二維隨機載荷作用下疲勞壽命的研究

藤瑞品 宋曉琳

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

二維隨機載荷作用下疲勞壽命的研究

藤瑞品 宋曉琳

湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙，410082

基于Goodman公式和Miner損傷定則，提出了一種考慮載荷均值影響的二維隨機載荷作用下疲勞壽命的計算方法。在此基礎上以幅值和均值均符合正態(tài)分布的隨機載荷為研究對象，推導出了其當量載荷的概率密度函數(shù)和等效載荷的數(shù)學模型，采用Gauss-Legendre求積公式進行積分運算，對該載荷作用下的疲勞壽命進行了研究。分析了等效載荷隨載荷均值和幅值不同分布參數(shù)變化而變化的規(guī)律，并與不考慮載荷均值的一維隨機載荷作用下的等效載荷進行了對比。研究結果表明：載荷均值μm的正負變化對等效載荷產(chǎn)生明顯的影響，負的μm導致等效載荷降低，甚至低于一維隨機載荷作用下的等效載荷；而正的μm會導致等效載荷迅速增大以至到遠大于一維隨機載荷作用的等效載荷；當μm=0時，二維隨機載荷則略高于一維隨機載荷作用的等效載荷。

二維隨機載荷;載荷均值;高斯分布;等效載荷;疲勞壽命

0 引言

在進行材料疲勞耐久性研究時，載荷的施加一般有兩種處理方法，一是施加循環(huán)載荷，二是施加隨機載荷。采用隨機載荷加載時由于考慮了載荷的統(tǒng)計特性，因此要比采用循環(huán)載荷加載更符合實際使用條件。

隨機載荷一般服從某種連續(xù)性的概率分布，例如正態(tài)分布、指數(shù)分布、對數(shù)正態(tài)分布、極值分布以及三參數(shù)威布爾分布等[1]。胡建軍等[2]針對載荷幅值為正態(tài)分布的情況研究了載荷比例系數(shù)和變差系數(shù)之間的關系，并以隨機載荷為輸入對齒輪的疲勞壽命進行了試驗研究。高孝旺[1]針對載荷幅值為威布爾分布的情況分析了三參數(shù)威布爾分布的三個參數(shù)對等效載荷、載荷比例系數(shù)的影響趨勢，以及載荷波動程度即變異系數(shù)對載荷比例系數(shù)的影響趨勢，對同均值條件下正態(tài)分布與三參數(shù)威布爾分布的等效載荷進行了對比。武瀅等[3]針對載荷幅值和均值都為隨機分布的情況，以聯(lián)合概率密度為基礎建立了疲勞壽命的分布預測模型。郭虎等[4]對汽車前橋載荷進行采集，得到包含幅值和均值的載荷譜，并對采用Goodman經(jīng)驗公式進行等效轉(zhuǎn)換后的等效載荷進行統(tǒng)計學分析，得出在各種路面下等效載荷的分布符合三參數(shù)威布爾分布的結論，并給出了分布參數(shù)。王正等[5]建立了應力幅值為隨機變量的隨機載荷作用下結構的疲勞壽命計算模型。陳欣等[6]對汽車傳動系統(tǒng)的載荷譜進行了研究，結果表明：傳動系的載荷幅值符合對數(shù)正態(tài)分布，均值符合正態(tài)分布，且二者相互獨立。

汽車在隨機載荷作用下工作時, 其載荷的均值與幅值都是隨機變化的,載荷均值的變化同樣會對零件的疲勞壽命造成較大影響。為了更準確地對零件的疲勞壽命進行預測，對載荷幅值和均值均為隨機變量的二維隨機載荷作用下的疲勞壽命進行深入研究是非常有必要的。

為了確定考慮載荷均值影響的隨機載荷的統(tǒng)計特性，文獻[4]首先將采集到的載荷幅值和載荷均值信息通過Goodman經(jīng)驗公式轉(zhuǎn)化為等效載荷，然后再對等效載荷進行統(tǒng)計學分析，從而得出等效載荷的統(tǒng)計特性。這種方法的優(yōu)點是由于不考慮載荷幅值和載荷均值各自的統(tǒng)計特性，因此不需進行復雜的概率計算；缺點是在當載荷幅值和均值各自服從一定的統(tǒng)計分布特性的情況下，采用該方法分析得出的等效載荷的統(tǒng)計分布規(guī)律不夠準確或不夠完整。

為了準確地得到等效載荷的統(tǒng)計分布規(guī)律，則必須對載荷幅值和均值各自的統(tǒng)計分布特性進行分析，得到載荷幅值和均值各自的統(tǒng)計分布規(guī)律，再通過幅值和均值的數(shù)學關系，根據(jù)概率理論來推算出等效載荷的統(tǒng)計分布規(guī)律。

1 二維隨機載荷作用下的疲勞壽命

1.1 二維隨機載荷作用下的Miner定則

目前在工程實際中，Miner累積疲勞損傷定則廣泛地應用于結構件在變幅載荷下疲勞壽命的預測中[7-9]，在隨機載荷作用下的Miner定則如下：

(1)

式中，D為材料的累積疲勞損傷;N為材料受到的循環(huán)載荷總數(shù)量；S為材料受到的載荷；f(S)為隨機載荷的概率密度函數(shù)；Nf為材料在載荷S作用下的疲勞壽命。

假設零件受到幅值為Sa、均值為Sm的循環(huán)載荷作用，可以把點(Sa，Sm)用等壽命曲線等效到對稱循環(huán)上，根據(jù)Goodman公式，當量載荷Seq的表達式[10]為

(2)

式中，σb為材料的拉伸強度。

根據(jù)對金屬材料疲勞性能曲線的研究[10]，對于整個中長壽命區(qū)，疲勞壽命和載荷之間的關系建議采用以下三參數(shù)經(jīng)驗公式:

Nf(S-S0)β=α

(3)

式中，S0、α、β均為待定常數(shù)。

文獻[11]提出的應力疲勞壽命公式為

Nf=Cf(Seq-(Seq)c)-2

(4)

式中，Cf、(Seq)c分別為疲勞抗力系數(shù)和用等效應力幅表示的理論疲勞極限，它們均為材料常數(shù)。

為了對式(4)進行驗證，文獻[12-13]以16Mn鋼和15MnVN鋼為對象進行了研究，測定了16Mn鋼和15MnVN鋼的拉伸性能，并測定了φ10 mm光滑試件疲勞壽命，進行了回歸分析，分析結果顯示采用式(4)來擬合低合金高強度鋼R=-1時的疲勞試驗結果是有效的[11]。

假設零件受到連續(xù)二維隨機載荷作用，其當量載荷的概率密度函數(shù)為f(Seq)，根據(jù)Miner準則，零件在受到載荷總循環(huán)數(shù)為N時的累積疲勞損傷為

(5)

式(5)即為基于Goodman公式的二維隨機載荷作用下的Miner定則的表達式。當D=1時，式(5)反求得到的N即為在隨機載荷作用下的疲勞壽命。

1.2 疲勞壽命的計算

基于二維隨機載荷作用下的Miner定則，疲勞壽命的計算方法如下：

(1)利用試驗采集載荷譜數(shù)據(jù)，通過統(tǒng)計學分析得出載荷幅值和均值的分布特性和概率密度函數(shù)。

(2)基于Goodman公式和概率統(tǒng)計理論推導當量載荷的概率密度函數(shù)f(Seq)。

(3)根據(jù)式(5)反求疲勞壽命，即

(6)

2 二維正態(tài)分布隨機載荷的當量載荷的概率密度函數(shù)

2.1 概率密度函數(shù)推導

根據(jù)式(2)，設Y=Sa，X=1-Sm/σb， 則Seq=Y/X。

當X服從正態(tài)分布，且X～N(μ,σ2)時,Y=AX+B同樣服從正態(tài)分布，且Y～N(Aμ+B,(Aσ)2)，據(jù)此可以得出X=1-Sm/σb～N(-μm/σb+1,(σm/σb)2)。

(7)

設Z=Seq，根據(jù)式(7)，其概率密度函數(shù)fZ(z)推導如下:

令

采用第一類換元法：

可得

設

則

根據(jù)函數(shù)e-at2的對稱性質(zhì)可知：

得出當量載荷Seq的概率密度函數(shù)fZ(z)為

(8)

2.2 概率密度函數(shù)性質(zhì)驗算

fZ(z)屬于不可積分函數(shù)，即其原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，采用數(shù)值分析的方法對其進行積分運算。

表1 分布參數(shù)取值

表2所示為部分計算結果。

2.3 函數(shù)圖形分析

圖1～圖4為不同μ1、σ1、μ2、σ2取值情況下的fZ(z)的函數(shù)圖形。

對圖1～圖4進行分析，可以得出以下結論。

(1)fZ(z)函數(shù)圖形形狀和正態(tài)分布函數(shù)形狀相似，主要為以下三點：①函數(shù)值具有峰值點，且z離峰值點越遠，函數(shù)值越??；②函數(shù)在峰值點兩側都有拐點；③曲線以水平軸為漸近線。

表2 部分驗算結果

圖1 μ1對fZ(z)的影響曲線Fig.1 fZ(z) curve under influence of μ1

圖2 σ1對fZ(z)的影響曲線Fig.2 fZ(z) curve under influence of σ1

圖3 μ2對fZ(z)的影響曲線Fig.3 fZ(z) curve under influence of μ2

圖4 σ2對fZ(z)的影響曲線Fig.4 fZ(z) curve under influence of σ2

(2)在其他三個參數(shù)不變的情況下，μ1減小、σ1、μ2、σ2增大使函數(shù)峰值減小，同時函數(shù)曲線形狀變平緩。

(3)μ2的增大使得峰值點向右移動，μ1和σ1的增大使峰值點向左移動，σ2的變化不改變峰值點位置。

3 疲勞壽命分析

3.1 等效載荷

從總的作用效果來看, 在隨機載荷與循環(huán)載荷兩類載荷作用下的最終結果都是導致構件的損傷狀態(tài)達到臨界值而發(fā)生失效[16],可以認為對應于某隨機載荷過程，一定存在一個與它等效的恒幅載荷，使得構件在相同的初始狀態(tài)下, 經(jīng)過相同的作用時間同時發(fā)生損壞。定義該恒幅載荷為隨機載荷的等效載荷，用SD表示。

根據(jù)式(4)和式(6)，并對于小于疲勞極限(Seq)c的載荷按照小載荷省略準則[7]進行省略處理，可推導出等效載荷的計算公式為

(9)

等效載荷和疲勞壽命的對應關系見式(4)，對疲勞壽命的研究可轉(zhuǎn)化為對等效載荷的研究。

3.2 分布參數(shù)對等效載荷的影響

以16Mn材料為例，針對不同的載荷分布參數(shù)μ1、σ1、μ2、σ2，對二維獨立正態(tài)隨機載荷的等效載荷進行分析計算。

在進行分析時，不允許材料在加載過程中出現(xiàn)等效載荷超過抗拉強度的情況，所以計算等效載荷時，取積分上限為材料的抗拉強度。同時計算當量載荷大于抗拉強度的概率，當隨機載荷發(fā)生1次大于抗拉強度的概率所對應的載荷樣本數(shù)量n小于所計算的等效載荷的疲勞強度所對應的循環(huán)次數(shù)時，以n做為該隨機載荷的疲勞強度，其對應的載荷作為等效載荷。低于疲勞極限的情況按疲勞極限處理。

根據(jù)相關文獻的研究結果[7]，16Mn的材料疲勞抗力系數(shù)Cf= 3.95×108，用當量應力幅表示的理論疲勞極限(Seq)c=261 MPa。以此數(shù)據(jù)為基礎對表1中不同分布參數(shù)下的等效載荷進行計算，并將μ2、σ2取值一樣時不考慮載荷均值影響下的一維隨機載荷作用下的等效載荷進行對比。在進行積分運算時，仍采用Gauss-Legendre求積公式。

表3為μ2和σ2為固定值(分別為210，40)、不同的μ1、σ1條件下等效載荷的計算結果。根據(jù)表3的計算結果可以得出：等效載荷的大小隨μ1增大而減小，隨σ1增大而增大。其他μ2和σ2情況下的分析可得出相同的結論。

對μ1<1，μ1=1，μ1>1(分別對應μm>0、μm=0、μm<0)三種情況進行分析，取μ1=0.75、μ1=1.00、μ1=1.25，并對應σ1=0.05和σ1=0.1兩種情況，分析結果見表4～表7，表8為不考慮載荷均值的一維隨機載荷作用下的等效載荷。

對表4～表7進行分析可以得到：

(1)等效載荷隨著μ2、σ2(σ、μ)的增大而增大。

(2)當μ1=1時，考慮載荷均值的二維隨機載荷和不考慮載荷均值的一維隨機載荷的等效載荷基本相當，前者比后者略大。

(3)當μ1=0.75時，隨著μ2、σ2的增大，二維隨機載荷的等效載荷迅速增大，直至遠大于一維隨機載荷的等效載荷。

(4)當μ1=1.25時，二維隨機載荷的等效載荷小于一維隨機載荷的等效載荷。

(5)對μ1為其他取值的分析情況與上述結果類似，當μ1>1時，二維隨機載荷的等效載荷減小直至小于一維隨機載荷的等效載荷，而當μ1<1時, 二維隨機載荷的等效載荷會迅速增大。

表3 不同μ1、σ1下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)(μ2=210，σ2=40)

表4 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)(μ1=0.75，σ1=0.05)

表5 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(μ1=1，σ1=0.05)

表6 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(μ1=1，σ1=0.1)

通過上述分析可知，μ1偏離1的正負方向?qū)Φ刃лd荷的影響非常大,其原因是：當μ1>1時實際上對應的載荷均值Sm的均值μm<0，而μ1<1對應的μm>0。根據(jù)式(2)，正的Sm值會使當量載荷增大，而負的Sm值則會對當量載荷起到減小的作用，從而導致了等效載荷對μ1偏離1的正負方向敏感。

3.3 疲勞壽命計算

在得出等效載荷后，根據(jù)式(4)計算疲勞壽命，計算結果一并列入了表3～表8。

表7 不同μ2、σ2下的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)(μ1=1.25，σ1=0.1)

表8 一維隨機載荷的等效載荷(MPa)和疲勞壽命(cycles)

4 結論

(1)基于Goodman公式和Miner累積損傷定則，提出了一種考慮載荷均值影響的二維隨機載荷作用下疲勞壽命的計算方法；在此基礎上對載荷均值和載荷幅值均符合正態(tài)分布、且相互獨立的二維隨機載荷的當量載荷的統(tǒng)計特性進行了分析，推導出了該二維隨機載荷的概率密度函數(shù)和等效載荷的數(shù)學模型。

(2)研究了二維獨立正態(tài)隨機載荷作用下的等效載荷的變化規(guī)律，并與一維隨機載荷的等效載荷進行了比較。研究結果表明，載荷均值對二維正態(tài)隨機載荷的等效載荷有較大的影響，在載荷均值Sm的均值μm<0時，等效載荷迅速減小甚至低于一維隨機載荷的等效載荷；當μm=0時，考慮載荷均值的等效載荷比不考慮載荷均值的等效載荷略高；當μm>0時，隨著μ2、σ2的增大，二維隨機載荷的等效載荷迅速增大，直至遠大于一維隨機載荷的等效載荷。

(3)研究表明，在服從正態(tài)分布的二維隨機載荷的幅值和均值的分布特性為已知的情況下，采用統(tǒng)計學方法對疲勞壽命進行分析和預測是可行的。該方法也適用于幅值和均值服從其他分布的二維隨機載荷，如威布爾分布、對數(shù)正態(tài)分布等。

[1] 高孝旺.隨機載荷呈威布爾分布的齒輪彎曲疲勞強度的研究[D].重慶：重慶理工大學，2009.

GAO Xiaowang. A Study of Gear Bending Fatigue Strength under Random Load in Compliance withWeibull Distribution[D]. Chongqing: Chongqing University of Technology, 2009.

[2] 胡建軍，許洪斌，祖世華,等.服從正態(tài)分布隨機載荷作用下齒輪彎曲疲勞試驗研究[J].中國機械工程，2013,24(12):1572-1575.

HU Jianjun, XU Hongbin, ZU Shihua, et al. Experimental Study of Gear Bending Fatigue Strength under Random Load with Gaussian Normal Distribution[J]. China Mechanical Engineering, 2013,24(12):1572-1575.

[3] 武瀅,謝里陽.隨機載荷作用下疲勞壽命分布預測模型[J].工程設計學報,2010,17(6):435-438.

WU Ying, XIE Liyang. Prediction on Probability Distribution of Fatigue Life under Spectrum Loading[J]. Journal of Engineering Design, 2010, 17(6):435-438 .

[4] 郭虎，陳文華，樊曉燕.汽車試驗場可靠性試驗強化系數(shù)的研究[J].機械工程學報，2004,40(10)：73-76.

GUO Hu, CHEN Wenhua, FAN Xiaoyan. Reseachof Enhancement Coefficient of Automobile Reliability Enhancement Test on Proving Ground[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2004, 40(10)：73-76.

[5] 王正，王增全，何洪.隨機載荷循環(huán)作用下的機械結構疲勞壽命預測模型[J]. 中國機械工程， 2012,23(1):98-101.

WANG Zheng, WANG Zengquan, HE Hong. Predicting Model for Fatigue Life of Mechanical Structures under Random Cyclic Loads[J]. China Mechanical Engineering, 2012,23(1):98-101.

[6] 陳欣，項昌樂，鄭慕僑.車輛傳動系多工況隨機載荷譜的統(tǒng)計處理方法[J].汽車工程，1999,21(4)：232-237.

CHEN Xin, XIANG Changle, ZHENG Muqiao. Statistical Methods for Random Load Spectrum of Vehicle Transmission under Multiple Working Conditions[J]. Automotive Engineering, 1999,21(4)：232-237.

[7] SCHIJVE J. Fatigue of Structures and Materials[M]. Boston: Kluwer Academic Publishers， 2001.

[8] 姚衛(wèi)星.結構疲勞壽命分析[M].北京：國防工業(yè)出版社，2003.

YAO Weixing. Constructure Fatigue Life Analysis[M]. Beijing: National Defence Industry Press, 2003.

[9] SURESH S. Fatigue of Materials[M]. 2nd ed. Cambridg: Cambridge University Press，1998.

[10] 徐灝.概率疲勞[M].沈陽：東北大學出版社，1993.

XU Hao.Probability Fatigue[M]. Shenyang: Dongbei University Press,1993.

[11] 鄭修麟，王泓，鄢君輝，等.材料疲勞理論與工程應用[M].北京：科學出版社，2013.

ZHENG Xiulin, WANG Hong, YAN Junhui, et al. Material Fatigue Theory and Engineering Application[M]. Beijing: Science Press, 2013.

[12] 鄭修麟. 金屬疲勞的定量理論[M]. 西安：西北工業(yè)大學出版社，1994.

ZHENG Xiulin. Quantitative Theory of Metal Material [M]. Xi’an: Northwest Polytechnical University Press, 1994.

[13] 鄭修麟，凌超，呂寶桐，等. 低碳低合金鋼及焊接件的壽命估算[J]. 機械強度，1993，15(3)：70-75.

ZHENG Xiulin, LING Chao, LYU Baotong, et al. Life Pridiction of Low Carbon Low Alloy Steels and Welded Elements[J]. Journal of Mechanical Strength, 1993，15(3)： 70-75.

[14] 盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

SHENG Zhou, XIE Shiqian, PAN Chengyi. Probability Theory and Mathematical Statistics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2008.

[15] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].北京:清華大學出版社，2008.

LI Qingyang, WANG Nengchao, YI Dayi. Numerical Analysis[M]. Bejing: Tsinghua University Press, 2008.

[16] 張立民.循環(huán)加載與隨機加載對疲勞損傷等效性的研究[J].強度與環(huán)境，1997(3)，9-10.

ZHANG Limin. Study of Equivalent about Fatigue Damage under Cyclic and Random Load[J]. Structure & Environment Engineering,1997(3)， 9-10.

ResearchonFatigueLifeunderTwoDemensionRandomStresses

TENG Ruipin SONG Xiaolin

State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body,Hunan University,Changsha,410082

Based on Goodman formula and Miner damage rule, a calculation method of fatigue life was presented under two dimension random stresses considering influences of mean stress. The mathematical models of the probability density function of equivalent stress and the equivalent stress of two dimension random stress were deduced whose mean stress and stress amplitude followed Gaussian distribution. By integrating with Gauss-Legendre integration formula, the fatigue life was studied under the stress. The change regulations of the equivalent stress with the change of the distribution parameters of mean stress and stress amplitude were analyzed. The equivalent stress was compared with that under one dimension random stress not considering influences of mean stress. The results show: with positive and negative direction changing of the mean values of mean stress“μm”, the equivalent stress will be influenced obviously. Negativeμmwill result in equivalent stress reduction, even less than it under one dimension conditions. Positiveμmwill result in rapidly increase of equivalent stress, even greater than it under one dimension conditions. Whenμm=0, the equivalent stress under two dimension is a little more than it under one dimension conditions.

two dimension random stress； mean stress； Gaussian distribution； equivalent stress； fatigue life

2017-01-05

TH12;U46

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.019

(編輯王艷麗)

藤瑞品，男，1974年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室博士研究生，高級工程師。研究方向為汽車疲勞耐久和可靠性。發(fā)表論文2篇。E-mail:trpll@163.com。宋曉琳，女，1965年生。湖南大學汽車車身先進設計制造國家重點實驗室教授、博士研究生導師。