一道“正整數(shù)按規(guī)律排列”的習題的探索

近年數(shù)學中考和初中數(shù)學競賽考試中出現(xiàn)了很多把正整數(shù)按一定規(guī)律排列后，然后探索其變化規(guī)律解決問題的題目，學生由于知識面窄，大部分學生很難順利完成，因此有必要對這類進行深刻的探索與研究，讓學生很好的掌握這類題的解題思路和解題規(guī)律。正整數(shù)按規(guī)律排列的習題的探索，就是要廣泛收集問題所給的信息，合理選擇已有的知識和方法，經(jīng)過觀察猜想、推演計算等得出結(jié)論的過程。

規(guī)律探索型問題的特點在于問題結(jié)論不直接給出，需要通過觀察、分析、歸納、概括、推理、判斷等一系列探索活動逐步確立應(yīng)有的規(guī)律。

【引例】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，且用 表示位于從上到下第n行，從左到右第m列的數(shù)，如： ，若 ，則有序數(shù)對 表示的坐標是（ ）

【探索】觀察排列規(guī)律發(fā)現(xiàn)：①從1開始，第n排排n數(shù)，呈蛇形順序接力，即：第1排1個數(shù)，第2排2個數(shù)，第3排3個數(shù)，第n排n個數(shù)；②奇數(shù)排從左到右由小到大，偶數(shù)排從左到右由大到?。虎蹚牡?排開始，各排的數(shù)字之和有一定規(guī)律，即奇數(shù)排的和等于最后這排最右邊的數(shù)，偶數(shù)排的和等于最后這排最左邊的數(shù)，如：1+2+3=6，6為第3排最右邊的數(shù)，1+2+3+4=10，10為第4排最左邊的數(shù)；④奇數(shù)排最左邊的第1個數(shù)等于最右邊的數(shù)減排數(shù)加1，如：4（第3排最左邊的數(shù)）=6（最右邊的數(shù)）-3（排數(shù)）+1，偶數(shù)排最右邊的數(shù)等于最左邊的數(shù)減排數(shù)加1，如7=10-4+1；⑤要確定的數(shù)在幾排幾列，先確定這個數(shù)在第幾排，再確定它在第幾列；⑥要確定的數(shù)要小于等于所有排數(shù)之和，如 中，5﹤1+2+3， 中，10=1+2+3+4，⑦正整數(shù)的和： （n為正整數(shù)）.

【解析】先由 得： ，而 ∴ ，又∵第63排是奇數(shù)排，從左到右由小到大，∴2016是第63排最右邊的數(shù)，即第63排的第63列的數(shù)，從右往左數(shù)第60列就是2013，故數(shù)對 表示的坐標是A.

（一）已知有序數(shù)對表示的數(shù)，求有序數(shù)對

【例1】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序?qū)崝?shù)對（n，m）表示第n排從左到右第m個數(shù)，如（4，2）表示9，則表示58的有序數(shù)對是 .

【解】∵ ，且1+2+3+…+11=66﹥58

又∵第11排是奇數(shù)排，從左到右由小到大，∴66是第11排最右邊的數(shù)，即第11排的第11列的數(shù)，從而，第11排最左邊的那個數(shù)是：66-11+1=56，即第11排第1列的數(shù)是56，所以，從左數(shù)到右第3列的數(shù)是58，故表示58的有序數(shù)對是（11，3）.

【例2】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去，若有序?qū)崝?shù)對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數(shù)，如（4，2）表示實數(shù)9，則表示實數(shù)1962的有序?qū)崝?shù)對是______.

【解】∵ ，且1+2+3+…+63=2016﹥1962

又∵第63排是奇數(shù)排，從左到右由小到大，∴2016是第63排最右邊的數(shù)，即第63排的第63列的數(shù)，從而，第63排最左邊的那個數(shù)是：2016-63+1=1954，即第63排第1列的數(shù)是1954，所以，從左數(shù)到右第9列的數(shù)是1962，故表示1962的有序數(shù)對是（63，9）.

（二）已知有序數(shù)對，確定它表示的數(shù)

【例3】將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去.若用有序?qū)崝?shù)對（n，m）表示第n排，從左到右第m個數(shù)，如（4，3）表示實數(shù)9，則（100，50）表示的實數(shù)是 .

【解】∵1+2+3+…+100=5050，且第100排是偶數(shù)排，從左到右由大到小，∴5050是第100排的第1個數(shù)，第50個數(shù)是5050-50+1=5001，∴（100，50）表示的實數(shù)是5001.

【歸納】正整數(shù)呈蛇形順序接力分布時，若“已知有序數(shù)對表示的數(shù)，求有序數(shù)對”時，先求出此數(shù)的2倍的算術(shù)平方根（精確到個位），此算術(shù)根即為排數(shù)，再求排數(shù)之和，最后根據(jù)奇偶排確定和是最左邊還是最右邊的數(shù)，從而找出列數(shù)；若“已知有序數(shù)對，確定它表示的數(shù)”時，先求排數(shù)之和，再根據(jù)奇偶排確定和是最左邊還是最右邊的數(shù)，最后依據(jù)列數(shù)找出要確定的數(shù).