解決統計與概率應用問題的策略

黃世平

解決統計與概率應用問題的策略

黃世平

數學解題，結果正確固然重要，但更重要的是對解題過程中所使用策略的反思總結.下面我們結合統計與概率應用中的典型問題，來說明如何根據解題思路的形成進行反思，以便同學們舉一反三，學會反思總結歸納.

例1 下列說法正確的是（ ）.

A.“經過有交通信號的路口，遇到紅燈”是必然事件

B.已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6，則他投10次一定可投中6次

C.處于中間位置的數一定是中位數

D.方差越大數據的波動越大，方差越小數據的波動越小

【解答】A.經過有交通信號的路口，遇到紅燈是隨機事件，說法A錯誤；

B.已知某籃球運動員投籃投中的概率為0.6，則他投10次不一定投中6次，說法B錯誤；

C.一組數據從小到大排序后，奇數個數據處于中間位置的數是中位數，偶數個數據中間位置兩個數據的平均數才是中位數，說法C錯誤；

D.方差越大數據的波動越大，方差越小數據的波動越小，說法D正確，故選D.

【策略歸納】本題考查了隨機事件與必然事件、概率的意義、中位數的求法、方差的性質，熟練掌握相關的概念、性質和方法是解決這類問題的關鍵.

例2 為了“天更藍，水更清”，某市政府加大了對空氣污染的治理力度，經過幾年的努力，空氣質量明顯改善，現收集了該市連續(xù)30天的空氣質量情況作為樣本，整理并制作了如

下表格和一幅不完整的條形統計圖：

空氣污染指數（ω）天數（t）30 40 70 80 90 110 120 140 1 2 3 5 7 6 4 2

說明：環(huán)境空氣質量指數（AQI）技術規(guī)定：ω≤50時，空氣質量為優(yōu)；51≤ω≤100時，空氣質量為良；101≤ω≤150時，空氣質量為輕度污染；151≤ω≤200時，空氣質量為中度污染……

根據上述信息，解答下列問題：

（1）直接寫出空氣污染指數這組數據的眾數________，中位數________；

（2）請補全空氣質量天數條形統計圖（圖1）；

（3）根據已完成的條形統計圖，制作相應的扇形統計圖（圖2）；

（4）健康專家溫馨提示：空氣污染指數在100以下適合做戶外運動.請根據以上信息，估計該市居民一年（以365天計）中有多少天適合做戶外運動？

空氣質量天數條形統計圖

圖1

空氣質量天數扇形統計圖

圖2

【解答】（1）在這組數據中90出現的次數最多，為7次，故這組數據的眾數為90；在這組數據中排在最中間的兩個數都是90，其平均數也是90，所以這組數據的中位數是90.

（2）由題意得輕度污染的天數為30-3-15=12（天），補全空氣質量天數條形統計圖如圖3所示.

空氣質量天數條形統計圖

圖3

空氣質量天數扇形統計圖

圖4

（3）由題意知，“優(yōu)”所占圓心角的度數為3÷30×360=36°，“良”所占圓心角的度數為15÷30×360=180°，“輕度污染”所占圓心角的度數為12÷30×360=144°，制作扇形統計圖如圖4所示.

（4）該市居民一年（以365天計）中適合做戶外運動的天數為18÷30×365=219（天）.

【策略歸納】本題是一道數據分析題，考查了中位數，眾數，條形統計，扇形統計圖，樣本估計總體思想等知識的運用，解決這類問題要理解相關概念，會讀取圖表中的有用信息，掌握不同統計圖的特征及其繪制方法，能用樣本估計總體的思想解決問題.

例3 某體育老師測量了自己任教的甲、乙兩班男生的身高，并制作了如下不完整的統計圖表.

頻率0.06 0.14 0.28 n 0.18 0.06 0.02身高（cm）分組152≤x＜155 155≤x＜158 158≤x＜161 161≤x＜164 164≤x＜167 167≤x＜170 170≤x＜173頻數3 7 m 1 3 9 3 1

根據以上統計圖表完成下列問題：

（1）統計表中m=________，n=________，并將頻數分布直方圖補充完整；

（2）在這次測量中兩班男生身高的中位數在_______范圍內；

（3）在身高≥167cm的4人中，甲、乙兩班各有2人，現從4人中隨機推選2人補充到學校國旗護衛(wèi)隊中，請用列表或畫樹狀圖的方法求出這兩人來自相同班級的概率.

頻數分布直方圖

圖5

【解答】（1）總人數為3÷0.06=50，∴m=50×0.28=14，n==0.26.補充頻數分布直方圖如圖6所示.

圖6

（2）觀察表格可知中位數在 161≤x＜164內；

（3）將甲、乙兩班的學生分別記為甲1、甲2、乙1、乙2，樹狀圖如圖7所示：

圖7

【策略歸納】本題考查頻數與頻率的關系、頻數分布直方圖畫法、中位數的確定和用列表或畫樹狀圖求概率等知識.解決這類問題要準確記憶并運用有關公式，理解不同統計圖表的特征，會讀會畫會算，能靈活選擇用列表或畫樹狀圖求概率.

例4 新星公司到某大學從應屆畢業(yè)生中招聘公司職員，對應聘者的專業(yè)知識、英語水平、參加社會實踐與社團活動等三項進行測試或成果認定，三項的得分滿分都為100分，三項的分數分別按5∶3∶2的比例記入每人的最后總分，有4位應聘者的得分如下表所示.

得分 項目應聘者A B C D專業(yè)知識85 85 80 90英語水平85 85 90 90參加社會實踐與社團活動等90 70 70 50

（1）寫出4位應聘者的總分；

（2）就表中專業(yè)知識、英語水平、參加社會實踐與社團活動等三項的得分，分別求出三項中4人所得分數的方差；

（3）由（1）和（2），你對應聘者有何建議？

【解答】（1）應聘者A總分為86分，應聘者B總分為82分，應聘者C總分為81分，應聘者D總分為82分.

（2）4位應聘者專業(yè)知識測試的均分為85，方差為12.5；4位應聘者英語水平測試的均分為87.5，方差為6.25；4位應聘者參加社會實踐與社團活動等的均分為70，方差為200.

（3）應聘者的專業(yè)知識、英語水平的差距不大，但參加社會實踐與社團活動等方面的差距較大，影響最后成績，也影響就業(yè).學生不僅要注重自己的文化知識的學習，更應注重社會實踐與社團活動的開展，從而促進綜合素質的提升.

【策略歸納】本題中反映應聘者的成績的統計量較多，從數學的角度考慮，可以比較總分、平均分、極差、方差、標準差等統計量，不同的統計量從不同的角度刻畫了數據的特征，如：平均數反映的是數據的平均情況，極差反映的是最大值和最小值之間的差距，方差和標準差則反映的是各數據的穩(wěn)定性.因此在實際問題中，取決于公司對應聘者在每個方面的特殊要求.在提出建議時，既要注意到共性，又要注意到個性，使提出的建議具有針對性.

江蘇省興化市昭陽湖初級中學）