用“夾逼法”巧解初一難題

“夾逼法”是從已知條件出發(fā)，通過轉化、變形和數(shù)形估計，把需要考察的量限制在某兩個數(shù)值之間，從而獲得符合題意的答案. “夾逼法”是解決數(shù)學問題的一種思維方法.下面舉例說明“夾逼法”在解題中的應用.

【例1】已知，求的平方根.

【解析】由隱含的條件得，且，∴，即可求出的值.

【解】由題意得：，且，∴，且，∴，當時，，∴，的平方根為.

【例2】已知是的整數(shù)部分，是它的小數(shù)部分.

（1）求、的值；（2）求的立方根.

【解析】確定開方開不盡的無理數(shù)的問題，可以用“夾逼法”，先確定這個無理數(shù)夾在哪兩個相鄰的整數(shù)之間，然后減去無理數(shù)的整數(shù)部分，剩下的為小數(shù)部分.

【解】（1）∵，∴，即：，∴

（2）當時，，∴所求數(shù)的立方根是.

【例3】實數(shù)適合關系式：，試求的算術平方根.

【解析】由算術平方根中被開方數(shù)的非負性及“夾逼法”可求得，再利用非負數(shù)的性質和解方程的知識可求得的值，從而求出的算術平方根.

【解】根據(jù)題意得：且，∴且，∴，把代入已知等式并化簡，得：，由非負數(shù)的性質得： ①且②，由②得：代入①得：，解得：，∴，∴的算術平方根是3.

【例4】已知實數(shù)，，求的平方根.

【解析】因為用絕對值和平方表示的數(shù)都是非負數(shù)，把已知等式移項后，左邊均為非負數(shù)，所以右邊必也是非負數(shù)，再由“夾逼法”求出數(shù)b，進而求出數(shù)a、c.

【解】由已知變形得：，，∵，，∴且，∴且，故，從而可得：，當時，，所以，所求數(shù)的平方根為.“夾逼法”在今后的學習中經(jīng)常會遇到，同學們要多加體會.下面幾道題供同學們練一練.①已知，則= .②若為的整數(shù)部分，為的小數(shù)部分，求的值.③已知，求的平方根.④若實數(shù)適合關系式：，則 .