主動(dòng)變式探究 體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)
——以一道向量題的變式教學(xué)為例

顧日新

(蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215021)

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”，他反復(fù)強(qiáng)調(diào)：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確的方法是“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生進(jìn)行這種再創(chuàng)造的工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)直接灌輸給學(xué)生．反思當(dāng)前習(xí)以為常的變式教學(xué)，教師始終是變式的主體——提出問題，學(xué)生只是被動(dòng)的接受——解決問題，對(duì)于為什么要進(jìn)行變式或者如何進(jìn)行變式，學(xué)生一概不清楚，學(xué)生的“再創(chuàng)造”難以實(shí)現(xiàn)，創(chuàng)新精神難以培養(yǎng)．本文以一道經(jīng)典的向量高考題為例，嘗試引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的條件加以變化，在實(shí)施變式探究的過程中，體會(huì)變與不變的辯證思想，體驗(yàn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷程．現(xiàn)摘部分教學(xué)簡錄，敬請(qǐng)同行及專家斧正．

1 經(jīng)典真題回顧

(2008浙江卷·理9)已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量．若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是( )(答案：C)

A．1 B．2

評(píng)注：這道題看似簡單，其實(shí)內(nèi)涵豐富，堪稱經(jīng)典．

2 教學(xué)簡錄

2.1 解法探究——體現(xiàn)向量的數(shù)、形交融

師：分析題目的條件，大家想到了什么方法？

生1：題設(shè)中出現(xiàn)了單位向量，以及兩組向量垂直，我覺得可以用幾何法解決．

圖1

師：你善于抓住題設(shè)特征，合理運(yùn)用了數(shù)量積為0的幾何意義，得出點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，數(shù)形結(jié)合，簡潔明了．還有不同方法嗎？

生2：由于a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，所以可以考慮用坐標(biāo)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化．設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y)，由(a-c)·(b-c)=0得

師：和生1一樣，你也是轉(zhuǎn)化的高手．用坐標(biāo)表示向量，得點(diǎn)(x,y)的軌跡是一個(gè)圓(原點(diǎn)在圓上)，|c|的最大值即為圓的直徑，思路清晰，運(yùn)算簡便．

生3：將等式(a-c)·(b-c)=0直接展開，得c·(a+b)=c2．設(shè)a+b與c的夾角為θ,

師：引入向量a+b與c的夾角為θ，得到|c|關(guān)于θ的三角函數(shù)，函數(shù)思想的運(yùn)用恰到好處．比較三種解法，生1、生2的解法體現(xiàn)了向量“形”的神韻，生3的解法則體現(xiàn)了向量“數(shù)”的特征．

2.2 變式探究——透過現(xiàn)象看本質(zhì)

師：變式最為常見方法是改變題目的非核心條件．分析本題的兩個(gè)條件.

條件1：a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量；

條件2：向量c滿足(a-c)·(b-c)=0.

哪一個(gè)條件是核心條件？

生4：條件2．

師：理由？

生4：條件2的幾何意義是點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，這是解題的關(guān)鍵，但是它和條件1沒有關(guān)系．

師：你的分析很精辟，你想如何變式？

生4：改變向量a、b的夾角．變式如下：

變式1已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)夾角為60°的單位向量．若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是．

圖2

師：改變向量a、b的夾角，不改變向量a、b的模．還可以怎么變？

生5：向量a、b的模和夾角同時(shí)改變．變式如下：

變式2已知a=(-1，2)，b=(3，6)．若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的取值范圍是．

解設(shè)c=(x,y) 由(a-c)·(b-c)=0得

(x-1)2+(y-4)2=8.

圖3

師：相對(duì)變式1，變式2對(duì)條件1的改變更為徹底．在不改變核心條件(a-c)·(b-c)=0的前提下，改變條件1中a、b兩個(gè)向量的模和夾角．借助數(shù)量積為0的幾何意義，或者對(duì)向量解析化，把向量模的問題化歸為定點(diǎn)到定圓上動(dòng)點(diǎn)的距離問題．以形助數(shù)，簡潔明了！ 盡管變式1，變式2對(duì)向量a、b的?；驃A角進(jìn)行的改變，但是向量a、b仍然是確定的，從而點(diǎn)C所在的圓也始終是一個(gè)定圓，定圓是比較好處理的．還有更大膽的變式嗎？

生6：還可以不給定向量a、b的夾角，定圓變動(dòng)圓．變式如下：

變式3已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)單位向量，若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值是．

圖4

(當(dāng)且僅當(dāng)O、M、C共線，且OM=MC時(shí)取等號(hào)，此時(shí)a與b垂直.)

師：非常棒！由于a、b的夾角任意，點(diǎn)C所在的圓隨著點(diǎn)A、點(diǎn)B的變化而變化．若設(shè)出向量的坐標(biāo)，盡管思維量小、方向單一，但運(yùn)算繁瑣；而根據(jù)數(shù)量積為0的幾何意義，易得點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，再巧妙借助三角不等式及基本不等式的推論，問題迎刃而解．反觀前文高考真題，該題其實(shí)就是變式3的一種特殊情形．通過剛才的變式過程，我們發(fā)現(xiàn)，只要核心條件 “(a-c)·(b-c)=0”不變，無論a、b的夾角如何變化，點(diǎn)C始終在一個(gè)圓上．那么，條件2能變嗎？

生7：向量a-c與向量b-c不一定非要垂直．變式如下：

師：很好！盡管向量a-c與向量b-c不垂直，但是向量c仍然和圓有關(guān)．還有不同的變式嗎？

生8：除了改變向量垂直的屬性外，還可以改變條件2中向量前面的系數(shù)．變式如下：

變式5已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量．若向量c滿足(2a-c)·(b-2c)=-1，則|c|的取值范圍是．

師：通過上面的5個(gè)變式，不難發(fā)現(xiàn)，向量c始終與某個(gè)圓有關(guān)，特別是生8的變式5特別有啟發(fā)性．同學(xué)們能提出一個(gè)更具有一般性的問題嗎？

2.3 提出問題——發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律

經(jīng)過學(xué)生討論，師生完善，共同提出以下問題：

解設(shè)a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，c=(x,y)，代入(ma+c)·(nb+c)=t，得

x2+y2+(mx1+nx2)x+(my1+ny2)y+

mn(x1x2+y1y2)-t=0

令D=mx1+nx2,E=my1+ny2,

F=mn(x1x2+y1y2)-t

則D2+E2-4F=(mx1+nx2)2+(my1+ny2)2-4[mn(x1x2+y1y2)-t]

=(ma-nb)2+4t.

當(dāng)(ma-nb)2+4t<0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡不存在；

當(dāng)(ma-nb)2+4t=0時(shí)，點(diǎn)C為一定點(diǎn)；

當(dāng)(ma-nb)2+4t>0時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為圓.

排除(ma-nb)2+4t≤0的特殊情況，得到下述有用的結(jié)論：

3 教學(xué)反思

3.1 重視變式探究的教學(xué)功能

變式教學(xué)是對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)技能和思維訓(xùn)練的重要方式，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行多角度、多方面的變式探究，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從了解到理解，從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變的本質(zhì)中探索普遍規(guī)律．許多研究(黃榮金，2000；鮑建生、黃榮金、易凌峰，顧憐沉，2002；)認(rèn)為變式訓(xùn)練“看似簡單重復(fù)，其實(shí)是不斷求新變化，通過逐漸積累，甚至由量變到質(zhì)變，得到新的認(rèn)識(shí)”(張奠宙、李士鑄、李俊，2003；等)[1]．變式探究不僅能增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)變能力，而且能優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力和素質(zhì)．

3.2 重視變式探究主客體的轉(zhuǎn)換

蘇霍姆林斯基認(rèn)為，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者，研究者，探索者．變式探究作為一種教與學(xué)的方式，其落腳點(diǎn)最終應(yīng)該落在學(xué)生的學(xué)，而不是教師的教．從高中生的生理和心理特點(diǎn)來看，每個(gè)學(xué)生都有探索和創(chuàng)造的潛能，關(guān)鍵是如何激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣、動(dòng)機(jī)和求知欲．所以，讓學(xué)生充當(dāng)變式的主體不失為一種培養(yǎng)學(xué)生“再創(chuàng)造”、培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題能力的重要手段．此時(shí)，教師的作用主要體現(xiàn)在三個(gè)方面，一是選擇一個(gè)好的問題，這是變式探究的基礎(chǔ)；二是善于啟發(fā)和引導(dǎo)，發(fā)揮“腳手架”的功能，激發(fā)學(xué)生在深層次思維中去探究；三是給予欣賞和鼓勵(lì)，增強(qiáng)學(xué)生信心，激發(fā)其內(nèi)驅(qū)力，挖掘?qū)W生的潛能．

3.3 重視數(shù)學(xué)思考的教學(xué)

對(duì)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)教學(xué)肩負(fù)著傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，鍛煉數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重任．新課標(biāo)解讀則認(rèn)為，數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)教學(xué)中最有價(jià)值的行為，數(shù)學(xué)教學(xué)要圍繞教學(xué)生數(shù)學(xué)思考展開，努力改變一味的模仿，機(jī)械重復(fù)的訓(xùn)練．何為數(shù)學(xué)思考，簡而言之就是用數(shù)學(xué)的方式思考問題，其中提出問題，探究發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)思考的重要組成部分．課堂教學(xué)要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程，更好的喚起數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好奇心，激發(fā)并維護(hù)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)的積極性．重視數(shù)學(xué)思考，教師是真正的執(zhí)行者和落實(shí)者．

總之，如果把凸顯學(xué)生的主體參與性落實(shí)到每一節(jié)課堂教學(xué)中去，那么，培養(yǎng)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題的能力，重視學(xué)生數(shù)學(xué)思考，以學(xué)生的發(fā)展為本就不再是一個(gè)空乏的話題．