Hilbert空間中連續(xù)K-對偶的性質

侯美琴, 姚喜妍

(1.山西師范大學數學與計算機科學學院,山西 臨汾 041000;2.運城學院應用數學系,山西 運城 044000)

Hilbert空間中連續(xù)K-對偶的性質

侯美琴1, 姚喜妍2

(1.山西師范大學數學與計算機科學學院,山西 臨汾 041000;2.運城學院應用數學系,山西 運城 044000)

文章引入Hilbert空間連續(xù)K-對偶,連續(xù)K-對偶對的概念,應用算子論的方法,討論了Hilbert空間H上連續(xù)K-對偶和連續(xù)K-對偶對的若干性質及穩(wěn)定性,并對已有文獻的相關結論進行了推廣．

算子;連續(xù)K-對偶;連續(xù)K-對偶對;穩(wěn)定性

1 引言

框架理論[1]是泛函分析、算子理論和非線性逼近等相結合的產物.隨著框架理論的發(fā)展,各種框架概念被提出,如:fusion框架[2],g-框架[3],K-框架[4-5],控制框架[6]等.

K-框架是由Gavruta在研究有界線性算子K的原子分解系統(tǒng)時引入的.諸多研究者對K-框架進行了詳細研究[7-9],并引入了K-fusion框架[10-11]和連續(xù)K-框架[12-13]概念.與一般框架相比,K-框架可在值域R(K)中重構Hilbert空間中的元素.但對于框架的很多性質而言,K-框架就不一定成立了.而連續(xù)K-框架比K-框架更具有一般性,因此在K-框架上成立的相關性質在連續(xù)K-框架上也不一定成立.目前,一些學者對連續(xù)K-框架的研究甚少,所以有必要對連續(xù)K-框架進行更加深入的研究.文獻[11]給出連續(xù)K-框架的多種等價條件,連續(xù)K-框架交錯對偶的充分條件,和構造新連續(xù)K-框架的方法.文獻[9-13]對Hilbert空間中連續(xù)K-框架的兩種等價進行了刻畫,并討論了連續(xù)K-框架的擾動和冗余性.本文主要在文獻[9]的基礎上,將Hilbert空間上K-框架的若干性質推廣到連續(xù)K-框架上,給出了連續(xù)K-對偶,連續(xù)K-對偶對的概念.應用泛函分析和算子論的方法,討論了連續(xù)K-對偶和連續(xù)K-對偶對的若干性質及穩(wěn)定性,得出一些有意義的結果.

2 預備知識

為了方便起見,先給出本文中要用到的記號,H表示無限維可分 Hilbert空間;(?,Σ,μ)或 (?,μ)表示一個σ?有限,正可測空間;N表示指標集;B(H1,H2)表示從 Hilbert空間H1到 Hilbert空間H2上的有界線性算子全體所組成的集合,若H1=H2=H,則記B(H1,H2)=B(H);C表示復數域;R(T),NT分別表示有界算子T的值域和核;I為H上的恒等算子;T+表示算子T的偽逆算子;T?指算子T的伴隨算子;BH表示全體Bessel集所組成的集合;Fk(H)表示H上全體連續(xù)K-框架所組成的集合．

定義2.1[5]設K∈B(H),序列{fi}i∈N稱為H的K-框架,若存在常數0＜A≤B＜∞,使得

A,B分別稱為框架{fi}i∈N?H的下界,上界．如果只有右不等式成立,則稱{fi}i∈N為K-Bessel列,Bessel界為B.特別地,如果

則稱{fi}i∈N為H的緊K-框架．若在上面等式中A=1,則稱相應的緊K-框架{fi}i∈N為的ParsevalK-框架．如果算子K是零算子,則稱K-框架為零-框架．

注 2.1由框架與K-框架的定義知,若K=I,則H的K-框架就是H的框架．因此K-框架被視為框架的一種推廣.但是框架中的一些結果在K-框架中是不成立的,文章在此不討論這方面內容,詳見文獻[4-5,7-9].

定義 2.2[5]設K∈B(H),h={hm∈H:m∈?}為H中的一族元素,若滿足：

(2)存在0＜A≤B＜∞,使得

則稱h={hm∈H:m∈?}為H關于(?,μ)的連續(xù)K-框架．簡稱h為H上的連續(xù)K-框架.A,B分別稱為連續(xù)K-框架的下界和上界．若

則稱h為H上的連續(xù)緊K-框架:若A=1,則稱h為H上的連續(xù)ParsevalK-框架.若定義2.2中(2)的右不等式成立,則h被稱為Bessel集,稱B為Bessel界．

注 2.2(1)當K=I時,連續(xù)K-框架為連續(xù)框架或稱為廣義框架;

(2)當?=N,μ是計數測度時,連續(xù)K-框架為(離散)K-框架.

定義 2.3[9]設有界可逆算子T∈B(H1,H2),若TK1T?=K2,則稱K1與K2關于算子T相似等價.其中K1∈H1,K2∈H2．特別地,若T是酉算子,則稱K1與K2酉等價.

引理 2.1[14]設H1,H2是可分的Hilbert空間,U∈B(H1,H2)是閉值域算子．則存在唯一的U+∈B(H2,H1)使得

定理 2.1[14]設H1,H2是可分的Hilbert空間,U∈B(H1,H2)是閉值域算子.則

(1)UU+是H1到R(U)上的正交投影算子;

(2)U+U是H2到R(U+)=R(U?)=N⊥U上的正交投影算子;

(3)‖U?f‖≥‖U+‖‖f‖.

3 主要結論

定理 3.1設K∈B(H),h∈FK(H),框架界為A,B．則Kh是H上的連續(xù)K2-框架,即Kh∈FK2(H),且框架界為A,B‖K‖2．

證明根據定義2.2知,?f∈H,h滿足(2.3)式,且,?f∈H,有

所以Kh∈FK2(H)是H上的連續(xù)K2?框架,且框架界為A,B‖K‖2．

定理 3.2設h∈FK(H),框架界為A,B．則Kαh是H的連續(xù)Kα+1?框架,即Kαh∈FKα+1(H),且框架界為A,B‖K‖α+1．其中α∈R(證明過程與定理 3.1類似,這里省略).

定義 3.1設K∈B(H),h∈FK(H),k∈BH,若滿足

則稱k為h的連續(xù)K-對偶．

定理 3.3設h,k∈BH,若

則

進而h={hm∈H:m∈?}為H上的連續(xù)K-框架,k={km∈H:m∈?}為H上的連續(xù)K?-框架.

證明?f∈H,有

其中M為k的Bessel界.從而

又h為H上的 Bessel集,所以h={hm∈H:m∈?}為H上的連續(xù)K-框架.同理k={km∈H:m∈?}為H上的連續(xù)K??框架,即h∈FK(H),k∈FK?(H).

另外,對?f,g∈H,有

則

定義 3.1如果上述定理3.3條件不變且滿足(3.1)和(3.1)兩式的h,k稱為H上的連續(xù)K-對偶對,記為(h,k)．進一步k為h的連續(xù)K-對偶,h為k的連續(xù)K?-對偶．

注 3.1當K是自伴算子時,k為h的連續(xù)K-對偶,h為k的連續(xù)K-對偶.即(k,h)也為H上的連續(xù)K-對偶對．

注 3.2由定理3.3易得K-對偶與框架的交錯對偶具有相似的對稱性,但不像交錯對偶那樣具有交換性．當在子空間R(K)上時可實現交換性,且有如下定理：

定理 3.5設K∈B(H),R(K)是閉的,(h,k)為H上的連續(xù)K-對偶對,則有

同樣

證明由引理2.1知,KK+f=f,?f∈R(K),且由定義 3.1得

于是

所以

另外,

且由定義3.2得

從而

因此

定理3.6設h∈BH,K∈B(H),R(K)是閉的,P:H→R(K)是正交投影,則h∈FK(H)當且僅當{Phm}m∈?為R(K)上的連續(xù)框架．

證明若h∈FK(H),則存在0＜A≤B＜∞,使得(2.3)成立．且由定理2.1,?f∈R(K)有

所以{Phm}m∈?為R(K)上的連續(xù)框架．

若{Phm}m∈?為R(K)上的連續(xù)框架,其框架界A,B,T為合成算子,則R(K)=R(T).從而由文獻 [9]的引理 2.2有KK?≤λ2TT?(其中).設

這樣有

成立,所由定義 2.2得h∈FK(H)．

定理 3.7設K∈B(H),R(K)是閉的,h∈FK(H),其框架算子S的值域是閉的,P:H→R(K)是正交投影,則是{Phm}m∈?的連續(xù)K-對偶,其中SP為{Phm}m∈?的框架算子．

證明由定理3.5知{Phm}m∈?為R(K)上的連續(xù)框架,這樣{Phm}m∈?為R(K)上的連續(xù)K-框架.于是由連續(xù)框架算子的性質知,?f∈R(K)有

從而

定理 3.8設f∈R(K),R(K)是閉的,h∈FK(H)框架界為A,B,若k為h的連續(xù)K-對偶,則Kk是H上的連續(xù)K-框架．

證明由定義3.1和定理3.3知k∈FK?(H)所以存在0＜A≤B＜∞,使得

從而

令g=K?f,g∈R(K?)=N⊥K,又R(K)是閉的,所以根據引理2.1,有g=K+Kg,?g∈R(K?),從而

綜上所述得

所以Kk是連續(xù)K-框架,且框架界為A‖K+‖?2,B‖K‖2.

定理 3.9設K1,K2∈B(H)是閉值域算子,且K1,K2關于可逆算子T相似等價,若(h,k)為H上的連續(xù)K1-對偶對,則(Th,Tk)為H上的連續(xù)K2-對偶對.

證明根據定義3.1,有

再由定義 2.3知TK1T?=K2,從而?f∈H,有

所以根據定義3.1和定理3.3知(Th,Tk)為H上的連續(xù)K2-對偶對.

定理 3.10設K∈B(H),若(h,k)為H上的連續(xù)K-對偶對,則(Kh,k)為H上的連續(xù)K2-對偶對．

證明由定義3.2和定理3.3知f∈H,

從而

所以由定理3.3和定義3.2得(Kh,k)為H上的連續(xù)K2對偶對.

定理 3.11設K∈B(H)且自伴,若(h,k)為H上的連續(xù)K-對偶對,則(h,Kk)為H上的連續(xù)K2?對偶對(證明過程與定理3.9類似).

定理 3.12設K∈B(H),若 (h,k)為H上的連續(xù)K-對偶對,則(Kαh,k)為上的連續(xù)Kα+1對偶對．其中α∈R(證明方法與定理3.9類似,故略).

注 3.1當K=I時,上述定理3.8-定理3.11在連續(xù)框架和(離散)K-框架上仍成立．

定理 3.13設K∈B(H),T∈B(H),若(h,k)為H上的連續(xù)K-對偶對,則(Th,k)為H上的連續(xù)TK-對偶對.

證明由定義3.1知,?f∈H,

從而有

因此由定理3.3和定義3.1得(Th,k)為H上的連續(xù)TK-對偶對．

定理 3.14設K,T∈B(H),T,K自伴且TK=KT,若(h,k)為H上的連續(xù)K-對偶對,則 (Th,k),(Tk,h),(k,Th),(h,Tk)為H上的連續(xù)TK-(KT?)對偶對．即Th與k可交換,同時h與Tk也可交換.

證明由定義3.3知,?f∈H,

從而有

又TK=KT,因此 (Th,k),(Tk,h),(k,Th),(h,Tk)為H上的連續(xù)TK-(KT?)對偶對．即Th與k可交換,同時h與Tk也可交換.

定理 3.15設K,T∈B(H)是酉算子,且TK=KT,若k為h的連續(xù)K-對偶,則Tk為Th的連續(xù)K-對偶.

證明由定義3.1和酉算子的性質知,?f∈H,

從而有

因此Tk為Th的連續(xù)K-對偶.

致謝衷心感謝導師姚喜妍教授的悉心指導．

[1]Duffin R J,Schaeffer A C.A class of nonharmonic courier series[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1952,72(3):341-366.

[2]Casazza P G,Kutyniok G.Finite frames and distributed processing[J].Appl.Comput.Harmon.Anal.,2008,25:114-132.

[3]Sun W.G-frames and g-Riesz bases[J].J.Math.Anal.Appl.,2006,322(1):437-452.

[4]Gavruta L.Frames for operators[J].Appl.Comp.Harm.Anal.,2012,32:139-144.

[5]Gavruta L.New results on frames for operators[J].Proc.Intern.Conf.Sciences,2012(2):55-61.

[6]Balazs P,Antoine J P.Weighted and controlled frames[J].Int.J.Wavelets MultiresolutInf Process,2010,8(1):109-132.

[7]Xiao X C,Zhu Y C.Laura gavruta some properties ofK-frames in Hilbert spaces[J].Results.Math.,2013,63:1243-1255.

[8]丁明玲,肖祥春,朱玉燦.Hilbert空間中的K-框架[J].數學學報,2014,57(6):1089-1100.

[9]李亮,李鵬同.Hilbert空間上的K-框架與K-對偶[J].南京大學學報數學:半年刊,2015,32(1):74-88.

[10]周燕.K-fusion框架的刻畫[J].福建師范大學學報:自然科學版,2013,29(2):11-15.

[11]周燕.K-fusion框架擾動的穩(wěn)定性[J].數學雜志,2013,33(2):322-328.

[12]肖祥春,丁明玲,朱玉燦.Hilbert空間連續(xù)K-框架的若干研究[J].安徽大學學報:自然科學版,2013,37(2):31-35.

[13]范麗蘭,舒志彪.Hilbert空間連續(xù)K-框架的冗余與擾動性[J].福州大學學報:自然科學版,2016,44(1):6-11.

[14]Christensen O.Frames and pseudo-inverses[J].Appl.Comput.Harmon.Anal.,1995,195:401-414.

The properties of continuousK-dual in Hilbert spaces

Hou Meiqin1,Yao Xiyan2
(1.College of Mathematics and Computer Science,Shanxi Normal University,Linfen 041000,China;2.Department of Applied Mathematics,Yuncheng University,Yuncheng 044000,China)

In this paper,we introduce the concepts of continuousK-dual,a pair of continuousK-dual in Hilbert spaces.By using the operator theory,some properties and stability of the continuousK-dual,a pair of continuousK-dual frame in Hilbert spaces are discussed,and the related conclusions of the existing literatures be generalized.

operator,ContinuousK-dual,a pair of continuousK-dual,stability

2010 MSC:42C99,46C05,46C99

O177.5

A

1008-5513(2017)06-0652-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.011

2017-11-08.

山西省自然科學基金(20130111003-1);山西省高校重點學科建設專項資金(20131010).

侯美琴(1989-),碩士生,研究方向：算子理論與小波分析.