基于阿基米德螺線的兩臂柔性板彈簧的性能分析及比較

繆 源，陳 曦，任道順

（上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093）

基于阿基米德螺線的兩臂柔性板彈簧的性能分析及比較

繆 源，陳 曦，任道順

（上海理工大學能源與動力工程學院，上海 200093）

柔性板彈簧作為小型斯特林制冷機動子系統(tǒng)中支撐活塞的關鍵性部件，對提高制冷機的壽命和性能起到了十分關鍵的作用?；诎⒒椎侣菥€，設計了一款應用于低溫冰箱的自由活塞斯特林制冷機柔性板彈簧。通過改變曲線略角θ、基元半徑R以及螺距V，使彈簧提供的機械剛度滿足斯特林制冷機的需求，并使其最大應力降低至疲勞極限的70%。利用ANSYS軟件將阿基米德螺線、費馬型線和Sunpower型線進行有限元分析，并引入新的無量綱參數(shù)評價性能，發(fā)現(xiàn)在滿足剛度需求的情況下，阿基米德螺線彈簧的最大應力最小且動態(tài)徑向剛度穩(wěn)定性高。

阿基米德螺線彈簧；無量綱參數(shù)；剛度；最大應力

0 引言

現(xiàn)在的小型低溫制冷機的壓縮機部分多采用線性壓縮機驅動和柔性板彈簧支撐技術。柔性板彈簧可在滿足制冷機的軸向剛度要求的同時，提供較大的徑向剛度，防止活塞與氣缸直接接觸，實現(xiàn)間隙密封。

國內外關于柔性板彈簧渦旋型線的種類不盡相同，陳楠等[1]提出了圓漸開線彈簧型線的設計方法，利用基本的圓漸開線方程，通過調整基圓半徑、漸開線節(jié)距、漸開線起始角、柔性板彈簧臂寬、漸開線圈數(shù)、漸開線的漸開角以及渦旋槽在空間的分布，來實現(xiàn)柔性板彈簧型線的設計。陳曦等[2]提出了一種基于費馬方程的柔性板彈簧，通過調節(jié)方程參數(shù)和渦旋槽的幾何分布，可精確地構造出滿足設計要求的柔性板彈簧型線。通過對設計的彈簧進行關于剛度和自然頻率的數(shù)學建模、理論分析、AN?SYS模擬及實驗驗證，證明了理論推導和有限元分析的可能性。Trollier等[3]設計了一款Oxford型線的三臂柔性板彈簧，通過改變型線的形狀、長度和渦旋臂的厚度，可以在不增加最大應力的情況下，增大軸徑向剛度比，其最大應力為600 MPa，低于材料的疲勞極限700 MPa。Lee等[4]基于實驗數(shù)據(jù)，開發(fā)了關于阿基米德型線和Oxford型線的設計程序，該程序可較好的預測各種型線的彈簧性能，方便了彈簧的設計過程。Longsworth[5]在8 K@50 mW三級分體式斯特林制冷機的設計中，采用了三臂阿基米德型線的柔性板彈簧，并通過試驗總結了經驗公式，簡化了設計過程。張迪[6]分析了外徑180 mm三臂阿基米德型線柔性板彈簧的性能。文章對兩臂的柔性板（Archimedes）彈簧進行分析與對比。

1 柔性板彈簧型線的設計方法

阿基米德螺線（亦稱等速螺線）的極坐標方程：

式中：a和b均為實數(shù)。改變參數(shù)a相當于旋轉螺旋線，而參數(shù)b則控制相鄰兩條曲線之間的距離。

在笛卡爾坐標系下的方程：

式中：R為基圓半徑；V為螺距；θ為略角，改變以上三個參數(shù)，可調節(jié)型線的幾何形狀，以適應不同外徑和中心孔徑。

在Solid Works軟件的方程驅動曲線命令里輸入該型線在笛卡爾坐標系下的方程，即可得到阿基米德螺線，利用等距實體命令偏移出所需的槽寬，并拉伸出所需厚度，便得到了基于阿基米德螺線的柔性板彈簧。

2 關鍵參數(shù)對彈簧性能的影響

兩臂Archimedes彈簧外徑65 mm，中心孔徑為3 mm，定位孔徑3 mm。在ANSYS10.0中定義單元格類型為Solid 10node187，材料選擇合金彈簧鋼（60Si2Mn），其彈性模量為206 000 MPa，泊松比為0.3。將smart size設置為1（最高），利用ANSYS里自動劃分網格功能生成網格，如圖1所示。

圖1 1 mm柔性板彈簧的網格劃分圖Fig.1 Flexible spring meshing（1 mm）

2.1 厚度對軸徑向剛度和最大應力的影響

約束柔性板彈簧4個定位孔的6個自由度，即對其施加ALL DOF=0的載荷。在中心孔上施加1 N的軸向力或徑向力，通過ANSYS求解輸出軸向的位移云圖，根據(jù)剛度定義式K=F/S，其中F為軸向或徑向靜載荷力，S為對應靜載荷力下的相對位移，得到柔性板彈簧的軸徑向剛度。中心孔施加5 mm軸向位移，輸出Von-mises stress云圖查看最大應力，引入文獻[7]介紹的徑軸向剛度比τ，將彈簧在不同厚度下的性能參數(shù)如表1所列。

表1 厚度對彈簧性能的影響Table1 Influence of thickness on spring performance

由表1、圖2可看出，0.4 mm厚時，彈簧軸向剛度為357 N/m、徑向剛度為80 224 N/m，1.2 mm厚時，軸向剛度增至8 976 N/m、徑向剛度為247 586 N/m。通過對比可以看出，隨著厚度的增加，柔性板彈簧的軸向剛度呈三次方增加，這與文獻[2]的理論證明相一致；徑向剛度呈線性增加，這是因為厚度的增加相當于多片柔性板彈簧疊加[8]。由于徑向剛度的增加速度沒有軸向剛度增加得快，所以徑軸向剛度比τ隨著厚度的增加而減小，最大應力隨著彈簧厚度的增加而增大。

圖2 厚度對徑軸向剛度比τ的影響曲線Fig.2 Influence of thickness onτ

2.2 槽寬對軸徑向剛度和最大應力的影響

保持阿基米德螺線方程中的R為基圓半徑、V為螺距和θ為略角不變，僅改變槽寬，觀察柔性板彈簧性能的變化，結果如圖3所示。可以看出隨著槽寬的增加，柔性板彈簧的徑軸向剛度比τ下降。這是因為槽寬的增加會減少一部分板材，降低了渦旋彈簧臂的抗拉能力，進而降低了柔性板彈簧的剛度，且徑向剛度受槽寬的影響比軸向剛度更大，使得τ下降。

由圖4、圖5可以看出，最大應力隨著槽寬的增加而減少，這是因為臂寬減小，使得渦旋臂更易變形，從而減小的應力集中。1.2 mm槽寬的彈簧因為其臂寬較大，所以應力分布更加均勻，而2 mm槽寬的渦旋臂上大應力區(qū)域分布較多。

圖3 槽寬對剛度比的影響曲線Fig.3 Influence of Groove Width on Stiffness Ratio

圖4 槽寬對最大應力的影響曲線Fig.4 Influence of groove Width on Maximum stress

圖5 不同槽寬的最大應力云圖Fig.5 the maximum stress cloud of different groove widths

3 不同柔性板彈簧的性能對比

將兩臂Archimedes彈簧與Sunpower彈簧[9]和Fermat彈簧[2]進行對比，引入無量綱數(shù)剛度質量系數(shù)A和剛度應力厚度系數(shù)B來評價彈簧性能的優(yōu)劣。三種彈簧的結構（如圖6）參數(shù)和性能參數(shù)如表2所列。

3.1 剛度質量系數(shù)A

引入剛度質量系數(shù)A：

式中：K為彈簧的軸徑剛度，N/m；δ為彈簧的厚度，m；m為彈簧的質量，kg；g為重力加速度，N/kg。

剛度質量系數(shù)A為無量綱數(shù)，可用來分析彈簧在單位質量下，剛度與質量的關系。A越大，則該彈簧可在較小質量下提供較大剛度，有效減小斯特林制冷機的動子質量。

圖6 三種柔性板彈簧的結構圖Fig.6 The structure of three springs

通過表2的1、3和4三組數(shù)據(jù)可以看出，三種彈簧均在1 mm厚度下的剛度質量系數(shù)，F(xiàn)ermat彈簧的Aa和Ar均大于其他兩種彈簧，Archimedes彈簧的Ar大于Sunpower彈簧。

表2 柔性板彈簧的結構參數(shù)與性能參數(shù)Table2 Structural parameters and performance parameters of flexible springs

3.2 剛度應力厚度系數(shù)B

引入剛度應力厚度系數(shù)B：

式中：K為彈簧的軸向剛度，N/m；σmax為彈簧在5 mm軸向位移下的最大應力，Pa；δ為彈簧的厚度，m。

剛度應力厚度系數(shù)B可用來分析在相同軸向位移下，剛度與最大應力的關系。B越大說明該彈簧在滿足剛度要求的情況下，有著較小的最大應力，提高了彈簧的循環(huán)次數(shù)和使用壽命。分析表2中的2、3和5這三組數(shù)據(jù)，當不同彈簧都提供約9000 N/m的軸向剛度時，Archimedes型線彈簧的B值約是其余兩種彈簧的1.3倍，且Fermat彈簧的應力為731 MPa，已經超過了材料的疲勞極限713 MPa。由圖7可知，F(xiàn)ermat彈簧在渦旋槽尾處有較大的應力集中，Archi?medes彈簧在渦旋臂上的應力分布比較均勻，且最大應力約是Sunpower彈簧的60%?？梢夾rchimedes彈簧在減小最大應力方面有著突出的優(yōu)勢。

圖7 5 mm軸向位移下三種彈簧（1 mm）的應力云圖和1 N軸向力下的位移云圖Fig.7 Stress distribution under 5 mm axial displacement and and displacement distribution under 1 N axial force of three springs

3.3 動態(tài)徑向剛度穩(wěn)定性對比

柔性板彈簧在提供合適的軸向剛度之外還需要盡可能大的徑向剛度，以保證活塞與氣缸間的間隙密封。不同軸向位移下的動態(tài)徑向剛度是衡量彈簧在往復運動狀態(tài)下的重要性能指標。文獻[10]中對比了Oxford、Sunpower和Fermat三種型線的動態(tài)徑向剛度，發(fā)現(xiàn)Fermat彈簧的動態(tài)徑向剛度τ雖然隨著軸向位移的增加而急劇下降，但最小值仍大于其余兩種彈簧。

柔性板彈簧的動態(tài)徑向剛度受厚度的影響很大。彈簧越厚，其動態(tài)徑向剛度τ隨軸向位移的下降越劇烈，穩(wěn)定性越差。為了實現(xiàn)低溫制冷機的長壽命工作，柔性板彈簧需要有較好的動態(tài)徑向剛度穩(wěn)定性。圖8對比了三種型線的彈簧分別在0.6 mm和1 mm厚度下的動態(tài)徑向剛度，可以看出，F(xiàn)ermat彈簧（1 mm）在軸向位移為0 mm時的徑向剛度為426 985 N/m，約是Sunpower彈簧的2.6倍，Archime?des彈簧的2.1倍。

圖8 不同柔性板彈簧的動態(tài)徑向剛度曲線Fig.8 Dynam ic radial stiffness of different flexible springs

但隨著軸向位移的增加Fermat彈簧的動態(tài)徑向剛度τ急劇下降，在6 mm軸向位移下，其動態(tài)徑向剛度為16 544 N/m，僅為0 mm位移下的3.87%。相反，Archimedes彈簧和Sunpower彈簧表現(xiàn)出了較好的動態(tài)徑向剛度穩(wěn)定性。當厚度為0.6 mm，軸向位移為6 mm時，Archimedes彈簧的動態(tài)徑向剛度為37 550 N/m，約是靜態(tài)徑向剛度（0 mm軸向位移）的31%，且大于Sunpower彈簧的28 494 N/m和Fermat彈簧的24 623 N/m。

4 總結

介于國內對阿基米德型線柔性板彈簧的研究較少，利用ANSYS軟件對兩臂阿基米德螺線彈簧進行了有限元分析，并提出新的無量綱參數(shù)來評價彈簧性能。

（1）驗證了彈簧厚度與軸向剛度成3次方關系，與徑向剛度成正比關系，徑軸向剛度比τ和最大應力隨槽寬的增加而減少；

（2）通過引入新的無量綱參數(shù)，剛度質量系數(shù)A和剛度應力厚度系數(shù)B，分析對比了三種柔性板彈簧性能。其中Fermat彈簧A值最大，可在較小質量下提供較大的剛度，但其B值最小，說明在提供規(guī)定軸向剛度下的最大應力過大，容易發(fā)生疲勞斷裂，且動態(tài)徑向剛度穩(wěn)定性差。Archimedes彈簧擁有較大的B值，在往復運動中具有較小的應力，延長了彈簧的使用壽命，且其動態(tài)徑向剛度穩(wěn)定性較好，更易實現(xiàn)間隙密封，提高制冷機性能。

[1]陳楠.圓漸開線渦旋柔性板彈簧的制造方法:中國，200510029390.6[P].2005-10-29.

[2]陳曦，劉穎，袁重雨，等.基于費馬曲線的柔性板彈簧的理論與試驗研究[J].機械工程學報，2011，47（18）:130-136.

[3]Trollier T，Ravex A，Crespi P，et al.High Capacity Flexure Bearing Stirling Cryocooler On-Board the ISS[M]//Cryocool?ers12.SpringerUS，2003:31-35.

[4]LeeCC，Pan RB.Flexure bearing analysis procedures and de?sign charts[J].Cryocoolers，1997，9：413-420.

[5]Longsworth R C.Three-stage linear，split-Stirling cryocooler for1 to2 K magnetic cold stage[R].Unknown，1993.

[6]張迪.斯特林制冷機循環(huán)模擬及板簧參數(shù)化研究[D].湖北：華中科技大學，2013.

[7]Chen N，Chen X，Wu Y N，et al.Spiral profile design and pa?rameter analysis of flexurespring[J].Cryogenics，2006，46（6）:409-419.

[8]高威利，顏鵬達，陳國邦.幾何參數(shù)對線性壓縮機板彈簧性能的影響[J].低溫工程，2007（6）:8-11.

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[10]陳曦，袁重雨，祁影霞.不同型線柔性軸承的性能分析及比較[J].北京航空航天大學學報，2012，38（12）:1625-1628.

PERFORMANCE ANALYSIS AND COMPARISON OF FLEXIBLE SPRING BASED ON TWO-FIGURE ARCHIMEDES SPIRAL

MIAO Yuan，CHEN Xi，REN Dao-shun
（School of Energy and Power Engineering，University of Shanghai for Sciences and Technology，Shanghai200093，China）

Flexible spring，which is used to support the piston components for improving the life and performance of the stirling refrigerator，has played a very crucial role in stirling cooler.Based on the archimedes spiral，a flexible spring was designed for a free piston stirling refrigerator at freezer temperatures.By changing the curve slightly θ，the radius of the element R and the pitch V，the spring provides suitable mechanical stiffness to meet the needs of the stirling refrigerator and reduce its maximum stress to 70%of the fatigue limit.The ANSYS software was used to make finite element analysis of archimedes spiral spring，fermat type spring and sunpower type spring，and the new dimensionless parameter was introduced to evaluate the performance of flexible spring.It was found that the maximum stress of archimedes spiral spring is the smallest and the stability of dynamic radial stiffness is also high.

archimedes spiral spring；dimensionless parameter；stiffness；maximum stress

TB651；TH135+.2

A

1006-7086（2017）05-0364-05

10.3969/j.issn.1006-7086.2017.05.011

2017-07-13

繆源（1993-），男，山東煙臺人，碩士研究生，主要從事柔性板彈簧的研究。E-mail：miaoyuan_cryo@163.com。