一類無圈型Nakayama代數(shù)的量

沈萍,陳正新

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,福建 福州 350117)

一類無圈型Nakayama代數(shù)的量

沈萍,陳正新

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,福建 福州 350117)

Nakayama代數(shù);同調(diào)方法;代數(shù)的量

1 引言

在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域,都存在關(guān)于給定對(duì)象大小的度量,如集合具有基數(shù),向量空間具有維數(shù),拓?fù)淇臻g具有歐拉示性數(shù)等等.最近文獻(xiàn)[1]定義了具有廣泛存在性的富化范疇的量.富化范疇是滿足附加條件的單位半群范疇(或稱為張量范疇),要求其對(duì)象之間的Hom集不再是集合,而是原單位半群范疇中的對(duì)象.具有有限個(gè)對(duì)象的富化范疇的量是與其對(duì)象之間的Hom集相聯(lián)系的矩陣的逆矩陣中所有元素的和.在此框架下,拓?fù)淇臻g的歐拉示性數(shù)、偏序集的M¨obius逆、度量空間的Minkowski維數(shù)等都與富化范疇的量密切相關(guān),參見文獻(xiàn)[1-3].事實(shí)上,許多度量幾何和圖論中經(jīng)典數(shù)量也與富化范疇的量密切相關(guān),數(shù)學(xué)工作者們相信并期待富化范疇的量在更多數(shù)學(xué)分支中得到應(yīng)用與發(fā)展,本文著重介紹富化范疇的量在域上有限維結(jié)合代數(shù)研究中的應(yīng)用,其他的不做贅述.本文介紹域上具有有限總體維數(shù)的有限維代數(shù)的量的定義,并求出了一類特殊Nakayama代數(shù)的量.對(duì)域k上總體維數(shù)有限的有限維代數(shù)A,它的所有不可分解投射模構(gòu)成了一個(gè)富化范疇,記為IP(A),稱富化范疇I(yíng)P(A)的量為代數(shù)A的量.由于所有A-模都是投射A-模的同態(tài)像,而投射A-?？偸撬胁豢煞纸釧-模的直和的直和項(xiàng),因此富化范疇I(yíng)P(A)是A-模范疇中的重要構(gòu)成部件.又由于所有不可分解投射A-模之間的Hom空間的維數(shù)恰好構(gòu)成了代數(shù)A的Cartan矩陣,參見文獻(xiàn)[4],因此代數(shù)A的量(或富化范疇I(yíng)P(A)的量)又可定義為代數(shù)A的Cartan矩陣的逆矩陣的所有元素求和,參見下面的定義.根據(jù)文獻(xiàn)[2]的主定理,我們也可以用同調(diào)方法計(jì)算代數(shù)的量.本文在文獻(xiàn)[2]的主定理的基礎(chǔ)上,計(jì)算一類Nakayama代數(shù)的單模之間同調(diào)群的維數(shù),從而求出該Nakayama代數(shù)的量.

2 基本定義與記號(hào)

下面設(shè)k為代數(shù)封閉域,A為總體維數(shù)有限的有限維k-代數(shù).本文中所有A-模均為左A-模,modA為全體有限維左A-模構(gòu)成的模范疇.記{Si|i=1,2,···,n}為單A-模的全體,Pi(分別地,Ii),i=1,2,···,n,為Si對(duì)應(yīng)的不可分解投射(分別地,內(nèi)射)模.Pd Si(分別地,Id Si)表示單模Si的投射 (分別地,內(nèi)射)維數(shù).對(duì)正整數(shù)i,j,若i＜j,記 [i,j]表示集合{i,i+1,···,j?1,j}.記表示向下取整函數(shù),如

令

n階矩陣C=(cij)n×n,稱C為代數(shù)A的Cartan矩陣.

定義 2.1設(shè)A為總體維數(shù)有限的有限維k-代數(shù),稱代數(shù)A的Cartan矩陣的逆矩陣的所有元素和為代數(shù)A的量,記為|IP(A)|.

定義 2.2[5]設(shè)M∈modA,若M的所有子模的集在包含關(guān)系下是線性有序的，即對(duì)M的任意兩個(gè)子模N和N′,或者N?N′,或者N?N′,則稱M是單列模.

定義 2.3[5]如果每一個(gè)不可分解投射右(左)A-模是單列模,則稱代數(shù)A是右(左)序列的.如果代數(shù)A既是左序列的又是右序列的,則稱代數(shù)A為Nakayama代數(shù).

由文獻(xiàn)[5]定理3.2知,Nakayama代數(shù)可分為兩類,一類為底圖有圈的,另一類是底圖無圈的.本論文研究一類特殊的無圈型Nakayama代數(shù)A的量,A=kQ/I,其中箭圖Q為如下的線性箭圖:

換句話說,I是kQ中由路長(zhǎng)為r的所有路

所生成的理想.

本文以下部分中代數(shù)A總為上述Nakayama代數(shù).對(duì)i≤j,由于Nakayama代數(shù)A中具有給定的socleSj及topSi的不可分解模是唯一的,可記該不可分解模為m(i,j),

這里el表示第l個(gè)分量為1,其余分量為0的n維向量.

3 一些引理

由單列模的性質(zhì),對(duì)不可分解A-模N,其投射蓋Pi1一定為不可分解模.令f:Pi1→N為投射蓋,可得kerf為不可分解模,因此可得下面的引理3.1.

引理 3.1設(shè)M,N為不可分解模,若存在正合列

其中Pit,t=1,2,···,s,為不可分解投射模,則

引理 3.2[6]設(shè)0→B→P→C→0為A-模中的正合列,其中P為投射A-模,則對(duì)任意的l≥1及A-模M,有

證明對(duì)正合列

用函子Hom(?,M)作用,得到長(zhǎng)正合列:

因?yàn)镻為投射A-模,所以,從而有

對(duì)偶地,可證如下引理:

引理 3.3設(shè)0→B→I→C→0為A-模中的正合列,其中I為內(nèi)射A-模,則對(duì)任意的l≥1及A-模M,有

引理 3.4對(duì)任意的i=1,2,···,n,及非負(fù)整數(shù)t,若tr+i≤n,則

證明對(duì)t用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)t=1時(shí),有

從而得到

因此有下面的正合列:

從而有正合列:

再由引理2.1得

假設(shè)等式

成立.下證等式

也成立.此時(shí)

并且

于是有下面兩個(gè)正合列:

從而有正合列:

故有

又由歸納假設(shè)知

從而

對(duì)偶地,可證如下關(guān)于內(nèi)射維數(shù)的引理:

引理 3.5對(duì)任意的i=1,2,···,n,及非負(fù)整數(shù)t,若tr+i≤n,則

由Nakayama代數(shù)的性質(zhì)及引理3.1,可證如下引理：

引理 3.6對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)l,當(dāng)i＞j時(shí),有

證明設(shè)Pd Si=r.若l＞r,則

若l=0,

若1≤l≤r,令Si的投射分解式為:

Ki=kerfi,0≤i≤r,則

因?yàn)棣觟?j(Sj)=Si,則根據(jù)直向代數(shù)的性質(zhì)

因此

引理 3.7若j?i=tr,,則,且對(duì)任意l/=2t,

證明對(duì)t用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)t=1時(shí),有j?i=r,j=r+i,易知存在如下短正合列:

得到正合列:

故有

由引理3.6及上面的正合列知,對(duì)任意的l≥3,

這就證明了此時(shí)引理成立.

假設(shè)當(dāng)j?i=(t?1)r時(shí),等式

且對(duì)l/=2t?2,

成立.下證:j?i=tr時(shí),等式,且對(duì)l/=2t,也成立.易知存在如下短正合列:

于是有如下正合列:

故有

當(dāng)l/=2t時(shí),同理有

由歸納假設(shè)知,

引理 3.8若j?i=tr+1,,則

且對(duì)任意l/=2t+1,.

證明對(duì)t用數(shù)學(xué)歸納法.

若t=0時(shí),則j=i+1.下面對(duì)j∈[2,n]分以下兩種情形證明引理成立.

情形 1j∈[r+1,n].此時(shí)，Ii=m(i?r+1,i),Ii+1=m(i?r+2,i+1),易知存在如下短正合列

所以

對(duì)任意的l≥3.因?yàn)閞≥2,i?r+1＜i,從而由引理3.6知.故引理成立.

情形 2j∈[2,r].

此時(shí)Id Sj=1,從而,l≥2,易知存在如下短正合列:

則

這就證明了此時(shí)引理成立.

假設(shè)j?i=tr+1時(shí),等式,且對(duì)任意的l/=2t+1,

成立.下設(shè)j?i=(t+1)r+1.易知存在如下短正合列:

得到正合列:

從而

由歸納假設(shè)知

故

總之,由歸納可得引理對(duì)滿足條件的t均成立.

證明對(duì)t用數(shù)學(xué)歸納法.

若t=0,則j=i+p.對(duì)j∈[2,n]分以下兩種情形證明引理成立.

情形 1j∈[1,r].

此時(shí)Ip+i=m(1,p+i),Ip+i?1=m(1,p+i?1),易知存在如下短正合列:

因此有

當(dāng)l=0時(shí),

故此時(shí)引理成立.

情形 2j∈[r+1,n].

此時(shí)Ip+i=m(p+i?r+1,p+i),Ip+i?1=m(p+i?r+2,p+i?1),易知存在如下短正合列:

所以

對(duì)任意的l≥3.因?yàn)閞≥2,p∈[2,r?1],i?r+p＜i,從而由引理3.6知.故此時(shí)引理成立

假設(shè)j?i=tr+p時(shí),對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)l,.下設(shè)j?i=(t+1)r+p.易知存在如下短正合列

得到如下正合列 0?→Sj?→Ij?→I(t+1)r+i+p?1?→Str+i+p?→0,所以

由歸納假設(shè)知

且對(duì)任意的l?2≥0,有,所以

對(duì)l≥2,有

由前可知當(dāng)l=0,1時(shí),有.故引理成立.

總之,由歸納可得引理對(duì)滿足條件的t均成立.

4 定理的證明

定理 4.2設(shè)k為代數(shù)封閉域,A=kQ/I為無圈型Nakayama代數(shù),其中Q為含n個(gè)頂點(diǎn)的無圈箭圖,I=(kQ+)r,r≥2,令n=ar+x,則代數(shù)A的量

即當(dāng)x=0時(shí),|IP(A)|=a;當(dāng)x/=0時(shí),|IP(A)|=a+1.

證明對(duì)i,j∈[1,n],若i＞j,由引理3.6知,對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)l,有,

則

若i＜j,可令j?i=tr+m,m∈[0,r?1].若j?i=tr時(shí),由引理3.7知,

且對(duì)任意l/=2t,,則

若j?i=tr+1時(shí),由引理 3.8知,,且對(duì)任意l/=2t+1,,則

若j?i=tr+p,p∈[2,r?1]時(shí),由引理3.9知,,則

因此對(duì)給定的i∈[1,n?1],

從而

故由引理4.1,

[1]Leinster T.The magnitude of metric spaces[J].Document Math.,2013,18:857-905.

[2]Chuang J,King A,Leinster T.On the magnitude of a fi nite dimensional algebra[J].Theory Appli.Categories,2016,31:63-72.

[3]Meckes M W.Magnitude,diversity,capacities,and dimensions of metric spaces[J].Potential Anal.,2015,42:549-572.

[4]Crawley-Boevey W.Lectures on representations of quivers[J].Commentarii Mathematici Helvetici,1992,69(1):137-141.

[5]Assem I,Simson D,Skowronski A.Elements of the Representation Theory of Associative Algebras[M].New York:Cambridge University Press,2006.

[6]佟文廷.同調(diào)代數(shù)引論[M].北京:高等教育出版社,1996.

Magnitudes of a class of Nakayama algebras with acyclic quivers

Shen Ping,Chen Zhengxin
(College of Mathematics and Informatics,Fujian Normal University,Fuzhou 350117,China)

Nakayama algebras,homomorphic method,magnitudes of algebras

2010 MSC:90C25

O178

A

1008-5513(2017)06-0623-11

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.008

2017-09-01.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11571360);福建省教育廳高校青年重點(diǎn)項(xiàng)目(JZ160427);福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2016J01006).

沈萍(1992-),碩士生,研究方向：代數(shù)表示論.