jìn)去，通過數(shù)形結(jié)合的方式去解答題目，并畫出來直觀的圖像，對(duì)代數(shù)式的含義進(jìn)行分析，進(jìn)而將數(shù)形實(shí)施有機(jī)轉(zhuǎn)化，達(dá)到良好的解題效果。

一般配方法經(jīng)常和二次函數(shù)相互聯(lián)系，并從二次函數(shù)圖像和自變量范圍當(dāng)中求得最值。倘若無法確定對(duì)稱軸的位置，就還要進(jìn)行分類討論。

把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成為和 有關(guān)的二次方程 ，并且方程有實(shí)根的時(shí)候，就可以運(yùn)用判別式法，從 求解。

通過均值不等式能夠求得最值的，但是必須要注意基本條件，即“一正、二定，三相等”[2]。

在使用函數(shù)單調(diào)性的時(shí)候，如果不是初等函數(shù)，就可以應(yīng)用求導(dǎo)對(duì)其單調(diào)性進(jìn)行求解，掌握自變量的范圍，最終求得最值。

在運(yùn)用參數(shù)法的時(shí)候必須要注重引入?yún)?shù)前后的等價(jià)性。

這種方式是最常規(guī)的一種解法，除此之外還可以直接求得 和 的自坐標(biāo)，因 是在曲線上的，所以能夠從韋達(dá)定理當(dāng)中將 的坐標(biāo)求出來;然后因?yàn)?，所以只要再把 找出來，聯(lián)立起來方程，通過韋達(dá)定理最終也能夠求出來答案。除此之外由于 各個(gè)邊所在的直線斜率是已知的，那么就可以直接把夾角公式運(yùn)用進(jìn)去，即 ，接著再套入進(jìn)行計(jì)算即可。夾角公式在處理幾個(gè)問題角度的時(shí)候是最常用的一種工具，教材當(dāng)中已經(jīng)沒有了夾角公式，這是因?yàn)橄蛄繂栴}完全可以處理夾角，和向量有關(guān)的夾角公式包含有坐標(biāo)和長(zhǎng)度，但是斜率也是直線當(dāng)中的一項(xiàng)基本要素。所以對(duì)于那些學(xué)習(xí)程度比較好的學(xué)生還是需要掌握一下的。

（二）其它最值

例2：已知拋物線 。

（1）如果橢圓左焦點(diǎn)和其準(zhǔn)線與拋物線的焦點(diǎn) 與準(zhǔn)線 分別重合，求橢圓短軸端點(diǎn) 和焦點(diǎn) 連接的重點(diǎn) 其軌跡方程。

（2）如果 是 軸上的一個(gè)定點(diǎn)， 是（1）軌跡上的任何一點(diǎn)，那么 是否存在最小值？如果有，請(qǐng)說出理由。

評(píng)析：（1）考察的是通過數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建曲線方程;（2）這種最值問題建立的相對(duì)比較簡(jiǎn)單，困難的地方就在于怎樣解答帶有參數(shù)和自變量有取值范圍的函數(shù)最值。在具體解答的時(shí)候就需要將配方法運(yùn)用進(jìn)去，重點(diǎn)對(duì)二次函數(shù)圖形性質(zhì)以及分類討論的經(jīng)典數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考察，最終求得最值。在分類討論當(dāng)中字母是非常重要的一個(gè)點(diǎn)，想要解答這一題目必須要有一定的邏輯推理能力及分析問題的能力。

三、結(jié)束語

總的來說，圓錐曲線最值問題不僅自身是高中數(shù)學(xué)當(dāng)中最重要的一項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)，還容易和其它的數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立聯(lián)系，因此題目非常靈活多變。在具體解題的時(shí)候必須要運(yùn)用到方程、函數(shù)以及圖形關(guān)系、不等式等去進(jìn)行解決，尤其是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。學(xué)生們?cè)诜治龊徒獯鹪擃愵}目的過程中必須要嚴(yán)格身體，找到其中的隱含內(nèi)容，靈活地進(jìn)行轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)，最終找到最適合的解題思路與方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張妙安. 探究圓錐曲線中的最值問題[J]. 數(shù)理化解題研究，2019（12）：11-12.

[2] 孫威. 高考中圓錐曲線的最值問題解法探討[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2019（5）：24-24.