淺談數(shù)學(xué)教學(xué)對學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)

羅文波

摘要：我深切地體會到，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對一些數(shù)學(xué)命題，應(yīng)積極引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生去將命題中條件或結(jié)論進行延伸、拓展、知識鏈疊加。從而使學(xué)生去發(fā)現(xiàn)探索，在探索過程中，獲得新的認知和技能。同時，要以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力為重點，在“全面發(fā)展”上做文章，在創(chuàng)新學(xué)習(xí)，開發(fā)學(xué)生的個體潛能上下工夫，達到培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和解決實際問題的能力，激發(fā)創(chuàng)新精神。

關(guān)鍵詞：探討；創(chuàng)新；猜想；標新立異；開放型

“發(fā)散思維是指從同一信息源出發(fā)，運用已掌握的知識進行放射性聯(lián)想、思考、分解、組合、引申、推廣，使思維朝著各個方向展開，從多渠道尋求問題解答的一種思維形式?！睂W(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，發(fā)散思維表現(xiàn)為依據(jù)定義、定理、公式和題設(shè)條件，思維朝著各種可能的方向擴散前進，不局限于既定的模式，從不同的角度尋找解決問題的各種可能的途徑。

隨著素質(zhì)教育的深入發(fā)展，課程改革的興起，全國各類中考試題中開放性探索性命題如雨后春筍般涌現(xiàn)，為在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)散思維的培養(yǎng)注入了活力，指明了方向。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認為，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的核心是“創(chuàng)新學(xué)習(xí)”，培養(yǎng)學(xué)生“主動探索與研究精神”以及解決實際問題的能力扣創(chuàng)新能力。據(jù)現(xiàn)代心理學(xué)家的見解，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，探究精神、創(chuàng)新能力的大小和他們的發(fā)散思維能力成正比例?？捎萌缦鹿焦浪悖簞?chuàng)新能力=磨合的知識總量×發(fā)散思維能力。因此，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，加強發(fā)散思維能力的訓(xùn)練，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造思維的重要環(huán)節(jié)。本文就如何培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力淺談一點體會。

一、 訓(xùn)練學(xué)生對同一條件，聯(lián)想到多種結(jié)論的發(fā)散思維能力

例1如圖，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，點F是CD的中點，（1）求證：AF⊥CD；（2）在你連接BE后，還能得出什么新的結(jié)論？請最少寫出四個（不要求證明）。

分析：本題是一道充分揭示思維的廣度和深度的開放性習(xí)題。特別是第（2）問，展現(xiàn)給學(xué)生的是已知條件確定后，沒有固定的結(jié)論，而是讓學(xué)生自己盡可能多地去確定未知結(jié)論。使各種不同層次的學(xué)生都得到了有效的嘗試，符合“讓每一位學(xué)生都得到發(fā)展”的課改精神。學(xué)生的結(jié)論各異，反映了學(xué)生思維水平的不同。這里結(jié)合學(xué)生給出的答案列出七個結(jié)論：

①BE∥CD；②AF⊥BE且平分BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCD=∠EDC；⑤五邊形ABCDE是以直線AF為對稱軸的軸對稱圖形；⑥AF平分∠BAE；⑦S四邊形ABCF=S四邊形AEDF。

二、 訓(xùn)練學(xué)生對同一結(jié)論，聯(lián)想到多種條件的發(fā)散思維能力

例2點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有多少條？

分析：該題是將相似三角形的幾個判定方法磨合成一道動靜相宜的創(chuàng)新習(xí)題。展示給學(xué)生的是：問題的結(jié)論已經(jīng)確定，要讓學(xué)生盡可能去變化已知條件，進而從不同的角度，用不同的知識來解答問題。這樣既可以充分揭示數(shù)學(xué)問題的層次，又可以充分暴露學(xué)生自身的發(fā)散思維的層次，激活他們思維的敏捷性和靈活性。綜合學(xué)生的答案得：滿足這樣條件的直線最多有四條。

①如圖1，過點P作直線PD∥BC；

②如圖1，過點P作直線PE∥AC；

已知①、②應(yīng)用相似三角形的判定定理3證明△APD∽△ABC；△BPE∽△BAC；

③如圖2，經(jīng)過P點作直線PE，使∠AEP=∠B；

④如圖2，經(jīng)過P點作直線PF，使∠BFP=∠A。

已知③、④應(yīng)用相似三角形的判定定理1、2證明△AEP∽△ABC，△BPF∽△BCA。

圖1

圖2

三、 訓(xùn)練學(xué)生對圖形的發(fā)散思維能力

例3已知：如圖（1），點C為線段AB上一點，△ACM、△CBN是等邊三角形，求證：AN=BM。

圖（1）

說明及要求：

圖（2）

（1） 將△ACM繞C點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°，使A點落在CB上。請對照原題在圖（2）中畫出符合要求的圖形；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2） 在（1）所得到的圖形中，結(jié)論“AN=BM”是否還成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（3） 在（1）所得到的圖形中，若MA的延長線與BN相交于D點，試判斷△ABD與四邊形MDNC的形狀，并證明你的結(jié)論。

分析：該題將圖形中某些元素的位置關(guān)系進行了變化，從而產(chǎn)生了一系列新的圖形。學(xué)生從中不僅了解了幾何圖形的演變過程，還可以舉一反三，觸類旁通。同時學(xué)生還通過圖形的演變過程了解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，探究出特殊與一般之間的關(guān)系。這樣培養(yǎng)，學(xué)生認為“像是自己出題自己去解答，有一種輕松感”。連基礎(chǔ)較差的學(xué)生，也能試一試。（解答略）

四、 一題多解，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新發(fā)散思維能力

例4已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD切⊙O于D，DE⊥AB于點E。求證：∠EDB=∠CDB。

分析：本題引導(dǎo)學(xué)生進行一題多解，不僅可以開闊學(xué)生的眼界，加深知識的縱橫聯(lián)系；還可以由淺入深，由此及彼探尋解題途徑，培養(yǎng)學(xué)生綜合運用知識的能力。更重要的是引導(dǎo)了學(xué)生對不同的解法進行比較，找出最簡便的解法。使學(xué)生的探求精神，發(fā)散思維能力向更高境界發(fā)展。

證法一：如圖，連接AD，則AD⊥DB，又由CD是切線，有∠BDC=∠A，在Rt△ADB中，∵DE⊥AB，∴∠EDB=∠A=∠BDC；

證法二：如圖，連接OD，則∠ODB=∠OBD?！逤D是切線，∴∠CDB+∠ODB=∠EDB+∠OBD=90°，于是：∠EDB=∠CDB；

證法三：如圖，延長DE交⊙O于F，連接FB，∵DE⊥AB，AB是直徑，∴EF=DE，則△DFB是等腰三角形，∴∠EDB=∠F，∴CD是切線，∴∠BDC=∠F=∠EDB；

證法四：如圖，作BG⊥AB交CD于G，則BG是⊙O的切線，∵DE⊥AB，

∴BG∥DE，即∠EDB=∠DBG，∵BG=DG，∴∠BDC=∠DBG=∠EDB：

證法五：如圖，作BM⊥CD于M，∵CD是切線，∴OD⊥CD，則BM∥OD，即∠DBM=∠ODB=∠OBD，∵DB=DB，∠DEB=90°=∠DMB，∴△DBE≌△DBM，∴∠EDB=∠BDC。

五、 培養(yǎng)學(xué)生引申或推廣命題的發(fā)散思維能力

一個命題，如果僅僅孤立的去解決它，那么解決得再好，充其量只不過是解決一個問題；如果能對它深入分析研究，加以拓廣，從而得到新的結(jié)論，那么就可解決一類問題，達到舉一反三的目的。

還是以例3為例，將題設(shè)延伸，結(jié)論疊加展現(xiàn)在學(xué)生面前的不是單純知識的重復(fù)，而是立意新穎，知識鏈加長，充滿活力的一道道習(xí)題。

若AC=2，CB=3。（1）試判定△GCE的形狀；（2）證明GE∥AB；（3）求∠AOB的度數(shù)；（4）證明∠CAN=∠CMB；（5）證明AG·BF=NE·ME；（6）求△MCE與△BNE的面積的比值。

綜上所述，我深切地體會到：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對一些數(shù)學(xué)命題，應(yīng)積極引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生去將命題中的條件或結(jié)論進行延伸、拓展、知識鏈疊加，從而，使學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、探索，在探索過程中，獲得新的認知和技能。同時，要以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力為重點，在“全面發(fā)展”上做文章，在創(chuàng)新學(xué)習(xí)、開發(fā)學(xué)生的個體潛能上下工夫，達到培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力和解決實際問題的能力，激發(fā)創(chuàng)新精神。endprint