基于非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)的配電網(wǎng)供電可靠性預(yù)測

徐玉琴， 張 揚， 戴志輝

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院, 河北 保定 071003)

基于非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)的配電網(wǎng)供電可靠性預(yù)測

徐玉琴， 張 揚， 戴志輝

(華北電力大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院, 河北 保定 071003)

為了提高配電網(wǎng)供電可靠性預(yù)測精度，借鑒Copula函數(shù)在可靠性評估方面的應(yīng)用，提出了基于非參數(shù)核密度估計法和Copula函數(shù)相結(jié)合的配電網(wǎng)供電可靠性預(yù)測算法。首先通過考慮線路平均故障率和平均維修時間之間的相關(guān)性，采用非參數(shù)核密度估計法擬合二者的邊緣分布，通過最大似然法估計Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)；然后采用最小歐式距離進行Copula優(yōu)選，進而建立線路故障率和維修時間的模型，預(yù)測下一年的供電可靠性指標(biāo)；最后以華東某地供電公司提供的數(shù)據(jù)為例進行仿真分析。結(jié)果表明，該模型能較好地滿足供電可靠性預(yù)測要求，預(yù)測精度高于BP算法。

供電可靠性預(yù)測； 非參數(shù)核密度估計； Copula函數(shù)； 相關(guān)性

0 引 言

隨著社會經(jīng)濟發(fā)展對電能需求不斷增加，配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜的同時對其供電可靠性也提出了更高的要求。可靠性預(yù)測為了解電網(wǎng)可靠性發(fā)展趨勢，確定可靠性投資方向等提供有價值的依據(jù)，對系統(tǒng)的運行和維護具有重要的指導(dǎo)意義。

目前，供電可靠性預(yù)測一般分為三類：傳統(tǒng)法、統(tǒng)計預(yù)測法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測法。傳統(tǒng)法中包括故障模式后果分析法[1]、最小路分析法[2-3]和網(wǎng)絡(luò)等值算法[4]。傳統(tǒng)法大多以準(zhǔn)確的配電網(wǎng)結(jié)構(gòu)模型和多年的元件參數(shù)作為基準(zhǔn)，將配電網(wǎng)等效化簡并采用枚舉法列舉可能失效事件的所有情況，建立故障模式后果表，但對于目前復(fù)雜的配電網(wǎng)建模困難，可行性低。統(tǒng)計預(yù)測法中一般包括灰色預(yù)測法[5]、回歸預(yù)測法和趨勢預(yù)測法，通常以歷年供電可靠性指標(biāo)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)進行供電可靠性指標(biāo)預(yù)測，長期預(yù)測精度低。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法通常采用BP算法，通過梯度下降法進行搜索，具有較好的收斂性[6-7]，但BP算法對原始數(shù)據(jù)要求高且計算速度慢，不易找到最優(yōu)解。

傳統(tǒng)法和統(tǒng)計預(yù)測法無法考慮線路故障率和停電持續(xù)時間之間所具有的相關(guān)性，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP算法由于收斂速度慢、容易陷入局部最優(yōu)解等缺點亦不足以滿足可靠性預(yù)測快速準(zhǔn)確的要求。文獻[8]中指出Copula函數(shù)能夠很好擬合具有相關(guān)性的變量；文獻[9-10]中指出采用非參數(shù)和密度估計和Copula函數(shù)的預(yù)測模型的預(yù)測精度較高。在可靠性方面，文獻[11]中首次提出采用非參數(shù)核密度估計算法擬合負(fù)荷隨機變化規(guī)律，通過RBTS可靠性測試系統(tǒng)分析計算說明了該方法的有效性；文獻[12]提出了基于Copula理論的風(fēng)光互補發(fā)電系統(tǒng)的可靠性評估，通過建立風(fēng)光出力間的聯(lián)合概率密度函數(shù)，對發(fā)電系統(tǒng)的可靠性做出評估。由以上文獻中可以看出，采用非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)相結(jié)合的算法能夠很好的解決具有相關(guān)性變量的預(yù)測問題。

本文借鑒文獻[11-12]中的方法，提出了基于非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)的供電可靠性預(yù)測方法。該方法考慮了線路平均故障率和線路平均維修時間之間的相關(guān)性，通過非參數(shù)核密度估計得到二者的邊緣分布，利用Copula函數(shù)建立線路平均故障率和平均維修時間的相關(guān)性模型，進而計算下一年度的供電可靠指標(biāo)。通過對華東某地區(qū)供電公司提供的5年線路故障數(shù)率和維修時間進行仿真分析，并與基于網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的BP算法對比，表明該算法精度更高。

1 供電可靠性評價指標(biāo)

1.1 供電可靠率

供電可靠率(Reliability On Service)是指在統(tǒng)計期間內(nèi)，用戶有效總供電小時數(shù)與統(tǒng)計期間小時數(shù)的比值，統(tǒng)計期間通常為一年，RS-1可用以下公式計算：

(1)

1.2 用戶平均停電時間

用戶平均停電時間(Average Interruption Hours of Customer)是指用戶停電時間之和與總用戶數(shù)的比值，AIHC-1可用以下公式計算：

(2)

2 非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)

2.1 核函數(shù)定義

非參數(shù)核密度估計(Non-parametric density estimation)對數(shù)據(jù)的分析是完全建立在歷史數(shù)據(jù)上，預(yù)先不做任何假設(shè)分布，是已知算法中擬合效果最好的方法之一。

假設(shè)v1,v2,…vn為研究時段內(nèi)n個故障時間，其理論概率密度為f(v)，則f(v)的核密度估計為

(3)

式中：h為窗寬系數(shù)；n為樣本容量；K(·)為核函數(shù)；Kh(·)=K(·)/h

2.2 選擇核函數(shù)

(4)

2.3 選擇窗寬

窗寬對核函數(shù)具有非常重要的意義，選擇好壞直接影響到擬合的精確程度，窗寬太小擬合出來的曲線平滑度差，窗寬太大擬合出的曲線過于平滑而無法反映出數(shù)據(jù)細節(jié)。一般采用經(jīng)驗窗寬法，其表達式如下：

h0=1.06n-1/5σ

(5)

式中：n為樣本數(shù)；σ為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。

經(jīng)驗窗寬法的優(yōu)點在于方便快捷但會帶來一定的誤差，所以本文采用文獻[14]中介紹的方法求取最優(yōu)窗寬，以達到減小誤差提高擬合精確度的目的。具體步驟如下：

(6)

(3)分別選取服從N(0,1)和N(0,4)的Gauss函數(shù)為核函數(shù)，結(jié)合式(3)和(6)得到下面的最優(yōu)窗寬模型：

(7)

2.4 Copula函數(shù)

Copula函數(shù)可將一個N維聯(lián)合分布問題轉(zhuǎn)換成N個邊緣分布和一個聯(lián)絡(luò)函數(shù)，從而解決了隨機變量的邊緣分布概率已知而聯(lián)合概率密度難以求解的問題[15-16]。

2.5 Sklar定理

Sklar定理：令H為隨機變量X,Y的聯(lián)合分布函數(shù)，X,Y的邊緣分布函數(shù)分別為F(x)和G(y)，則存在唯一的Copula函數(shù)C，使得下式成立：

H(x,y)=C(F(x),G(y))

(8)

2.6 阿基米德Copula函數(shù)

常用Copula函數(shù)有正態(tài)Copula函數(shù)、t-Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)，前兩者具有尾部對稱相關(guān)系數(shù)，無法描述隨機變量間的非對稱關(guān)系。而阿基米德Copula函數(shù)既能描述隨機變量間對稱關(guān)系亦能準(zhǔn)確的捕捉隨機變量間非對稱關(guān)系，其優(yōu)良的性能得到了廣泛的應(yīng)用。

阿基米德函數(shù)的定義為

C(u1,u2,…uN)=φ-1(φ(u1),φ(u2),…,φ(uN))

(9)

函數(shù)φ(u)稱為阿基米德Copula函數(shù)C(u1,u2,…,uN)的生成元(generator)，滿足φ(1)=0且對任意u∈[0,1]。表1列出了一些常用的單參數(shù)二元阿基米德函數(shù)以及生成元。

表1 阿基米德函數(shù)及生成元

由表可知，Gumbel Copula函數(shù)具有非對稱性，其上尾高，下尾低，即對分布在上尾的變量具有敏感性。Clayton Copula函數(shù)下尾高，上尾低對變量分布在下尾部的變化比較敏感，能夠捕捉到下尾相關(guān)變化。Frank Copula函數(shù)適合于具有對稱尾部，并且尾部漸漸獨立的二元隨機變量。

2.7 Kendall秩相關(guān)系數(shù)

Kendall秩相關(guān)系數(shù)是衡量變量間相關(guān)性的重要指標(biāo)之一。

設(shè)(X1,Y1)，(X2,Y2)相互獨立且服從相同分布，P((X1,X2)(Y1,Y2)>0)表示和諧率，P((X1,X2)(Y1,Y2)<0)表示不和諧率兩者概率差就是Kendall秩相關(guān)系數(shù)，即：

τ=P((X1,X2)(Y1,Y2)>0)-

P((X1,X2)(Y1,Y2)<0)

(10)

Kendall秩系數(shù)存在說明了變量間具有相關(guān)性，由秩相關(guān)系數(shù)τ可求Copula函數(shù)相關(guān)參數(shù)a。以Frank Copula函數(shù)為例，在已知kendall秩相關(guān)系數(shù)τ的情況下，下式成立：

(11)

2.8 歐氏距離

歐氏距離的定義是經(jīng)驗Copula函數(shù)和理論Copula函數(shù)之間的距離差。其目的是通過對各類Copula函數(shù)進行擬合度效驗從而選出最優(yōu)模型。平方歐氏距離表達式如下所示：

(12)

3 基于非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)結(jié)合的配電網(wǎng)可靠性模型

采用非參數(shù)法和Copula函數(shù)結(jié)合預(yù)測配電網(wǎng)供電可靠性大致分為以下幾步：

(1) 根據(jù)線路平均故障率和平均維修時間的樣本，繪制頻率直方圖。

(2) 選擇核函數(shù)，通過式(7)分別計算最優(yōu)窗寬得到式(3)中的核密度估計,即兩者的邊緣分布曲線。

(3) 根據(jù)邊緣分布曲線采用最大似然估計法計算不同種類Copula函數(shù)的相關(guān)參數(shù)。

(4) 繪制樣本的二元頻率直方圖，用歐氏距離法選擇最優(yōu)Copula函數(shù)。

(6) 計算配電網(wǎng)下一年度的供電可靠性指標(biāo)。

可靠性建模流程如圖1所示。

圖1 供電可靠性建模流程圖Fig.1 Power supply reliability modeling flowchart

4 算例分析

4.1 原始資料處理

本文原始資料取自華東某地區(qū)供電公司5年間線路平均故障率和故障平均維修時間，不計及當(dāng)線路發(fā)生故障但重合閘動作成功恢復(fù)供電時的次數(shù)，因配電網(wǎng)中變壓器、斷路器、隔離開關(guān)損壞次數(shù)少，也可以忽略不計。部分原始數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 部分原始數(shù)據(jù)

根據(jù)式(11)得到Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ=0.487 5存在，說明變量間具有一定的相關(guān)性。

4.2 選擇窗寬

根據(jù)式(7)分別算出線路平均故障率和平均故障維修時間最優(yōu)窗寬如表3所示。

表3 最優(yōu)窗寬

選擇最優(yōu)窗寬是Copula函數(shù)優(yōu)選的基礎(chǔ)。

4.3 繪制核密度估計曲線

分別繪制樣本數(shù)據(jù)頻率直方圖和最優(yōu)窗寬非參數(shù)擬合曲線，以及二元頻率直方圖如圖2、圖3所示。由圖2可以看出核密度具有很好的擬合性，能夠準(zhǔn)確的描述歷史數(shù)據(jù)。

圖2 線路核密度估計曲線Fig.2 Kernel density estimation curve of lines

圖3 二元分布圖Fig.3 Binary distribution

4.4 選擇最優(yōu)Copula函數(shù)

由圖3，通過直觀判斷可以看出線路平均故障率和平均維修時間之間的相關(guān)性接近于阿基米德Copula函數(shù)中的Frank函數(shù)。通過最小歐氏距離來驗證其是否為最優(yōu)Copula函數(shù)。

根據(jù)數(shù)據(jù)樣本，采用最大似然估計法求得各類Copula函數(shù)相關(guān)系數(shù)如下表4所示。由此計算各類Copula函數(shù)的歐氏距離。由表5可知，選擇Frank-Copula函數(shù)是合理的。

表4 Copula相關(guān)參數(shù)估計

表5 歐氏距離

4.5 生成預(yù)測數(shù)據(jù)

表6 部分預(yù)測數(shù)據(jù)

4.6 計算供電可靠性

根據(jù)表6得到的數(shù)據(jù)預(yù)測未來一年配電網(wǎng)供電可靠性，預(yù)測和對比結(jié)果如表7所示。

表7 供電可靠性

從數(shù)據(jù)分析，預(yù)測值和實際值之間存在0.000 8%相對誤差，該誤差在可接受的范圍內(nèi)，說明該方法具有可行性。

4.7 方法對比

將本文所用方法與傳統(tǒng)的基于網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的BP算法進行對比，算法數(shù)據(jù)采用文獻[17]中的數(shù)據(jù)，其誤差如下表8所示。

表8 方法對比

從表8可以看出，該算法比BP算法具有更好的預(yù)測精度。

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于非參數(shù)核密度估計和Copula函數(shù)相結(jié)合的配電網(wǎng)供電可靠性預(yù)測法。與統(tǒng)計算法中直接計算可靠性指標(biāo)不同，該方法通過建立線路平均故障率和平均維修時間的相關(guān)性模型，間接預(yù)測供電可靠性指標(biāo)。以華東某供電公司提供的5年內(nèi)線路故障數(shù)據(jù)為例進行仿真分析，結(jié)果表明非參數(shù)核密度估計能夠準(zhǔn)確的擬合歷史數(shù)據(jù)，基于Copula函數(shù)建立的模型能夠真實地反映線路故障率和故障維修時間的相關(guān)性。通過與傳統(tǒng)BP算法對比，表明了該方法具有更高的預(yù)測精度。

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Power Supply Reliability Prediction of Distribution Network Based on Nonparametric Kernel Density Estimation and Copula Function

XU Yuqin, ZHANG Yang, DAI Zhihui

(School of Electrical and Electronic Engineering, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)

In view of the application of Copula function on reliability assessment, this paper proposes an algorithm of power supply reliability prediction of distribution network by combining nonparametric kernel density estimation method with Copula function in order to reach higher accuracy of power supply reliability prediction. Firstly, nonparametric kernel density estimation is used to fit the marginal distribution of average failure rate and the mean time to repair (MTTR) after analyzing the correlation between them. And the relevant parameter of Copula function is estimated by maximum likelihood estimator method. Secondly, based on the optimized Copula function according to the least Euclidean distance criteria, the model of circuit failure rate and MTTR can be established to forecast next year’s power supply reliability indexes. Finally, the paper conducts a simulation analysis by utilizing the data provided by a power supply company in east China. The results show that the proposed model can satisfy the requirements of power supply reliability prediction, and offer more accurate forecasting result than BP method.

power supply reliability prediction; nonparametric kernel density estimation; Copula function; correlation

2017-05-19.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51367059).

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.06.03

TM614

A

1007-2691(2017)06-0014-06

徐玉琴 (1964-)，女，教授，主要研究方向為電力系統(tǒng)分析，運行與控制，分布式發(fā)電與配電網(wǎng)，電力系統(tǒng)繼電保護等；張揚 (1993-)，男，碩士研究生，主要研究方向配網(wǎng)可靠性預(yù)測；戴志輝 (1980-)，男，副教授，主要研究方向為電力系統(tǒng)保護，運行與控制，分布式發(fā)電與配電網(wǎng)等。