函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題

袁景濤

摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干，導(dǎo)數(shù)是用來研究函數(shù)的工具。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)兩部分的知識(shí)點(diǎn)作為高考的重點(diǎn)內(nèi)容，這兩者之間有著一定的聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，它也是研究函數(shù)的重要工具，將函數(shù)跟導(dǎo)數(shù)有機(jī)地結(jié)合在一起，就能構(gòu)造出一些綜合性比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問題?；跀?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測(cè)試題目，從某種意義上說，就是針對(duì)課程中的主干重點(diǎn)知識(shí)，為學(xué)生設(shè)定一個(gè)在真實(shí)情境中的具體任務(wù)，通過這個(gè)任務(wù)的解決，來考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，評(píng)價(jià)學(xué)生的核心素養(yǎng)水平。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；綜合問題；核心素養(yǎng)

【命題要求】

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測(cè)試題目，從某種意義上說，就是針對(duì)課程中的主干重點(diǎn)知識(shí)，為學(xué)生設(shè)定一個(gè)在真實(shí)情境中的具體任務(wù)，通過這個(gè)任務(wù)的解決，來考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，評(píng)價(jià)學(xué)生的核心素養(yǎng)水平。

測(cè)試情境：函數(shù)圖像的變換及其應(yīng)用。

任務(wù)特征：用函數(shù)與方程的思想方法解決實(shí)際問題，把導(dǎo)數(shù)作為運(yùn)算工具，解決函數(shù)圖像的變換問題。

素養(yǎng)要求：數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模，邏輯推理，直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算。

第（1）小題測(cè)試素養(yǎng)水平一的考查，第（2）小題側(cè)重素養(yǎng)水平二的考查。

【書寫規(guī)范】

1. 題目名稱：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的綜合問題

2. 題目本體：

函數(shù)f（x）=x2+2x；g（x）=7lnx+a；

（1） 求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2） 當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）的圖像恒在函數(shù)g（x）圖像的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

3. 題目解答：

解：（1）由f（x）=x2+2x得，f（x）的定義域是{x∈R|x≠0}

f′（x）=2x-2x2=2（x3-1）x2，由f′（x）>0得x>1

∴所求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-

SymboleB@ ，0），（0，1）；

所求f（x）的單調(diào)增減區(qū)間是（1，+

SymboleB@ ）.

（2） 令h（x）=f（x）-g（x）=x2+2x-7lnx-a，h（x）的定義域是（0，+

SymboleB@ ）

h′（x）=2x-2x2-7x=2x3-7x-2x2=（2x2+4x+1）（x-2）x2

由h′（x）>0得x>2；即h（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+

SymboleB@ ）上單調(diào)遞增；

∴h（x）的最小值為h（2）=5-7ln2-a

依題意有5-7ln2-a>0，解得a<5-7ln2

∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-

SymboleB@ ，5-7ln2）

4. 題目編碼

單元：01：集合；02：常用邏輯用語(yǔ)；03：一元二次函數(shù)、方程和不等式；04：函數(shù)概念與性質(zhì)；05：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)；06：三角函數(shù)；07：函數(shù)綜合應(yīng)用；08：平面向量及應(yīng)用；09：立體幾何初步；10：統(tǒng)計(jì)；11：概率；12：數(shù)列；13：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；14：空間向量與立體幾何；15：平面解析幾何；16：計(jì)數(shù)原理。17：數(shù)學(xué)探究：18：數(shù)學(xué)建模；19：數(shù)學(xué)文化；20：其他

5. 題目說明：

（1） 本題目/題目來源及版權(quán)：

（請(qǐng)?jiān)诤线m處打勾“√”，填寫或提供相關(guān)內(nèi)容。）

①題目/題組材料是否存在版權(quán)問題？

[√]A：不存在

[]B：存在

[]C：不確定

②題目/題組材料來源

[√]A：原創(chuàng)

[]B：改編請(qǐng)?zhí)峁┰牧蟻碓凑?qǐng)?zhí)峁┰牧?/p>

[]C：某考試題—請(qǐng)?zhí)峁┰囶}來源

[]D：某出版物請(qǐng)?zhí)峁┰囶}來源

[]E：其他請(qǐng)說明

（1） 命題過程分析

①利用求函數(shù)f（x）=x2+2x的導(dǎo)數(shù)來確定其單調(diào)區(qū)間，

值得注意的是函數(shù)的定義域容易干擾學(xué)生正確答題。

從初等數(shù)學(xué)的角度來看，函數(shù)f（x）=x2+2x的圖像是由函數(shù)二次函數(shù)y=x2與反比例函數(shù)y=2x的圖像疊加而成。

用無限逼近的數(shù)學(xué)思想方法，可以直觀畫出函數(shù)f（x）=x2+2x的圖像，其單調(diào)性可以直觀地直接寫出。

②對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx的圖像通過變換成y=7lnx的圖像，

再向上平移a個(gè)單位后為g（x）=7lnx+a的圖像，當(dāng)函數(shù)g（x）=7lnx+a的圖像恰好與函數(shù)f（x）=x2+2x的圖像相切是，相應(yīng)的a值應(yīng)該為多少。

在擬編題目時(shí)，考慮了g（x）圖像的函數(shù)模型選用指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與三次方的函數(shù)等，都一一進(jìn)行了嘗試，但都沒有選擇自然對(duì)數(shù)函數(shù)y=lnx好。平移變換考慮過左右平移得到y(tǒng)=ln（x+t），考查相切的位置，但運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜。平移變換考慮過只進(jìn)行上下平移得到y(tǒng)=lnx+a，考查相切的位置，但運(yùn)算也很復(fù)雜。再考慮用待定系數(shù)法的方式進(jìn)行放縮變換與平移變換兩結(jié)合得函數(shù)y=mlnx+a，考查相切的位置，充分考慮考試試題的特殊性，選擇了m=7這一特殊值，運(yùn)算量相對(duì)適中，于是確定函數(shù)g（x）=7lnx+a，通過a值得確定考查g（x）的函數(shù)圖像與f（x）的函數(shù)圖像相切的位置。

在（2）題實(shí)際求解中設(shè)計(jì)到2x3-7x-2=0的根的求解，最佳方案就是觀察出有一個(gè)根是2，在進(jìn)行多項(xiàng)式的除法進(jìn)行因式分解，這就是系數(shù)m取值為7的快捷之處了。當(dāng)然，盡管如此，仍然有相當(dāng)一部分考試是觀察不到而無法因式分解，可能采取二次求導(dǎo)等方式來解決也沒有關(guān)系，這個(gè)題的功能主要體現(xiàn)在選拔功能上，主要用于區(qū)分985工程院校與211工程院校的。

本測(cè)試題目也是我在銅仁市2017年高三診斷性考試命題時(shí)理科考試中的原創(chuàng)試題，今年3月中旬，在銅仁市高三年級(jí)診斷性考試中進(jìn)行測(cè)試，銅仁市高三理科考試的難度系數(shù)為0.28，銅仁一中高三理科考試的難度系數(shù)為0.55，銅仁一中理科實(shí)驗(yàn)班的難度系數(shù)達(dá)到了0.76，比預(yù)設(shè)的期望難度系數(shù)要好。

參考文獻(xiàn)：

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[2]王芝平.例談函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問題的破解策略[J].高中生之友：高三年級(jí)版，2012（11）：26-27.

[3]馮愛銀.精彩預(yù)設(shè)顯智慧活學(xué)活用才是真——關(guān)于《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題》點(diǎn)評(píng)與教學(xué)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考旬刊，2012：60-61.