論高職高數(shù)教學(xué)中一元函數(shù)微分公式形式不變性

[摘 要] 通過對(duì)求導(dǎo)公式形式不變性的提出，給出了一階求導(dǎo)公式的一般形式，引申出復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一般形式，溝通與微分形式不變性之間的聯(lián)系和一致性，降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，提高其學(xué)習(xí)興趣。

[關(guān) 鍵 詞] 公式形式不變性；求導(dǎo)公式一般形式；高職高數(shù)教學(xué)

[中圖分類號(hào)] G712 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）24-0042-02

在職業(yè)院校中，由于學(xué)生自身的學(xué)習(xí)能力相對(duì)較弱、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)參差不齊，勢(shì)必給高職高數(shù)教學(xué)帶來極大的難度。但如果過度降低教學(xué)的難度，又不利于學(xué)生基礎(chǔ)素質(zhì)的提高，也不利于學(xué)生將來進(jìn)一步發(fā)展深造。本文通過總結(jié)調(diào)查問卷及學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的實(shí)際，結(jié)合高職高數(shù)教學(xué)中對(duì)高數(shù)一元函數(shù)微積分的教材教學(xué)處理對(duì)高職院校高等數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行探討。

一、學(xué)生高數(shù)學(xué)習(xí)調(diào)查問卷匯總

本次調(diào)查問卷主要以2016級(jí)在校學(xué)生為主，2015級(jí)學(xué)生為輔。本次調(diào)研問卷共在校內(nèi)發(fā)放1750份，回收有效問卷1421份，無效問卷329份。

二、高職學(xué)生高數(shù)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀況

從學(xué)生入學(xué)方式看，高職學(xué)生主要是高中或中專類的畢業(yè)生，學(xué)生綜合素質(zhì)較高并有一定的專業(yè)知識(shí)；而五年制及單獨(dú)招生學(xué)生整體素質(zhì)較差，基礎(chǔ)參差不齊。并且中等職業(yè)教育課程及知識(shí)體系與高職教育的課程知識(shí)體系也缺乏配合、交流和銜接。因?yàn)槲幕A(chǔ)知識(shí)體系相對(duì)不完整，基本素質(zhì)、理解能力和邏輯推理、歸納演繹能力都較差，導(dǎo)致高數(shù)教學(xué)效果每況愈下，不及格率也居高不下。由調(diào)查問卷情況看，高職學(xué)生中普遍存在的不知道怎樣學(xué)習(xí)高數(shù)？應(yīng)學(xué)習(xí)什么？同時(shí)，由于學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，忽視了高數(shù)教育的文化素質(zhì)性，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得單調(diào)、枯燥，因而造成學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的畏難情緒，甚至部分學(xué)生完全放棄，失去了學(xué)習(xí)高數(shù)的自信心。

教學(xué)是“教”與“學(xué)”的統(tǒng)一體，是并舉并重的。針對(duì)目前高職學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，在教學(xué)中怎樣去做？高職高數(shù)教學(xué)中怎樣做才能適應(yīng)高職學(xué)生的情況，才能提高教學(xué)質(zhì)量并順利達(dá)到教學(xué)目的和提高學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的興趣呢？

三、一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式形式不變性

導(dǎo)數(shù)基本公式是微積分學(xué)中重要的基礎(chǔ)，科學(xué)理解基本公式形式及其與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的邏輯關(guān)系對(duì)后繼內(nèi)容學(xué)習(xí)具有舉足輕重的作用，尤其對(duì)于隱函數(shù)。而目前的教材中，由導(dǎo)數(shù)基本公式到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則過渡的表現(xiàn)形式不一致，從而導(dǎo)致學(xué)生理解公式法則困惑、邏輯思維不嚴(yán)謹(jǐn)，導(dǎo)致運(yùn)用混亂，并造成學(xué)生對(duì)微分理解的困難。為此，筆者給出一階導(dǎo)數(shù)公式形式不變性概念及導(dǎo)數(shù)基本公式的一般形式。從而為理解掌握微分奠定基礎(chǔ)。

在高校的數(shù)學(xué)分析、高等數(shù)學(xué)相關(guān)教材的編寫和修訂過程中，導(dǎo)數(shù)基本公式形式一直沒有變化。如導(dǎo)數(shù)基本公式為：

（xμ）′=μxμ-1，（ex）′=ex，（lnx）′=■，（sinx）′=cosx （1）

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則為：

定理1 設(shè)函數(shù)y=f（u）在u點(diǎn)可導(dǎo)，函數(shù)u=g（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f（g（x））在點(diǎn)x可導(dǎo)且有■=■■，■=f ′（u）·g ′（x），或■=■·■. （2）

教材中對(duì)基本公式和法則有詳略得當(dāng)?shù)拿枋?，但公式與法則之間缺乏形式上的聯(lián)系，引起學(xué)生理解上的困惑，甚至不理解，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)習(xí)隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)和微分的困難，同時(shí)導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)解題格式錯(cuò)誤或步驟不完整及解題錯(cuò)誤等現(xiàn)象。

例1：求y=lnsin（1-x）的導(dǎo)數(shù)

解：y=■·[sin（1-x）]′ （3）

=■·cos（1-x）·（1-x）′ （4）

=-■ （5）

=-tan（1-x）

在解題過程中經(jīng)常寫錯(cuò)或丟掉中間變量的導(dǎo)數(shù)，如（3）寫成

y′=■·[sin（1-x）]′·（1-x）′或（4）寫成y′=■·（1-x）′

例2：求由方程y2=1-xey確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.

解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求關(guān)于x導(dǎo)數(shù)

（y2）′=（1-xey）′， （y2）′=1′-（x）′ey-x（ey）′，（6）

2yy′=-ey-xey·y′，（7） （2y+xey）·y′=-ey

解得 y′=■

在解題過程中經(jīng)常存在丟掉y′的現(xiàn)象，如常錯(cuò)誤地把（7）寫成2y=-ey-xey·y′或2y·y′=-ey-xey

此現(xiàn)象對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的高職院校學(xué)生來說更是普遍。從（3）到（4）易出錯(cuò)及（6）到（7）學(xué)生不知所以然，其主觀原因在于學(xué)生不能把導(dǎo)數(shù)基本公式與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則聯(lián)系起來使用；客觀原因是教材中缺乏基本公式（1）與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（2）的聯(lián)系及形式不一致。如基本公式（1）中沒有出現(xiàn)x′，以至于部分學(xué)生能綜合使用基本公式但不能準(zhǔn)確熟練運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法則，從而出現(xiàn)如上錯(cuò)誤。從學(xué)生角度講，這種現(xiàn)象會(huì)強(qiáng)化數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性，影響或降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣；從能力培養(yǎng)角度看，過渡形式不一致使學(xué)生邏輯思維能力培養(yǎng)速度得不到有效提高。而教材作為重要學(xué)習(xí)材料，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)影響力不可忽視，因此修訂或補(bǔ)充說明導(dǎo)數(shù)基本公式形式具有重要作用。

（一）一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式形式不變性

為了學(xué)生易于理解和掌握求導(dǎo)法則，先將公式變形為：

（xμ）′=μxμ-1·x′ （ex）′=ex·x′ （lnx）′=■·x′

（sinx）′=cosx·x′ （tanx）′=sec2x·x′ （secx）′=secxtanx·x′

（arcsinx）′=■·x′ （arctanx）′=■·x′

上列諸式總稱為（8）式。將公式中的變量x用變量u替換有：

（uμ）′=μuμ-1·u′ （eu）′=eu·u′ （lnu）′=■·u′

（sinu）′=cosu·u′ （secu）′=secutanu·u′ （tanu）′=sec2u·u′

（arcsinu）′=■·u′ （arctanu）′=■·u′

上列諸式總稱為（9）式。

顯然：若u為自變量，則公式（9）中的u′=1，就是公式（8）即復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的具體形式就是文獻(xiàn)中的導(dǎo)數(shù)基本公式形式；若u不是自變量，則進(jìn)一步求中間變量u的導(dǎo)數(shù)，直至自變量結(jié)束。

因此，定理1可以改寫為如下形式：

定理：若函數(shù)y=f（u）在點(diǎn)u可導(dǎo)，則y′=f ′（u）·u′ （10）

證明（略）

注：若u不是自變量，可設(shè)u=？漬（x）且函數(shù)u=？漬（x）在點(diǎn)x可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[？漬（x）]在點(diǎn)x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為y′=f ′（u）·？漬′（x）·x′=f ′（u）·？漬′（x）.

若u是自變量，則u′=1.且（10）式變?yōu)閥′=f ′（u）.

定理1′說明：無論u是自變量還是中間變量或另一個(gè)變量的函數(shù)，（9）、（10）式保持公式形式不變。這一性質(zhì)稱為一階導(dǎo)數(shù)公式形式不變性。

推論1：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（定理1′）一般形式：詳見公式（9）（公式中u為變量，其他量為常量）。

即任意一個(gè)變量的函數(shù)都具有該性質(zhì)。若變量為y，則有

推論2：隱函數(shù)求導(dǎo)法則（公式中y為變量，且是x的函數(shù)，其他量為常量）：

（yμ）′=μyμ-1·y′ （ey）′=ey·y′ （lny）′=■·y′

（siny）′=cosy·y′ （secy）′=secytany·y′ （tany）′=sec2y·y′

（arcsiny）′=■·y′ （arctany）′=■·y′

以上諸式為（11）式，稱為隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)公式。也稱為隱函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)公式形式不變性。即（11）式是（9）式的變形。

因此，（9）式是導(dǎo)數(shù)基本公式的一般形式。而（11）式又給出了隱函數(shù)求導(dǎo)公式，這樣由導(dǎo)數(shù)基本公式到復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則過渡就保持了一致性。同時(shí)闡述了隱函數(shù)求導(dǎo)的根本原則就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，并簡(jiǎn)化了復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)過程和理解，只要遵循公式（9）、（11）就避免了易錯(cuò)易漏項(xiàng)的出現(xiàn)。

例3：xy=yx，求y′

解：取對(duì)數(shù)ylnx=xlny套用公式（11）

y′lnx+y■=lny+x■y′ 即y′=■

（二）一元函數(shù)的微分形式不變性

由于可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，由公式（9）相應(yīng)的可得微分公式

d（uμ）′=μuμ-1·du d（eu）′=eu·du d（lnu）=■·du

d（sinu）=cosu·du d（secu）=secutanu·du d（tanu）=sec2u·du

d（arcsinu）=■·du d（arctanu）=■·du

上列諸式總稱為（12）式。

顯然：若u為自變量，則公式（12）中的du=1·dx，就是復(fù)合函數(shù)微分法則的具體形式，也是文獻(xiàn)中的微分基本公式形式；若u不是自變量，則進(jìn)一步求中間變量u的微分，直至自變量結(jié)束。（12）式就是復(fù)合函數(shù)微分公式一般形式。即任意一個(gè)變量的函數(shù)都具有該性質(zhì)。

例4：y=exlnx，求dy

解：套公式（12）

dy=dexlnx=exlnxd（xlnx）=exlnx（lnxdx+xdlnx）=exlnx（1+lnx）dx

例5：y=■（x>0） 求dy

解：取對(duì)數(shù)lny=■lnx

套公式（12） dlny=d（■lnx）=lnxd■+■dlnx

■dy=lnx（-■）dx+■（■）dx=■（1-lnx）dx

dy=■（1-lnx）ydx=■（1-lnx）dx

推論3：設(shè)y=f（u），無論u是自變量還是中間變量（即變量的函數(shù)），微分形式dy=f ′（u）du保持不變。

這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。性質(zhì)表示，當(dāng)變換自變量時(shí)微分形式dy=f ′（u）du保持不變。

教材通過這一系列的處理，簡(jiǎn)化了理解的難度，加強(qiáng)了知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系與溝通，使形式不變性的概念的形成和引出變得自然流暢。同時(shí)保持理論和概念的前后一致性。

四、結(jié)束語(yǔ)

通過提出一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）形式不變性概念，給出復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（或微分）法則一般形式，在一定程度上解決了學(xué)生學(xué)習(xí)微分學(xué)過程中認(rèn)識(shí)上和邏輯思維上存在的困惑或障礙，課堂教學(xué)效率得到了明顯的提高，學(xué)生解題步驟不完整現(xiàn)象得到一定改善。也使學(xué)生對(duì)一階微分形式不變性理解和掌握更透徹。兩者相輔相成相互加深理解。但最主要的是體現(xiàn)了“平等與公平”地對(duì)待因變量和自變量，提出了平等對(duì)待變量的思想和方法，解決了只知道對(duì)于自變量x而言x′=1而對(duì)于因變量y來說y′=1一般不成立。同時(shí)，為學(xué)習(xí)微分及理解和掌握微分形式不變性奠定了基礎(chǔ)，并與微分公式形式不變性的學(xué)習(xí)保持了一致性，知識(shí)前后呼應(yīng)增加了教材的可讀性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和興趣。也為繼續(xù)學(xué)習(xí)積分學(xué)提供了方法和思想。關(guān)鍵是教材通過這樣處理從表象和形式上揭示：（1）可微與可導(dǎo)的一致性和等價(jià)性，對(duì)于可微與可導(dǎo)是等價(jià)的結(jié)論推出水到渠成。（2）從本質(zhì)上告訴學(xué)生凡是變量的求導(dǎo)與微分必須遵守公式（9）與（12），與函數(shù)及變量采用的字母無關(guān)，公式形式不變。

總之，這樣處理教材，筆者認(rèn)為不僅適合高職學(xué)生，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的普通本科學(xué)生也是非常適用的，對(duì)于高素質(zhì)的本科院校學(xué)生也有一定的參考價(jià)值。顯然，形式不變性思想也可繼續(xù)拓展，本文不再贅敘。