追及問題

【摘 要】討論追及相遇，其實質(zhì)就是分析討論連物體在相同的時間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問題。

【關(guān)鍵詞】臨界條件

兩物體在同一直線上運動，兩物體間的距離發(fā)生變化時，可能會出現(xiàn)最大距離、最小距離或者相遇的情況，這類問題稱為追擊問題。追擊問題也是勻變速直線運動規(guī)律在實際問題中的具體應(yīng)用。追及問題的主要特征是兩物體在追趕上時處于同一位置，因此，解決追及問題的關(guān)鍵也是找出位移的關(guān)系。追及類問題常見的有以下4種類型：

一、勻減速運動物體追趕同方向的勻加速運動的物體。

例2：在水平軌道上有兩列火車A和B相距S，A車在后面做初速度為V0、加速度大小為2a的勻減速直線運動，而B車同時做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運動，兩車運動方向相同，要是兩不相撞，求A車的初速度V0滿足的條件。

解析：由運動學(xué)公式，相遇條件可知SA=S+SB，即v0t+1/2×（-2a）×t2=s+at2/2

整理得3at2-2v0t+2s=0

是時間t的一元二次方程，當(dāng)跟的判別式△=（2V0）2-4×3a×2s<0，即V0<時，t無實數(shù)解，即兩車不相撞，所以要使兩車不相撞，A車的初速度V0應(yīng)滿足的條件是V0≤

二、勻速運動的物體追趕同方向做勻加速運動的物體

例3：甲、乙兩運動員在訓(xùn)練交接棒的過程中發(fā)現(xiàn)：甲經(jīng)短距離加速后能保持9m/s的速度跑完全程：已從起跑后到接棒前的運動是勻加速的。為了確定乙起跑的時機，需在接力區(qū)前適當(dāng)?shù)奈恢脴?biāo)記。在某次練習(xí)中，甲在接力區(qū)前S0=13.5處做了標(biāo)記，并以V=9m/s的速度跑到此標(biāo)記時向乙發(fā)出起跑口令。乙在接力區(qū)的前端聽到口令時起跑，并恰好在速度達(dá)到與甲相同時被甲追上，完成交接棒。已知接力區(qū)的長度為L=20m。

求：⑴此次練習(xí)中乙在接棒前的加速度a。

⑵在完成交接棒時乙離接力區(qū)末端的距離。

解析：⑴在甲發(fā)出口令后，甲乙達(dá)到共同速度所用的時間為t=V/a ①

設(shè)在這段時間內(nèi)甲、乙的位移分別為S1和S2則

S2=（1/2）at2 ②

S1=Vt ③

S1=S2+S0 ④

聯(lián)立①、②、③、④式解得a=V2/2S0 a=3m/s2 ⑤

⑵在這段時間內(nèi)，乙在接力區(qū)的位移為

S2=V2/2a S2=13.5m ⑥

完成交接棒時，乙與接力區(qū)末端的距離為

L-S2=6.5m

三、勻減速運動物體追趕同方向的勻速運動的物體

例4：汽車正以10m/s的速度在平直的公路上前進(jìn)，突然發(fā)現(xiàn)正前方有一輛自行車以4m/s的速度做同方向的勻速直線運動，汽車立即關(guān)閉油門做加速度大小為6m/s2的勻減速運動，汽車恰好不碰上自行車，求關(guān)閉油門時汽車離自行車多遠(yuǎn)？

解析：汽車在關(guān)閉油門減速后的一段時間內(nèi)，其速度大于自行車的速度，因此汽車和自行車之間的距離在不斷縮小，當(dāng)這個距離縮小到零時，若汽車的速度減至與自行車相同，則能滿足題設(shè)的汽車恰好不碰上自行車的條件，所以本題要求的汽車關(guān)閉油門時離自行車的距離S，應(yīng)是汽車從關(guān)閉油門減速運動，直到速度與自行車速度相等時發(fā)生的位移S汽與自行車在這段時間內(nèi)發(fā)生的位移S自之差。

汽車減速到4m/s時發(fā)生的位移和運動的時間分別為：S汽=（V2汽-V2自）/2a

=（100-16）/2×6=7（m）

t=（V汽-V自）/a=（10-4）/6=1（s）。

這段時間內(nèi)自行車發(fā)生的位移：S自=V自t=4×1=4（m）

汽車關(guān)閉油門時離自行車的距離：

S=S汽-S自=7-4=3（m）。

四、兩物體都做勻加速運動的追及問題。

這類題目，往往是兩個物體的相距某一距離s如乙在前為a1初速度為零的勻加速運動，甲在后為a2，初速度為v0的勻加速。這類兩車相遇的問題比較復(fù)雜，其相遇的次數(shù)取決于a1、a2的關(guān)系。解決問題的思路是：由于兩車同時同向運動，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t

（1）當(dāng)a1v乙，由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次。

⑵當(dāng)a1=a2時，a1t=a2t，可得v甲=v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次。

⑶當(dāng)a1>a2時，a1t>a2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運動時間的增加而發(fā)生變化，剛開始a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以v甲>v乙；隨著時間的推移a1t和a2t相差越來越大，當(dāng)a1t-a2t=v0時v甲=v乙；接下來a1t-a2t>v0，則有v甲

例5：甲乙兩車相距x，同時相向運動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運動，試討論兩車在運動過程中相遇次數(shù)和加速度的關(guān)系。

解析：由于s甲=v0t+1/2×（a2）×t2，s乙=1/2×a1×t2相遇時有s甲-s乙=x

則v0t+1/2×（a2）×t2-1/2×a1×t2=x

1/2×（a1-a2）×t2-v0t+x=0

因為t=s/v0①

所以（1）當(dāng)a1

（2）當(dāng)a1=a2時，s甲-s乙=v0t+1/2×（a2）×t2-1/2×a1×t2=x

所以t=x/v0

t只有一個解則相遇一次。

（3）當(dāng)a1>a2時，若v20<2（a1-a2）x①式t有兩個正解，即相遇兩次。