基于向量組的動靜平臺幾何裝配條件自動分析與綜合方法

謝冬福 羅玉峰，2 石志新 彭艷藍

1.南昌大學機電工程學院, 南昌，3300312.華東交通大學機電與車輛工程學院，南昌，330013

基于向量組的動靜平臺幾何裝配條件自動分析與綜合方法

謝冬福1羅玉峰1，2石志新1彭艷藍1

1.南昌大學機電工程學院, 南昌，3300312.華東交通大學機電與車輛工程學院，南昌，330013

基于方位特征集理論，提出了一種基于向量組的動靜平臺幾何裝配條件自動分析與綜合方法，給出了其主要步驟和流程圖。實例分析表明：在并聯機構拓撲結構設計過程中，提出的自動分析與綜合方法可綜合出更多的機構，且綜合出的機構更具一般性；在并聯機構拓撲結構分析與綜合過程中，所提出的方法減少了對設計者人為經驗、靈感等因素的依賴，提高了并聯機構拓撲結構綜合的效率，方便計算機對機械系統進行自動分析與綜合。

并聯機器人；自動分析與綜合；向量組；幾何裝配條件

0 引言

機器人機構的拓撲結構創(chuàng)新設計理論與方法研究已成為國際機構學界的熱點[1]。并聯機構型綜合主要有三種方法:基于螺旋理論的方法、基于位移子群的方法和基于方位特征(position and orientation characteristics，POC)集的方法[2-5]?；赑OC集的方法具有運算規(guī)則少、數學方法簡單、能得到非瞬時機構和非瞬時自由度等特點[5]。現代機構學的最高任務是發(fā)明新機構，因此需要開拓以功能為導向、實現特定性能的新機構的發(fā)明途徑，發(fā)展專一、高效、高選擇性的機構創(chuàng)新設計方法[4]。但長期以來，機構發(fā)明主要依靠設計者的經驗、靈感、知識和直覺等，這就使得新機構的發(fā)明變得非常困難，因此，找到一種既能減少對設計者經驗、直覺等的依賴又高效的拓撲結構設計方法具有重要意義。將拓撲結構設計過程用計算機來完成，實現程序化操作，能夠解決上述問題。BELFIORE等[6]研究了平面運動鏈的計算機程序自動算法；MRUTHYUNJAYA等[7]借助關聯矩陣等計算機輔助技術對平面機構的數字化構型綜合進行了研究；WANG等[8]提出了一種計算機符號化的機械系統概念設計方法；HWANG等[9]研究了單鉸鏈平面機構的數字化構型綜合；SAURA等[10]提出了一種含低副和高副的平面機構計算機程序化構型綜合方法；DING等[11-12]系統地研究了平面機構的數字化構型綜合理論并建立了多種平面機構的構型圖譜庫；曹文熬[13]基于螺旋理論研究了空間多環(huán)耦合機構數字化構型綜合問題；廖明等[14-15]借助計算機輔助技術研究了并聯機構的符號化描述。縱觀近幾十年來的文獻不難發(fā)現，平面機構的數字化構型綜合已取得較大的進展，但對空間機構的數字化構型綜合的研究還較少。

目前，并聯機構的型綜合主要還是手動綜合，通過枚舉法一一列舉出來，綜合的機構一般較為簡單；當機構較為復雜時，手動綜合容易出錯，效率較低，并且綜合的機構不易保存。本文基于POC集方法，借助向量組的思想，對并聯機構拓撲結構設計的部分過程進行程序化設計，以方便計算機對機械系統進行自動分析與綜合。

1 理論基礎

1.1 并聯機構拓撲結構設計的理論基礎

(1)POC集的內涵。POC集用于描述機構任意兩個構件相對運動的方向和位置特征，實質上是描述機構自由度(DOF)數目、類型和方向特征的集合。POC集可定義為

(1)

式中，Mij為構件i相對于構件j的POC集；t表示 獨立移動元素；r表示獨立轉動元素；(dir.)表示移動元素(轉動元素)的方向向量組；p為獨立移動元素的個數，即其后方向向量組(dir.)的秩(p=0，1，2，3)；q為 獨立轉動元素的個數，即其后方向向量組(dir.)的秩(q=0，1，2，3)。

當p=0(或q=0)時，無需標明方向，記為t0(或r0)；當p=3(或q=3)時，在三維空間已滿秩，方向為任意，無需標明方向，記為t3(或r3)；p與q的和即為機構的自由度數。

(2)串聯機構的POC方程為

(2)

式中，MS為串聯機構末端構件的POC集;MJi為第i個運動副的POC集(對末端構件上的同一個基點而言)；m為運動副數目；MSj為第j個子單開鏈(SOC)的POC集(對末端構件上的同一個基點而言)。

(3)并聯機構的POC方程為

(3)

式中，MPa為并聯機構動平臺的POC集；υ為機構獨立回路數；Mbj為當其他支路不存在時，第j條SOC支路末端構件的POC集(所有支路的POC集對動平臺的同一個基點而言)。

(4) 并聯機構的自由度為

(4)

式中，fi為第i個運動副的自由度；ξLj為第j個獨立回路的獨立位移方程數。

(5)支路的POC集。由并聯機構POC方程(式(3))可知，支路的POC集應為

Mbi?MPai=1，2，…,υ+1

(5)

(6)支路在動靜平臺裝配的基本原理。由Mbi?MPa(式(5))可知，如果由i條支路組成的子并聯機構的POC集MPa(1-i)仍然含有MPa所不含有的元素，則裝配的第i+1條支路的POC集Mb(i+1)與MPa(1-i)的交運算應至少約束掉MPa(1-i)的一個元素，且該元素是MPa所不包含的。

1.2 并聯機構拓撲結構設計的一般過程

這里只給出主要步驟，詳細步驟見文獻[5]。

(1)給定并聯機構動平臺的POC集MPa。

(2)確定支路結構類型。基于串聯機構POC方程(式(2))與并聯機構POC方程(式(3))，設計簡單支路(SOC)和復雜支路(HSOC)的拓撲結構類型。

(3)確定支路的組合方案。已知并聯機構的SOC支路和HSOC支路的機構類型以及支路數目，可確定支路組合方案。

(4) 確定支路在動靜平臺裝配的幾何條件。已知支路結構類型和支路組合方案，以實現并聯機構動平臺POC集為目標，基于并聯機構POC方程(式(3))和支路在動靜平臺裝配的基本原理，可確定支路在動靜平臺裝配的幾何條件。

(5) 檢驗自由度?；谧杂啥裙?式(4))，檢驗機構的自由度是否滿足設計要求。

(6) 確定機構的消極運動副?；谙麡O運動副判定準則[5]，判定機構的消極運動副。如果存在消極運動副，則刪除之，并且還需要檢驗并聯機構動平臺的POC集是否滿足設計要求。

(7) 確定機構的驅動副?；隍寗痈迸卸蕜t[5]，確定并聯機構的驅動副。

(8) 確定并聯機構的拓撲結構。由以上步驟的結果，可確定并聯機構的拓撲結構，包括：①支路拓撲結構與支路組合方案；②動平臺的拓撲結構；③定平臺的拓撲結構；④驅動副的位置。

(9) 進行并聯機構拓撲結構類型的特性分析：①基于基本運動鏈(BKC)判定方法[5]，確定并聯機構(已知驅動副)包含的BKC類型及其耦合度；②基于自由度類型判定準則[5]，確定機構的自由度類型；③基于機構的輸入輸出解耦原理[5]，確定機構運動的輸入輸出解耦性；④確定機構的拓撲結構特征，為優(yōu)選結構類型提供依據。

并聯機構拓撲結構設計的一般過程主要包括上述9個步驟，目前拓撲結構設計的這9個步驟主要依賴于人的經驗和靈感，由操作者手工完成，使得綜合效率較低，且綜合出來的機構類型有限。為解決這些問題，可將拓撲結構設計的9個步驟逐步用計算機來操作，最終實現并聯機構拓撲結構設計過程的程序化。這樣不僅可以減少對設計者人為經驗和靈感等因素的依賴，而且可以提高綜合效率，得到更多的新機構。

2 基于向量組的動靜平臺幾何裝配條件自動分析與綜合

確定支路在動靜平臺進行裝配的幾何條件是并聯機構拓撲結構設計的關鍵步驟之一。本文對基于POC集的并聯機器人拓撲結構設計[5]的一般步驟中的第4步進行改進，使其能進行程序化設計。在并聯機構拓撲結構綜合中，給定動平臺的POC集，需要確定支路類型及支路在動靜平臺上的幾何裝配條件；在并聯機構拓撲結構分析中，給定支路類型、支路組合方案及支路在動靜平臺的幾何裝配條件，可以得到動平臺的POC集。在確定支路在動靜平臺裝配的幾何條件時，文獻[5]是將支路兩兩相交，通過窮舉法得出動靜平臺上裝配的幾何條件，此方法效率較低，而且容易出錯，故本文提出一種改進方法。由1.1節(jié)知，串聯機構的POC方程是將若干運動副(或若干SOC)的POC集相“并”(“∪” ),實質是將若干表示方向的子向量集相“并”,而“并”的實質是增加新元素，若后一向量集中的元素與前一向量集中的元素相關，則方向向量組中向量不變，秩也不變；若后一向量集中的元素與前一向量集中的元素不相關，則方向向量組中增加一個新向量，秩增加1，直到秩為3為止；并聯機構的POC方程是將若干支路的POC集相“交”(“∩” ),實質是將若干表示方向的子向量集相“交”,而“交”的實質是求共同元素。所以求機構的POC集的過程實質上是求由若干子向量組所組成的新向量組的最大無關組的過程。改進方法是：基于線性代數中最大線性無關向量組的思想，在確定平臺裝配的幾何條件時將多條支路求交問題轉換為求最大線性無關向量組問題，此方法在下文簡稱最大無關組求交法。判斷向量之間的相關性以及求最大無關組問題在數學上已有相關程序可以解決，因此，用此方法對動靜平臺的幾何裝配條件進行自動分析與綜合是可行的。

2.1 并聯機構POC方程的運算規(guī)則

2.1.1移動元素之間的“交”運算規(guī)則

令t1(∥li)表示平行于方向向量li的一個獨立移動元素，t2(⊥nj)表示垂直于方向向量nj的兩個獨立移動元素，其中i,j=1,2,…,n(n為支路數)。由于t3已滿秩，故方向為任意，無需標明方向。于是，并聯機構多條支路的求交問題就可轉換為由若干方向向量li(或nj)所組成的向量組的最大無關組問題。

并聯機構多條支路移動元素的求交運算規(guī)則主要包括如下幾種情況：

(1)當所有支路均為只有一個獨立移動元素的支路時，并聯機構多條支路移動元素的交為

(6)

式中，r(L)表示由若干方向向量li組成的向量組的秩。

(2)當所有支路均為只有兩個獨立移動元素的支路時，并聯機構多條支路移動元素的交為

(7)

式中，t1(⊥◇(nj,nk))表示垂直于由向量nj、nk張成的平面的一個獨立移動元素(j，k=1,2，…，n且j≠k)；r(N)表示由若干方向向量nj組成的向量組的秩。

(3)當支路為有一個獨立移動元素的支路和兩個獨立移動元素的支路時，并聯機構多條支路移動元素的交為

(8)

式(8)中，當li·nj=0時，r(N)=1或r(N)=2；由于t3已滿秩，所以當存在三個獨立移動元素的支路時，方向為任意。

2.1.2轉動元素之間的“交”運算規(guī)則

同理，令r1(∥li)表示平行于方向向量li的一個獨立轉動元素，r2(⊥nj)表示垂直于方向向量nj的兩個獨立轉動元素(nj為兩轉動副軸線張成平面的法向量)，可得到并聯機構多條支路轉動元素的求交運算規(guī)則如下：

(1)當所有支路均為只有一個獨立轉動元素的支路時，并聯機構多條支路轉動元素的交為

(9)

(2)當所有支路均為只有兩個獨立轉動元素的支路時，并聯機構多條支路轉動元素的交為

(10)

式中，r1(⊥◇(nj,nk))表示垂直于由向量nj、nk張成的平面的一個獨立轉動元素。

(3)當支路為有一個獨立轉動元素的支路和兩個獨立轉動元素的支路時，并聯機構多條支路轉動元素的交為

(11)

同理，與移動元素之間的“交”運算規(guī)則類似，由于r3已滿秩，所以當存在三個獨立轉動元素的支路時，方向也為任意。并聯機構的交運算規(guī)則是移動元素與移動元素相交，轉動元素與轉動元素相交，并未考慮移動元素相交后對轉動元素(轉動元素相交后對移動元素)的影響，故本文在計算移動元素交運算時，假定轉動為r3；在計算轉動元素交運算時，假定移動為t3。

2.2 基于向量組的動靜平臺幾何裝配條件自動分析

2.2.1自動分析的一般過程

以并聯機構(PM)支路在動靜平臺間幾何裝配條件為出發(fā)點，已知支路類型及組合方案，求并聯機構動平臺的POC集的過程稱為并聯機構支路在動靜平臺間幾何裝配條件的自動分析，其一般過程如圖1所示(圖中POC(PM)表示并聯機構(PM)的方位特征集(POC))，主要步驟如下：

圖1 動靜平臺上的幾何裝配條件自動分析流程Fig.1 Automatic analysis flow chart of geometric assembly conditions on a moving and fixed platform

(1)輸入支路組合方案。支路組合方案為p個t1(∥li)支路，q個t2(⊥nj)支路，k個t3支路。

(2) 判定支路組合方案屬于哪種支路組合類型。

定義1 稱含t1(∥li)(p>0)支路和t2(⊥nj)(q>0)支路(可含有t3支路)的組合方案為支路組合類型一。

定義2 稱不含t1(∥li)(p=0)支路而含t2(⊥nj)(q>0)支路(可含有t3支路)的組合方案為支路組合類型二。

定義3 稱含t1(∥li)(p>0)支路而不含t2(⊥nj)(q=0)支路(可含有t3支路)的組合方案為支路組合類型三。

由于t3已滿秩，支路全為t3支路時，并聯機構動平臺POC集均為t3。

(3)確定方向向量組的秩。根據并聯機構支路在動靜平臺間的幾何裝配條件，由計算機自動判定方向向量組的秩。若為支路組合類型一，則在確定方向向量組的秩之后，還需判定兩向量組中的向量是否相互垂直來確定動平臺POC集合，即判定li·nj=0是否成立。

(4)根據并聯機構POC方程的運算規(guī)則確定并聯機構動平臺的POC集。

(5) 輸出并聯機構動平臺的POC集。

轉動元素的支路在動靜平臺間幾何裝配條件的自動分析一般過程與移動元素情況相同，不再贅述。

2.2.2實例分析

圖2 機構簡圖及矢量方向(實例1)Fig.2 Mechanism diagram and vector direction (example 1)

(1)確定支路末端構件的POC集。取Ri4副與Ri5副兩軸線的交點為基點，則支路末端構件的POC集為

其中，Ri1表示沿Ri1軸線方向的方向矢量。

(2)確定動平臺的POC集。①輸入支路組合方案：p=0，q=4，k=0。② 判定支路組合方案屬于哪種支路組合類型，由步驟①知，支路只含t2(⊥nj)支路，不含t1(∥li)支路，故此組合方案屬于組合類型二。這里nj=Ri1,i=j。③確定方向向量組的秩。根據并聯機構支路在動靜平臺間幾何裝配條件：靜平臺上R11∥R31⊥R21∥R41，由計算機自動得出方向向量組N=(n1,n2,n3,n4)T的秩r(N)=2。④ 確定并聯機構動平臺的POC集。由步驟③知，方向向量組的秩為r(N)=2，根據并聯機構POC方程的運算規(guī)則(式(7))知，并聯機構動平臺移動元素的POC集為[t1(⊥◇(n1,n4))]，每條支路均為r3，故動平臺轉動元素的POC集為[r3]。⑤ 輸出并聯機構動平臺的POC集：

該自動分析方法同樣適用于其余兩種情況，即p>0且q>0和p>0且q=0的情況，此處不再贅述。

2.3 基于向量組的動靜平臺幾何裝配條件自動綜合

2.3.1自動綜合的一般過程

以并聯機構動平臺的POC集為出發(fā)點，已知支路類型及組合方案，求并聯機構支路在動靜平臺間幾何裝配條件的過程稱為并聯機構支路在動靜平臺間幾何裝配條件的自動綜合。其一般過程如圖3所示，主要步驟如下：

圖3 動靜平臺上的幾何裝配條件自動綜合流程Fig.3 Automatic synthesis flow chart of geometric assembly conditions on a moving and fixed platform

(1)同2.2.1節(jié)步驟(1)。

(2)同2.2.1節(jié)步驟(2)。由于t3已滿秩，故支路全為t3支路時，支路幾何裝配條件為任意。

(3)根據并聯機構POC方程的運算規(guī)則，并結合并聯機構動平臺POC集確定方向向量組的秩。

(5) 根據步驟(3)所得的向量組的秩和步驟(4)所得的向量組的一組基確定動靜平臺間的幾何裝配條件。

(6)輸出幾何裝配條件。

轉動元素的支路在動靜平臺間幾何裝配條件的自動綜合的一般過程與移動元素情況相同，不再贅述。

2.3.2實例分析

例2 已知并聯機構的支路組合方案為

為使動平臺的POC集為一個獨立移動元素和三個獨立轉動元素，試確定動靜平臺上的幾何裝配條件。具體步驟如下：

(1)確定支路末端構件的POC集。由例1知，3條相同支路末端構件的POC集為

另一條支路末端的POC集為

其中，P41表示沿P41軸線方向的方向矢量。

a. P41⊥R31∥R21∥R11。

⑥輸出步驟⑤中的三類幾何裝配條件。

(3)確定支路在動平臺裝配的幾何條件。由轉動元素之間的“交”運算規(guī)則知，當支路全為三個獨立轉動元素的支路時，并聯機構多條支路轉動元素的交在任何幾何裝配條件下仍然為r3，故在此種情況下不需要考慮支路在動平臺的幾何裝配條件(此處取8個轉動副的8條軸線相交于同一點O′)。

由上述已知條件可繪制出機構簡圖，分別如圖4a～圖4c所示。該自動綜合方法同樣適用于其余兩種情況，即p=0且q>0、p>0且q=0的情況，不再贅述。

(a)R31∥R21∥R11

(b)R31∥R11R21

(c)R31、R21、R11三者均不平行圖4 機構簡圖及矢量方向(實例2)Fig.4 Mechanism diagram and vector direction (example 2)

3 結論

(1)基于方位特征集理論，在并聯機構動靜平臺幾何裝配條件的分析與綜合中，提出了一種基于最大線性無關組的自動分析與綜合方法。

(2)在并聯機構拓撲結構綜合中，所提方法可綜合出更多的機構，且綜合出的機構更具一般性。

(3)所提方法不僅適用于含P副和R副的無過約束和一般過約束機構，同樣適用于有球鉸和螺旋副等空間運動副的機構構型綜合。

(4)在并聯機構拓撲結構分析與綜合時，所提方法減小了對人為經驗、靈感等因素的依賴，提高了并聯機構拓撲結構分析與綜合的效率，為后續(xù)計算機對機械系統進行自動化分析與綜合提供了依據。

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AutomaticAnalysisandSynthesisMethodforGeometricAssemblyConditionsofMovingandFixedPlatformsBasedonVectorSets

XIE Dongfu1LUO Yufeng1,2SHI Zhixin1PENG Yanlan1

1.School of Mechanical and Electrical Engineering，Nanchang University,Nanchang,330031 2.School of Mechanical and Vehicular Engineering，East China Jiaotong University,Nanchang,330013

Based on the theory of position and orientation characteristics sets, an automatic analysis and synthesis method for geometric assembly conditions of moving and fixed platforms was proposed based on vector sets, and the main steps and flow charts were given. The example analyses show that the automatic analysis and synthesis method proposed in the processes of topology design of parallel mechanisms may synthesize more mechanisms, and the integrated mechanism is more general. In the processes of topology analysis and synthesis of parallel mechanisms, the proposed method reduces the dependence on designer’s human experiences, inspiration and other factors, improves the efficiency of topology synthesis of parallel mechanisms, and facilitates the automatic analysis and synthesis of mechanical systems by computer.

parallel robot; automatic analysis and synthesis; vector set; geometric assembly condition

2016-08-09

國家自然科學基金資助項目(51365036);南昌大學研究生創(chuàng)新專項基金資助項目(CX2015060)

TH112

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.24.010

(編輯蘇衛(wèi)國)

謝冬福，男，1989年生。南昌大學機電工程學院博士研究生。主要研究方向為機器人機構學、智能農業(yè)設備。E-mail: xdfncu@163.com。羅玉峰，男，1960年生。南昌大學機電工程學院教授、博士研究生導師，華東交通大學機電與車輛工程學院教授、博士研究生導師。石志新(通信作者)，男，1979年生。南昌大學機電工程學院副教授、碩士研究生導師。E-mail:shizhixin@ncu.edu.cn。彭艷藍，女，1993年生。南昌大學機電工程學院碩士研究生。