數(shù)形運用的心理定勢

呂秋燕

摘要：本文指出了數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的重要性以及如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形運用的心理定勢，并列出幾類關(guān)于數(shù)形運用的典型例題。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；心理定勢；具體化

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中有著舉足輕重的作用。觀察近幾年的高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)，運用數(shù)形結(jié)合思想的題目所占比例不小，因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形運用的心理定勢就成了數(shù)學(xué)教學(xué)重要的一部分。數(shù)形結(jié)合一般也會伴隨著題目的轉(zhuǎn)化，也就是在解題過程中，不斷轉(zhuǎn)化解題方向，從不同的角度、不同的側(cè)面去探討問題，最終利用數(shù)形結(jié)合解決題目。在利用數(shù)形結(jié)合思想時，首先需要學(xué)生把生疏的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，把繁難的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體化的問題。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形運用的心理定勢過程中，要訓(xùn)練學(xué)生在看到一些固定類型的題目時，能立刻想到運用數(shù)形結(jié)合的思想去解決，這就需要教師平時就要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)形結(jié)合的問題類型。其中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形運用的心理定勢，最重要的是教師引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合類的題目要分類歸納總結(jié)的更加細(xì)致，而后多加訓(xùn)練，效果事半功倍。

一、 一類關(guān)于點的軌跡的問題

有些問題看著復(fù)雜，且題目之間看不出有什么明顯的聯(lián)系，但是，仔細(xì)分析題目會發(fā)現(xiàn)，他們有著意想不到的相似之處，并且可以用類似的方法去解決這類問題。把這類問題給學(xué)生分析透徹，那么在以后的學(xué)習(xí)過程中，遇到這種題目就會形成心理定勢，進(jìn)而快速而準(zhǔn)確的解決這類問題。比如以下兩個案例：

【例1】已知兩點A（1，0），B（4，0），若直線x-y+m=0上存在點P，使PA=12PB，求m的取值范圍。

【例2】圓A：（x-m-1）2+（y-2m）2=4上有且只有兩個點到原點O的距離為3，求m的取值范圍。

這里兩道看似完全不同的兩道題目，但存在著根本的聯(lián)系。首先對各個題目分別具體分析如下：

分析例1：點P滿足方程PA=12PB，由此可以得到點P的軌跡方程。設(shè)點P（x，y），由PA=12PB，得到（x-1）2+y2=14[（x-4）2+y2]，即x2+y2=4，記為圓C。由題目條件分析知道，點P既在直線x-y+m=0上，又在圓C上，所以原問題轉(zhuǎn)化為直線與圓C位置關(guān)系的問題。顯然，直線與圓有公共點則必相交，所以圓C的圓心C點到直線的距離d=|m|2≤2，所以m∈[-22，22]。

分析例2：類似例1，由題目分析，到原點距離為3的點軌跡方程即為圓B：x2+y2=9，由已知條件圓A：（x-m-1）2+（y-2m）2=4上有且只有兩個點到原點O的距離為3，得到圓A與圓B有且只有兩個交點。所以問題轉(zhuǎn)化為兩圓位置關(guān)系問題。兩圓有兩個交點，只需兩圓心之間的距離d滿足rB-rA

上面兩個例題看似沒有必然的聯(lián)系，卻暗藏玄機。題目中給的某些點都有自己的特殊的軌跡，比如例1中點P的軌跡是圓，例2中點到原點距離為3的點的軌跡也是圓，看到了這些本質(zhì)以后，那么原來的問題就轉(zhuǎn)化為兩圖形位置關(guān)系的問題了，原問題就迎刃而解。其實，這一類問題就是我們常說的“新瓶裝陳酒”的問題，只要引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)審題，仔細(xì)理解題目的意思，認(rèn)真揣摩題目中每個條件所包含的熟悉因素，就一定可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，然后運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題。對于此類型的題目，讓學(xué)生多加注意，平時的練習(xí)也能加強數(shù)形運用的心理定勢。

二、 一類抽象代數(shù)問題

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在解決數(shù)學(xué)問題時，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其中的幾何意義。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意的是一定要注意圖形雖然是非常直觀的，但是細(xì)微之處還是通過數(shù)體現(xiàn)出來的，所以一定要數(shù)形結(jié)合起來考慮問題。

上面兩道例題，看似是兩道沒有交集的問題，但是都可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，利用數(shù)形結(jié)合去解決，非常的簡單易懂。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)中基本而又重要的思想方法，它也是解答數(shù)學(xué)題目的一種常用方法與技巧，特別是在解決填空題時，數(shù)形結(jié)合發(fā)揮著不可替代的功效。數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非?！笨梢姅?shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。所以，在學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，教師要求學(xué)生隨時注意運用數(shù)形結(jié)合思想，要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強這方面的訓(xùn)練，以提高學(xué)生的解題能力和速度，更加能夠提高運用數(shù)形結(jié)合思想的能力。

三、 一類具有幾何意義的問題

數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，一些題目中關(guān)于一些特殊數(shù)字的問題，也可以轉(zhuǎn)化為圖形特點的問題。同時，這也要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識要牢固掌握，對于一些定義形式的式子，一眼就能識別出來，并且理解他的幾何意義，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合的思想快速并且準(zhǔn)確無誤的去解決問題。比如，學(xué)生看到下列問題，并對斜率公式記憶猶新，只要平時多加練習(xí)，在隨后的學(xué)習(xí)過程中，會非常的簡單易懂。

【例5】已知M為圓C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點，且點Q（-2，3），設(shè)M（m，n），求n-3m+2的最大值和最小值。

解：設(shè)k=n-3m+2表示點（m，n）與點（-2，3）連線的斜率，由題目知道，當(dāng)該直線與圓C相切時，k=n-3m+2分別取得最大值和最小值，設(shè)過點（-2，3）與圓心相切的直線方程為y-3=k（x-2），即kx-y+2k+3=0。所以|4k-4|k2+1=22，所以k=2±2。所以，n-3m+2max=2+3，n-3m+2min=2-3。

在數(shù)形結(jié)合思想的運用過程中，首先要理解和掌握一些類型的題目中給的問題的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，畫圖分析問題，這樣，整個問題的解決過程就非常的簡單了。例5這種題目，只要熟記斜率的公式，就很容易畫圖分析什么樣的情況滿足題意。所以，教師在教學(xué)過程中，不僅要給學(xué)生灌輸數(shù)形結(jié)合的思想，而且課后要求學(xué)生多加練習(xí)此類題目，加強培養(yǎng)，多鼓勵學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合，使學(xué)生對這類題目產(chǎn)生心理定勢，在以后的學(xué)習(xí)過程中，再碰到此類題目，可以立刻反應(yīng)過來如何去解決。

四、 一類零點問題

所謂函數(shù)的零點，其實就是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標(biāo)。運用數(shù)形結(jié)合的思想解決此類問題時，一定要強調(diào)“結(jié)合”一詞。我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚也曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非?！边@充分地說明了數(shù)形結(jié)合的思想一定要注重結(jié)合的意義所在。所以，做這類題目時，要先計算導(dǎo)函數(shù)，以便知道原函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，大致畫出圖像，最后不僅要通過圖像直觀估計，而且還要計算函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷參數(shù)的取值范圍。比如下面的例6：

【例6】若函數(shù)f（x）=ax3-bx+4，當(dāng)x=2時，函數(shù)f（x）有極值-43。

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）若關(guān)于x的方程f（x）=k有三個零點，求實數(shù)k的取值范圍。

分析：第（1）問很容易得到函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=13x3-4x+4。第（2）問關(guān)于零點問題，這就要大致畫出f（x）的圖像，從而具體問題具體分析。具體過程：

f′（x）=x2-4，令f′（x）=0，得到x=±2。易判斷，f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）單調(diào)遞增，f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減，且在x=±2處分別取得極小和極大值，

由函數(shù)f（x）的單調(diào)性和一些重要的函數(shù)值，可以大致畫出f（x）的圖像（省略），那么由圖像分析知道，k∈-43，283。

由上面的例題6，我們可以看出，函數(shù)在某個區(qū)間上存在幾個零點，即是方程在這個區(qū)間上有幾個解，最終可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在這個區(qū)間上有幾個交點的問題。從上面例題可以看出，只要畫出大致圖像，再結(jié)合準(zhǔn)確的函數(shù)值，就可以很容易找到參數(shù)的取值范圍了。在給學(xué)生講解時，一定要講清楚數(shù)形完美的結(jié)合過程，讓學(xué)生看到數(shù)形結(jié)合的直觀性和準(zhǔn)確性，這樣學(xué)生才會對這類題目產(chǎn)生心理定勢，遇到這類題目，數(shù)形結(jié)合的思想才是最好的。

數(shù)形結(jié)合的思想是把代數(shù)上的“數(shù)”與幾何上的“形”相結(jié)合，利用其解決問題簡單而快捷。關(guān)于數(shù)形結(jié)合的文章也是不勝枚舉，但是，數(shù)形結(jié)合的思想方法雖然是一種常用的有效的方法，有些時候，老師提示之前學(xué)生想不到“數(shù)形結(jié)合”的解法，所以，這就要求教師在每次研究某一類關(guān)于數(shù)形結(jié)合的例題時，要與學(xué)生一起及時總結(jié)，及時強化訓(xùn)練，使學(xué)生對每類問題都能理解透徹，對此類問題解法產(chǎn)生一定的心理定勢。比如以上幾類例題都很典型，老師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，之后再讓學(xué)生多加練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形運用的心理定勢。當(dāng)然，數(shù)形運用好處雖多，但是有些題目并不適用，這就更加要求教師要和學(xué)生一起歸納總結(jié)運用數(shù)形結(jié)合的每一種類型的題目，從而形成心理定勢，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

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