廣義典型流形上連續(xù)小波變換的性質(zhì)

周小輝 顧桂定王剛

(1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 200433;2.浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院,浙江 嘉興 314408;3.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054)

廣義典型流形上連續(xù)小波變換的性質(zhì)

周小輝1,2, 顧桂定1,王剛3

(1.上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,上海 200433;2.浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院,浙江 嘉興 314408;3.新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830054)

研究廣義典型流形M上小波變換的性質(zhì),根據(jù)廣義典型流形M的結(jié)構(gòu)特征與廣義典型流形M上連續(xù)小波變換的定義,討論了廣義典型流形M上的連續(xù)小波變換的重構(gòu)公式,線性性質(zhì),伸縮平移性等,討論了廣義典型流形M上小波變換的性質(zhì).最后,給出了連續(xù)小波ψ的卷積公式.

廣義典型流形;連續(xù)小波變換;一般線性群GL(V)

1 引言

近年來,很多學(xué)者對(duì)小波分析的發(fā)展都做出了許多突出的貢獻(xiàn).應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)展,理論層次不斷提高[1-18].值得注意的是,在許多領(lǐng)域,“流形上小波”的研究已經(jīng)成為一個(gè)研究方向和研究趨勢(shì).許多學(xué)者試圖基于“平直空間”的小波分析理論去建立與發(fā)展流形上的小波分析[13,18].人們所研究的流形上的小波理論已經(jīng)牽涉到各種各樣的光滑流形,例如,雙葉雙曲面,拋物面[12-13,18]或是其他二維光滑流形;還有一些抽象流形[16-17].流形上小波的研究不論是局部的還是整體的,這些成果都是有意義的.研究某些流行上的小波理論,人們常常采用以下一些方法,例如,基于一些“好”的性質(zhì)的投影（保面積投影,徑向投影,球極平面投影）將傳統(tǒng)的小波理論提升到流形M上,或者基于某些流形具備良好的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)來討論小波分析.本文在流形上的小波理論方面也做了一些工作,包括一些光滑曲面和抽象流形,例如,旋轉(zhuǎn)類光滑曲面,某些可展曲面[18],廣義典型流形[17]等等.

本文將專注于討論廣義典型流形M上的連續(xù)小波變換的性質(zhì),如,重構(gòu)公式,線性性質(zhì),伸縮平移性等等.

2 預(yù)備知識(shí)

為了討論廣義典型流形M上小波分析,首先給出廣義典型流形的定義,進(jìn)一步給出相應(yīng)的小波理論.下面,逐步給出與廣義典型流形和小波理論相關(guān)的若干定義.

定義 2.1[3,17]如果在F域上一個(gè)向量空間V中所有可逆線性變換在乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群,那么這個(gè)群稱為一般線性群,記作GL(V).

例如,酉群、正交群,這類群稱為典型群.關(guān)于典型群的概念,可以參見文獻(xiàn)[4,7].一個(gè)流形結(jié)合典型群的結(jié)構(gòu),便生成了典型流形.

定義 2.2[4](典型流形)假設(shè)M是一個(gè)微分流形,且M是一個(gè)可逆典型群G.如果存在從乘積流形G×G到G的映射,即

且從G到G的映射,即

是C∞,那么稱微分流形M和典型群G是一致的(相容的),當(dāng)微分流形M=G的流形結(jié)構(gòu)與群結(jié)構(gòu)是一致的(相容的),我們稱M(G)是典型流形.

下面有必要給出拓?fù)淙荷螰ourier變換的一些符號(hào)和性質(zhì).

定義2.3[5-6]設(shè)G是一個(gè)局部緊的可換的Hausdorff拓?fù)淙?且?G是其對(duì)偶群,χ∈?G是G的一個(gè)連續(xù)特征,μ是G上的Haar測(cè)度.?f∈L1(G),定義f的Fourier變換如下：

其中f1?f2表示G上函數(shù)f1和f2的卷積.在定義3.1中,給出了卷積的定義,同時(shí)在定理3.4中驗(yàn)證了性質(zhì)(2).

引理2.1[17]設(shè)P是在空間

中由正定函數(shù)生成的子空間,則存在逆變換公式：

引理 2.2[17]設(shè)f,g∈L2(G)則有

從引理2.2中,可以得到Hilbert空間L2(G)的內(nèi)積的定義,以及一個(gè)重要等式.同時(shí)根據(jù)Hilbert空間L2(G)的內(nèi)積及Cauchy-Schwarz不等式,則有

定義 2.4[17](廣義典型流形或拓?fù)溆蛄餍? 假設(shè)M是一個(gè)微分流形,且M也是一個(gè)拓?fù)溆騁.微分流形M=G與拓?fù)溆騁=M是一致的(相容的).如果關(guān)于流形G的C∞結(jié)構(gòu)的加法與乘法運(yùn)算都是C∞的,我們稱拓?fù)溆騇是拓?fù)溆蛄餍?TF-流形或廣義典型流形).

關(guān)于廣義典型流形的實(shí)例可參見文獻(xiàn)[14].

定義 2.5[17]假設(shè)G是一個(gè)域,局部緊拓?fù)淙?G,+)上右Haar測(cè)度用μ來表示,E是G的可測(cè)子集,且令

設(shè)Δ(a)是G上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).如果?a∈G,有

那么μ稱為域G上的Haar測(cè)度,且Δ(a)稱為局部緊拓?fù)淙?G,+)上右模函數(shù).

定義2.6[17]對(duì)于

定義函數(shù)f的連續(xù)小波變換為:

在?G上對(duì)G的作用,我們定義為:如果a∈G,χ∈?G,在χ上對(duì)a的作用定義為a·χ∈?G,(a·χ)(x)=χ(ax),a,x∈G.特別地,

3 廣義典型流形上連續(xù)小波變換的性質(zhì)

在文獻(xiàn)[17]中,通過計(jì)算ψ(ax?b)的Fourier變換,得到

進(jìn)一步給出了下面引理.

引理3.1[17]如果

是一個(gè)有限常數(shù)N,那么

通過計(jì)算,

可得下面的定理：

定理3.1如果

是一個(gè)有限的常數(shù)N,小波變換的逆變換(重構(gòu)公式)是

小波函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于連續(xù)小波變換是非常重要的[12].然而,廣義典型流形上的連續(xù)小波同樣繼承傳統(tǒng)小波的線性性質(zhì),伸縮和平移性質(zhì).相關(guān)的定理給出如下：

定理 3.2[5]假設(shè),那么

證明根據(jù)廣義典型流形上連續(xù)小波變換的定義,即(1)式可知,

這就證明了線性性質(zhì)1).類似的可以證明平移性質(zhì)2)和伸縮性質(zhì)3).

定理 3.3假設(shè)f,g,?,ψ∈[L1(G)∩L2(G)∩P],α,β ∈R,?∈G,那么

其中平移算子

伸縮算子

證明

類似地,可以證明其他等式.

定義 3.1假設(shè)f,g∈L2(G),x,y∈G,在G上函數(shù)f和g的卷積定義如下：

定理 3.4[5]假設(shè)f,g∈L2(G),x,y∈G,在G上函數(shù)f和g的卷積滿足下面的等式：

證明根據(jù)Fourier變換的定義,

因此,G上函數(shù)f的小波變換可以看成是函數(shù)f與的卷積,即

其中a,b∈G.

定理3.5假設(shè)

是一個(gè)有限常數(shù)N,ψ∈L2(G),且?在廣義典型流形G上是有界的且可積的,那么ψ??∈L2(G)且

也是一個(gè)有限的常數(shù).

證明因?yàn)棣住蔐2(G),?是有界的且可積的,那么

則ψ??∈L2(G).進(jìn)一步,

定理得證.

4 結(jié)論

根據(jù)廣義典型流形M的獨(dú)特結(jié)構(gòu),我們可以定義M上的連續(xù)小波變換且存在相應(yīng)的逆變換(重構(gòu)公式).進(jìn)一步,在廣義典型流形M上的連續(xù)小波變換關(guān)于函數(shù)與小波都保持了線性性質(zhì),平移性質(zhì)和伸縮性質(zhì).流形M上函數(shù)f的連續(xù)小波變換可以看成是函數(shù)f與

的卷積.所有這些結(jié)論對(duì)于我們后期進(jìn)一步研究相應(yīng)的離散情形提供了參考.同時(shí),建立相應(yīng)的應(yīng)用算法將是一個(gè)值得考慮的研究問題.

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The properties of the continuous wavelet on the generalized canonical

Zhou Xiaohui1,2,Gu Guiding1,Wang Gang3

(1.School of mathematics,Shanghai University of Finance and Economics,Shanghai200433,China;2.Zhejiang University of Finance and Economics Dongfang College,Jiaxing 314408,China;3.School of mathematics science,Xinjiang Normal University,Urumqi 830054,China)

Some properties of the continuous wavelet on generalized canonical manifoldMwill be discussed in this paper.It is based on the structure of the generalized canonical manifoldMand the de fi nition of the continuous wavelet transform on generalized canonical manifold.It can be done that the linear property,translation property and dilation property of the continuous wavelet transform have been discussed on generalized canonical manifold.According to the properties of the generalized canonical manifoldM,the continuous wavelet onMcan be de fi ned,and some properties of the continuous wavelet on generalized canonical manifoldMsuch as the linear property,translation property and dilation property will be discussed in this paper.Finally the convolution formula of the continuous waveletψwill be given.

generalized canonical manifold,the continuous wavelet,general linear group GL(V)

2010 MSC:42C40,65T60

O189.3;O174

A

1008-5513(2017)06-0644-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.06.010

2017-10-05.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371105,11671246);浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)東方學(xué)院教學(xué)科研課題(2017JK05).

周小輝(1986-),博士生,講師,研究方向：小波分析及其應(yīng)用.