淺談大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)及其與地心直角坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換

李孟飛

摘要：大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系之間可以通過(guò)矩陣的方式完成相互轉(zhuǎn)換。本文對(duì)大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)進(jìn)行了簡(jiǎn)單概述，并且在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)分析了正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的普適表達(dá)推導(dǎo)過(guò)程以及大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換問(wèn)題，旨在為關(guān)注這一領(lǐng)域的人士提供一些可行性較高參考意見(jiàn)，推動(dòng)我國(guó)相關(guān)領(lǐng)域的發(fā)展與完善。

關(guān)鍵詞：大地坐標(biāo)系；應(yīng)變張量；地心直角坐標(biāo)系；正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系

引言：

隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展以及人民生活水平的提高，社會(huì)各界對(duì)于我國(guó)地質(zhì)勘探與地形測(cè)繪工作，特別是大地坐標(biāo)系在其中的應(yīng)用關(guān)注程度越來(lái)越高。在地球物理學(xué)以及大地測(cè)量當(dāng)中，計(jì)算由質(zhì)點(diǎn)位移引起的地表應(yīng)變和地表某點(diǎn)的空間位置變化都會(huì)應(yīng)用到坐標(biāo)系。因此，如何在此種環(huán)境背景下完成大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換工作，是相關(guān)領(lǐng)域工作人員的研究重點(diǎn)之一。

一、大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)

設(shè)定點(diǎn)M為地面上的某一個(gè)定點(diǎn)，并且將這一點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)定為θ、L與h，分別用于表示這一點(diǎn)的大地緯度、大地經(jīng)度和距離地面的高度。則點(diǎn)M（θ，L，h）的位置向量可以用以下的公式進(jìn)行表達(dá)，即：

等式中的R1為點(diǎn)M在橢球面與曲線(xiàn)法線(xiàn)之間交點(diǎn)的半徑，可以用以下公式進(jìn)行表達(dá)，即：

等式中的a和b分別是大地坐標(biāo)系當(dāng)中的旋轉(zhuǎn)橢球的長(zhǎng)半徑與短半徑，可以用以下公式進(jìn)行表達(dá)，即：

二、大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換

（一）正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的普適表達(dá)推導(dǎo)過(guò)程

將正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系參考面作為推導(dǎo)研究的基礎(chǔ)，在正交曲線(xiàn)當(dāng)中選定任意一點(diǎn)P，以點(diǎn)P的坐標(biāo)（q1，q2，q3）可以對(duì)曲線(xiàn)的坐標(biāo)進(jìn)行定義，將點(diǎn)P的前兩個(gè)坐標(biāo)q1，q2作為這點(diǎn)到參考面法線(xiàn)投影在面上的曲線(xiàn)坐標(biāo)，這一點(diǎn)到參考面法線(xiàn)之間的距離設(shè)為q3，這樣一來(lái)，點(diǎn)P的三個(gè)坐標(biāo)分別形成了一個(gè)相互正交的三維立體網(wǎng)絡(luò)，這一點(diǎn)形成的局部直角坐標(biāo)系在歐式空間當(dāng)中會(huì)與某個(gè)連通域Ω笛卡爾直角坐標(biāo)系相互連接[1]。變量xi是由連續(xù)可微、雙方單值且可逆的變換聯(lián)系進(jìn)行定義。因?yàn)樽兞縳i對(duì)應(yīng)Ω當(dāng)中的某一點(diǎn)，所以對(duì)不同坐標(biāo)變量之間的逆向和正向兩種形式的變換矩陣需要通過(guò)雅可比行列式進(jìn)行求導(dǎo)，即

det[T]ij=det（axi/aqi）≠0

det[T-1]ij=det（aqi/axj）≠0

與之對(duì)應(yīng)的變換矩陣具有互逆性，因此可以得到

（aqi/axk）×（axk/aqj）=aqi/aqj

當(dāng)?shù)仁街械膇=j，那么等式的結(jié)果為1，若i≠j，那么等式的結(jié)果為0。

考慮到正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系的特性，在變換矩陣當(dāng)中，雅可比行列式不為0，所以曲線(xiàn)坐標(biāo)與笛卡爾坐標(biāo)之間的坐標(biāo)變換矩陣列向量不平行且正交。

（二）大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)與地心直角坐標(biāo)矩陣轉(zhuǎn)換

在利用GPS觀(guān)察技術(shù)和地質(zhì)觀(guān)測(cè)資料對(duì)地殼的應(yīng)變形式進(jìn)行分析的過(guò)程中，通常情況下選擇的坐標(biāo)系為大地坐標(biāo)系或者是地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中的一種，實(shí)現(xiàn)應(yīng)變張量的分析。應(yīng)用應(yīng)變張量的矩陣轉(zhuǎn)換公式，可以將其中一種坐標(biāo)系所得出的結(jié)果轉(zhuǎn)化成為另一種坐標(biāo)系當(dāng)中的數(shù)值，從而避免了二次測(cè)繪計(jì)算的麻煩。不用重新在另外一種坐標(biāo)系當(dāng)中進(jìn)行張量計(jì)算，還可以降低測(cè)繪結(jié)果的誤差，獲得更加準(zhǔn)確的坐標(biāo)系地殼應(yīng)變信息。作為一種空間直角坐標(biāo)系，地心直角坐標(biāo)系的曲線(xiàn)是彼此相交的正交曲線(xiàn)，與相比，雖然大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)曲線(xiàn)也是彼此相交的正交曲線(xiàn)，但是大地坐標(biāo)系是一個(gè)旋轉(zhuǎn)的橢球參考面，二者都是正交曲線(xiàn)的坐標(biāo)系，具有正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系活動(dòng)標(biāo)架彼此正交的特性。

在對(duì)二者之間的相互轉(zhuǎn)換過(guò)程進(jìn)行研究時(shí)，筆者經(jīng)過(guò)對(duì)礦山測(cè)量與地籍測(cè)繪的結(jié)果進(jìn)行分析，設(shè)定在某處監(jiān)測(cè)站作為地心直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，得出設(shè)置該監(jiān)測(cè)站在旋轉(zhuǎn)橢球的坐標(biāo)系當(dāng)中局部標(biāo)架應(yīng)變張量函數(shù)為τ，再將新坐標(biāo)系同舊坐標(biāo)系之中應(yīng)變張量矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換，便可以得出相應(yīng)的結(jié)果。設(shè)置點(diǎn)M處建立的直角坐標(biāo)系為單位固定標(biāo)架，因此點(diǎn)M的單位向量左邊之間也是相互正交狀態(tài)。因?yàn)榈匦闹苯亲鴺?biāo)系是直角坐標(biāo)系當(dāng)中的一種，大地坐標(biāo)系是旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系當(dāng)中的一種，所以地心直角坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)換可以視為是直角坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)橢球坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換。在某橢球體當(dāng)中嵌入框架為地心直角坐標(biāo)系的三維空間，并且將橢球體的球心點(diǎn)O與地心直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)相互重合，X1軸置于橢球起始子午面內(nèi)部，球心的自轉(zhuǎn)軸與X3軸相互重合，根據(jù)轉(zhuǎn)換的原則，可以通過(guò)計(jì)算得出大地坐標(biāo)系當(dāng)中的點(diǎn)M在地心橢球面上的坐標(biāo)標(biāo)架表達(dá)式，再帶入到地心直角坐標(biāo)系框架當(dāng)中進(jìn)行轉(zhuǎn)換，由此可以得出大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量在地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中參考面應(yīng)變張量。

經(jīng)過(guò)計(jì)算分析可以了解到，大地坐標(biāo)系與地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中相同位置的同一個(gè)點(diǎn)應(yīng)變張量矩陣所給出的在該點(diǎn)地殼應(yīng)變活動(dòng)同坐標(biāo)系之間不發(fā)生任何關(guān)系。結(jié)合我國(guó)某地區(qū)GPS數(shù)據(jù)，以當(dāng)?shù)啬程庍M(jìn)行大地坐標(biāo)系應(yīng)變張量與地心直角坐標(biāo)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換為例，設(shè)定某處參考點(diǎn)為N，用L表示其大地經(jīng)度，用大地余緯數(shù)值作為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)的參數(shù)，將其帶入前文當(dāng)中的轉(zhuǎn)換矩陣當(dāng)中可以得出這一點(diǎn)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換之后在地心直角坐標(biāo)系當(dāng)中所對(duì)應(yīng)的位置，同時(shí)還可以確定該點(diǎn)應(yīng)變張量是一個(gè)同所選擇坐標(biāo)系不發(fā)生關(guān)系的不變量[2]。

總結(jié)：

綜上所述，作為常用的坐標(biāo)系，大地坐標(biāo)系與地心直角坐標(biāo)系都在GPS地殼形變分析當(dāng)中發(fā)揮了重要的作用。GPS觀(guān)測(cè)技術(shù)可以在監(jiān)控地殼運(yùn)動(dòng)時(shí)，提出不同的參考框架。借助地心直角坐標(biāo)系應(yīng)變張量，在正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，能使用最簡(jiǎn)潔的方法推導(dǎo)出正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)式。推導(dǎo)出不同正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系應(yīng)變張量表達(dá)式，能夠作為地殼分析工作當(dāng)中的參考數(shù)據(jù)，。

參考文獻(xiàn)：

[1]王晶晶.流形的張量測(cè)量及其在工程應(yīng)變測(cè)量中的應(yīng)用[D].河南理工大學(xué)，2015.

[2]尚建奎.淺談2000國(guó)家大地坐標(biāo)系的啟用[J].地球，2016（6）.endprint